중간 그래프
Medial graph
그래프 이론의 수학적 규율에서 G. 의료 그래프의 얼굴에 가장자리 사이의 인접지를 나타내는, 비행기 그래프 G의 안쪽 그래프는 다른 그래프 M(G)1922년에서 경제학자 에른스트 슈타이니츠. Wilhelm.에 의해 비록 역 공사는 이미 피터 테이트에 의해 사용되었다 convex polyhedra,[1]의 결합을 통한 속성을 연구하려고 도입되었다 i.n1877년 매듭과 연결에 대한 기초연구.[2][3]
형식 정의
연결된 평면 그래프 G에 대해 해당 내부 그래프 M(G)은
- G의 각 가장자리에 대한 꼭지점
- 해당 가장자리가 연속적으로 발생하는 G의 각 면에 대한 두 꼭지점 사이의 가장자리
분리된 그래프의 내측 그래프는 연결된 각 성분의 내측 그래프를 분리하는 결합이다.또한 내적 그래프의 정의는 상위 속 표면의 그래프 임베딩에 대한 수정 없이 확장된다.
특성.
- 모든 평면 그래프의 내측 그래프는 4-정규 평면 그래프다.
- 모든 평면 그래프 G의 경우 G의 내측 그래프와 G의 이중 그래프의 내측 그래프는 이형성이다.반대로, 어떤 4-정규 평면 그래프 H의 경우, 내적 그래프 H가 있는 평면 그래프 두 개만 서로 이중이다.[4]
- 내적 그래프는 특정 내장에 따라 달라지기 때문에 평면 그래프의 내적 그래프는 고유하지 않다. 동일한 평면 그래프는 비 이질성 내적 그래프를 가질 수 있다.그림에서, 빨간 그래프는 이형적이지 않다. 왜냐하면 자기 루프를 가진 두 꼭지점이 한 그래프에서는 가장자리를 공유하지만 다른 그래프에서는 그렇지 않기 때문이다.
- 모든 4-정규 평면 그래프는 일부 평면 그래프의 내측 그래프다.연결된 4-정규 평면 그래프 H의 경우 H를 내측 그래프로 사용한 평면 그래프 G를 다음과 같이 구성할 수 있다.H의 얼굴을 단 두 가지 색으로 색칠하십시오. H는 오일러니안(따라서 H의 이중 그래프는 초당적임)이기 때문에 가능하다.G의 정점은 H의 단일 색상의 면에 해당한다.이러한 정점은 H에서 해당 얼굴이 공유하는 각 정점에 대한 가장자리로 연결된다. 정점처럼 다른 색의 얼굴을 사용하여 이 구성을 수행하는 것은 G의 이중 그래프를 생성한다는 점에 유의한다.
- 3-정규 평면 그래프의 내측 그래프는 선 그래프와 일치한다.단, 3도 이상의 정점을 갖는 평면 그래프의 내부 그래프에는 해당되지 않는다.
적용들
평면 그래프 G의 경우, 지점(3,3)에서 투테 다항식의 두 배의 평가는 G의 중간 그래프에서 가중치가 초과된 오일러 방향의 합과 같다. 여기서 방향의 무게는 방향의 안장 정점 수에 2이다(즉, 입사 모서리가 주기적으로 "in, out, out"[5] 순서인 정점 수).투테 다항식은 임베딩 하에서는 불변하므로, 이 결과는 모든 내적 그래프가 이러한 가중된 오일러 방향의 합이 같다는 것을 보여준다.
지시내역 그래프
내적 그래프 정의는 방향을 포함하도록 확장할 수 있다.첫째, 내적 그래프의 얼굴은 원래 그래프의 꼭지점이 있으면 검은색으로, 그렇지 않으면 흰색으로 칠해진다.이 색상은 그래프의 각 가장자리를 하나의 검은 얼굴과 하나의 하얀 얼굴에 접하게 한다.그러면 각 가장자리의 방향이 정해져서 검은 얼굴이 왼쪽에 있게 된다.
평면 그래프와 평면 그래프의 이중은 동일한 방향의 중간 그래프를 가지고 있지 않다. 각 방향의 중간 그래프는 서로 전치되는 것이다.
지시된 내적 그래프를 사용하면 (3,3)에서 투테 다항식 평가에 대한 결과를 효과적으로 일반화할 수 있다.평면 그래프 G의 경우, 지점(n+1,n+1)에서 투트 다항식의 n배는 G의 지시된 내적 그래프에서 n개의 색상을 사용한 모든 에지 색상에 대한 가중 합과 같으므로 (비었을 가능성이 있음) 단색 가장자리 세트가 방향 오일러 그래프를 형성하며, 여기서 방향의 오일러 방향의 무게는 숫자에 2이다.단색 [6]정점의
참고 항목
참조
- ^ Steinitz, Ernst (1922), "Polyeder und Raumeinteilungen", Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften, Band 3 (Geometries), pp. 1–139
- ^ Tait, Peter G. (1876–1877). "On Knots I". Transactions of the Royal Society of Edinburgh. 28: 145–190. doi:10.1017/S0080456800090633.
Revised May 11, 1877.
- ^ Tait, Peter G. (1876–1877). "On Links (Abstract)". Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. 9 (98): 321–332. doi:10.1017/S0370164600032363.
- ^ Gross, Jonathan L.; Yellen, Jay, eds. (2003). Handbook of Graph Theory. CRC Press. p. 724. ISBN 978-1584880905.
- ^ Las Vergnas, Michel (1988), "On the evaluation at (3, 3) of the Tutte polynomial of a graph", Journal of Combinatorial Theory, Series B, 35 (3): 367–372, doi:10.1016/0095-8956(88)90079-2, ISSN 0095-8956
- ^ Ellis-Monaghan, Joanna A. (2004). "Identities for circuit partition polynomials, with applications to the Tutte polynomial". Advances in Applied Mathematics. 32 (1–2): 188–197. doi:10.1016/S0196-8858(03)00079-4. ISSN 0196-8858.
추가 읽기
- Brylawski, Thomas; Oxley, James (1992). "The Tutte Polynomial and Its Applications" (PDF). In White, Neil (ed.). Matriod Applications. Cambridge University Press. pp. 123–225.
