가우스 지도

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미분 기하학에서는 가우스 지도(Carl F의 이름을 따서 명명)가 있다. 가우스)는 유클리드 공간 R의³ 표면을 단위 구 S에² 매핑한다.즉, R에³ 놓여 있는 표면 X를 볼 때, Gauss 지도는 연속 지도 N: X² → S로서 N(p)은 p에서 X에 직교하는 단위 벡터, 즉 p에서 X에 직교하는 정상 벡터인 것이다.

가우스 지도는 표면이 방향을 잡을 수 있는 경우에만 정의될 수 있으며, 이 경우 그 정도가 오일러 특성의 절반이다.가우스 지도는 항상 로컬로 정의할 수 있다(즉, 표면의 작은 부분).가우스 지도의 야코비안 결정인자는 가우스 곡률과 같으며, 가우스 지도의 차분을 형상 연산자라고 한다.

가우스는 1825년에 이 주제에 대한 초안을 처음 썼고 1827년에 출판되었다.

링크 번호를 계산하는 링크에 대한 가우스 지도도 있다.

일반화

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Gauss 지도는 R의ⁿ 과퍼페이스에 대해 과퍼페이스에서 단위 구 S^{n − 1} ⊆ R에ⁿ 이르는 지도로 정의할 수 있다.

R의ⁿ 일반 지향 k-submanifold에 대해서도 가우스 지도를 정의할 수 있으며, ${\displaystyle {그}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{목표}}_{}}$ 공간은 지향적인 $그라스$만 G${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ k${\displaystyle {}_{}}$, n ${\$ 즉 R의ⁿ 모든 지향적인 k-plane 집합이다.이 경우 서브매니폴드의 지점은 그것의 방향 접선 부공간으로 매핑된다.또한 직교보충을 통해$$ $G{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ ${\displaystyle k_{}}$, ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ ${\displaystyle n_{}}$- ${\displaystyle k_{}}$, n ${\$},$}}$과(와) 동일하다.유클리드 3-공간에서 방향 2-평면이 단위 정규 벡터($G{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ 1,${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$S^{$n-1})$를 지향하는 1-선으로 특징지어지므로 이는 위의 정의와 일치한다.

마지막으로, Gauss map의 개념은 dimension n의 demandle M에서 dimension k의 dubmanifold X로 일반화될 수 있다.이 경우 가우스 맵은 X에서 접선 번들 TM의 접선 k-플레인의 집합으로 이동한다.가우스 지도 N의 목표 공간은 접선 번들 TM에 구축된 그라스만 번들이다.$M{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ M$=\mathbf {R} ^{n$의 경우 접선 번들을 경시하여(그래서 그라스만 번들이 그라스만 번들의 지도가 됨), 우리는 이전의 정의를 회복한다.

총곡률

가우스 지도 영상의 영역을 총 곡률이라고 하며 가우스 곡률의 표면 적분과 동일하다.가우스가 제시한 원론적인 해석이다.가우스-보넷 정리는 표면의 총 곡면성을 위상학적 특성에 연결한다.

${\displaystyle \iint_{R}\pm N_{u}\time N_{v}\dv=\iint_{R}K X_{u}\time X_{v}\du\,dv=\iint_{S}\}\dv}\du\.$

가우스 지도 쿠스프

가우스 지도는 표면의 많은 특성을 반영한다: 표면이 가우스 곡면성이 0일 때, 가우스 지도는 접힌 재앙을 일으킬 것이다.이 접이식에는 쿠스가 포함될 수 있으며 이 쿠스는 토마스 밴초프, 테렌스 가프니, 클린트 맥크리에 의해 심층적으로 연구되었다.포물선과 첨부는 모두 안정된 현상이며 표면이 약간 변형된 상태일 것이다.쿠스는 다음과 같은 경우에 발생한다.

1. 표면에는 양탄자 평면이 있다.
2. 산등성이가 포물선을 넘다.
3. 표면의 점근 곡선의 변곡점 세트가 닫힐 때

쿠스프에는 타원형 쿠스프와 쌍곡선 쿠스프 두 종류가 있다.

참조

• Gauss, K. F., Discquisitiones generales cirvas a superficies curvas (1827년)
• 가우스, K. F. 곡면 일반조사, 영어번역.뉴욕 휴렛: 레이븐 프레스 (1965)
• Bancoff, T, Gaffney T, McCrory C, Cusps of Gauss Mapping, (1982) 런던 핏만, 수학 55의 연구 노트.온라인 버전
• Koenderink, J. J. 솔리드 쉐이프, MIT 프레스 (1990)

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Gauss Map". MathWorld.
• Thomas Banchoff; Terence Gaffney; Clint McCrory; Daniel Dreibelbis (1982). Cusps of Gauss Mappings. Research Notes in Mathematics. Vol. 55. London: Pitman Publisher Ltd. ISBN 0-273-08536-0. Retrieved 4 March 2016.