투테 다항식

투트 다항식(Dichromate) 또는 투트--라고도 한다.휘트니 다항식은 그래프 다항식이다.그래프 이론에서 중요한 역할을 하는 두 변수의 다항식이다.모든 비방향 그래프 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에 대해 정의되며 그래프$$ 연결 방법에 대한 정보를 포함하고 있다.${\displaystyle T_{}}$ G ${\$로 표시된다$.$

이 다항식의 중요성은 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에 대해 수록된 정보에서 비롯된다$.$ 원래 그래프 컬러링과 0이 없는 흐름과 관련된 계수 문제의 일반화로서 대수 그래프 이론에서 연구되었지만, 그것은 존스 다항식 fr과 같은 다른 과학의 몇몇 유명한 전문화들을 포함하고 있다.옴 매듭 이론과 통계 물리학의 포츠 모델의 분할 기능.그것은 또한 이론 컴퓨터 과학에서 몇 가지 중앙 연산 문제의 근원이기도 하다.

Tutte 다항식에는 몇 가지 동등한 정의가 있다.휘트니의 순위 다항식, 투테의 자체 이분법 다항식, 포투인-케이스틀린의 단순 변형 하의 랜덤 클러스터 모델에 해당한다.그것은 본질적으로 주어진 크기와 연결된 구성요소의 에지 집합의 수에 대한 생성 함수로서, 매트로이드에 대한 즉각적인 일반화를 가지고 있다.또한 삭제-연락 반복에 의해 정의될 수 있는 가장 일반적인 그래프 불변성 물질이기도 하다.그래프 이론과 모계 이론에 관한 몇몇 교과서들은 모든 장들을 그것에 바친다.^[1][2][3]

정의들

정의.비방향 그래프 $G{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( V${\displaystyle }$, ${\displaystyle E}$) ${\displaystyle G=(V,E)}$의 경우 투트 다항식을 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle T_{G}(x,y)=\sum \nolimits_{A\subseteq E}(x-1)^{k(A)-k(E)}^{k(A)+ A - V }}}$

여기서 $k{\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle k(A)}$은(는) 그래프의 연결된 구성 요소의 수를 나타낸다$({\displaystyle V}$,${\displaystyle }$A )$${\$displaystyle (V,A$ 이 ${\displaystyle {정의}_{}}$에서 T G ${\$$displaystyle$ $T_{G}$는 잘 정의되어 있고$$$,$ 다항식은 $x$와$$y {\$displaysty y$

$r{\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle V}$- k${\displaystyle }$( A${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ r$(A)=V -k($$A$$)}$이($)$ 그래프의${\displaystyle }$순위를 나타내도록$$ 함으로써 약간 다른 표기법을 사용하여 동일한 정의를 내릴 수 있다$.$ 그러면 Whitney 순위 생성 함수는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle R_{G}(u,v)=\sum \nolimits_{A\subseteq E}u^{r(E)-r(A)}v^{A -r(A)}}}}$

두 함수는 변수의 단순한 변화 하에서 동등하다.

${\displaystyle T_{G}(x,y)=R_{G}(x-1,y-1).}$

투트의 이분법적 다항식 $Q{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$ ${\$는 또 하나의 단순한 변환의 결과물이다$$.

${\displaystyle T_{G}(x,y)=(x-1)^{-k(G)}Q_{G}(x-1,y-1).}$

$T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$ ${\$에 대한 Tutte의 원래 정의는 동일하지만$$ 쉽게 언급되지는 않는다.$연결$된 G ${\displaystyle G}$에 대해 설정$$

${\displaystyle T_{G}(x,y)=\sum \nolimits_{i,j}t_{ij}x^{i}y^{j}}}}$

여기서 t $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$는 내부 활동 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$ 및 외부 활동 $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle j}$의 신장 트리의 수를 나타낸다$.$

세 번째 정의는 삭제-접속 반복을 사용한다.$그래프{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$의 모서리 $수축{\displaystyle }$ G${\displaystyle /u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle G/uv}$은(는) 정점 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle$ $u$$}$과(와) $v{\displaystyle }$ ${\$$displaysty$ $}$을(를) 병합하여$$ 얻은 그래프.$$$u$ ${\displaystyle v}$ ${\displ$에 G -$uv {\$$aystyle uv}$은(는) 단지 제거되었을 뿐이다.그 다음 투테 다항식은 재발 관계에 의해 정의된다.

${\displaystyle T_{G}=T_{G-e}+T_{G/e}}$

$e{\displaystyle }$ ${\displaystyle e}$이(가) 루프도 브리지도 아닌$$ 경우(기본 케이스 포함)

${\displaystyle T_{G}(x,y)=x^{i^{j}}}$

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$ $브리지$와 j ${\displaystyle j}$ 루프가$$ 포함되어$$ 있고 다른 가장자리가 없는 경우특히 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에 에지가 없는 경우$$ $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle T_{G}=1}.$

Fortuin & Kastelyn(1972)으로 인한 통계 역학의 랜덤 클러스터 모델은 또 다른 동등한 정의를 제공한다.^[4]파티션 합계

${\displaystyle Z_{G}(q,w)=\sum \nolimits_{F\subseteq E}q^{k(F)}w^{F }}}}}}}}}}}}{F }}}}}}}}$

변환^[5] 중인$$ $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$ ${\$와 동일함

${\displaystyle T_{G}(x,y)=(x-1)^{-{-V }\cdot Z_{G}{\Big (}x-1)(y-1),\;y-1{\Big )}.}$

특성.

연결된 구성 요소에 대한 Tutte 다항식 요인.$G{\displaystyle }$$$ ${\displaystyle G}$이(가) $분리{\displaystyle }$ 그래프 H ${\displaystyle H}$ 및$$ $H{\displaystyle {}^{}}$and {\$displaystyle$ H'}의$$조합인 경우

${\displaystyle T_{G}=T_{H}\cdot T_{{}H'}}$

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 평면이고$$ $G{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$이(가) 이중 그래프를 나타내는$$ 경우

${\displaystyle T_{G}(x,y)=T_{G^{*}(y,x)}$

특히 평면 그래프의 색도 다항식은 그 이중의 흐름 다항식이다.Tutte는 V-기능과 같은 기능을 말한다.^[6]

예

이소모르픽 그래프는 동일한 투테 다항식을 가지지만, 그 반대는 사실이 아니다.예를 들어, $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$ 가장자리에$$ 있는 모든 트리의 Tutte 다항식은 ${\displaystyle x^{}}$ m ${\$ x$^{m}$이다$.$

Tutte 다항식은 종종 i행 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$ 및 컬럼 $j{\displaystyle }$ ${\$displaystyle i}에$$$$ $x{\displaystyle {}^{}}$ i ${\displaystyle j^{}}$ ${\$의 계수 t ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$$displaysty j}$를 나열하여 표 형식으로 제공된다$.$ 예를 들어 Petersen 그래프의 Tute 다항 다항,

${\displaystyle {\regated}36x&+120x^{2}+180x^{3}+170x^{4}+150x^{5}+5}+56x^{6}+21x^{7}+6x^{8}+6x^{9}\\&+36y+84y^{2}+75y^{3}+35y^{4}+9y^{5}+y^{6}\&+xy+240x^{2}y+170x^{3}}}y+70x^{4}y+12x^{5}y\\&#xy^{2}+^{2}y^{2}+30x^{3}@}@{3}\&+65xy^{3}+15x^{3}}}}{3}}@}@}}@{3}\&+10xy^{4}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

다음 표에 의해 주어진다.

0	36	84	75	35	9	1
36	168	171	65	10
120	240	105	15
180	170	30
170	70
114	12
56
21
6
1

다른 예시로는 팔면체 그래프의 투테 다항식(Tuttutte 다항식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&12\,{y}^{2}{x}^{2}+11\,x+11\,y+40\,{y}^{3}+32\,{y}^{2}+46\,yx+24\,x{y}^{3}+52\,x{y}^{2}\\&+25\,{x}^{2}+29\,{y}^{4}+15\,{y}^{5}+5\,{y}^{6}+6\,{y}^{4}x\\&+39\,y{x}^{2}+20\,{x}^{3}+{y}^{7}+8\,y{x}^{3}+7\,{x}^{4}+{x}^{5}\end{aligned}}}$

역사

W. T. Tutte의 삭제-축소 공식에 대한 관심은 케임브리지 트리니티 트리니티 칼리지의 학부 시절에 시작되었는데, 원래 완벽한 직사각형과 스패닝 트리들에 의해 동기부여가 되었다.그는 종종 이 공식을 자신의 연구에 적용했고 "이소모르프 하에서 불변하는 그래프의 다른 흥미로운 기능이 있는지, 유사한 재귀 공식을 가지고 있는지 검토했다"^[6]고 말했다.R. M. 포스터는 이미 색채 다항식이 그러한 함수 중 하나라는 것을 관찰했고, 투테는 더 많은 것을 발견하기 시작했다.삭제-연락 반복을 만족시키는 그래프 불변성에 대한 그의 원래 용어는 W-기능, 구성 요소에 대해 곱할 경우 V-기능이었다.Tutte는 "나의 W-기능을 가지고 놀면서 색다항식 또는 흐름-폴리항식을 0으로 설정하고 기호를 조정하여 얻을 수 있는 2변수 다항식을 얻었다"^[6]고 쓰고 있다.투테는 이 함수를 두 변수에 대한 색소 다항식의 일반화로 보았듯이 이 함수를 이분법이라고 불렀지만, 보통 투테 다항법이라고 한다.투테의 말에 의하면, "이것은 두 가지 변수에 굳이 붙이지 않고 아날로그 계수를 알고 사용한 하슬러 휘트니에게 불공평할 수도 있다."(투테가 서로 다른 논문에서 소개한 이분법적, 이분법적 다항식 용어에 대해 "알 수 있는 혼란"^[7]이 있으며, 이는 단지 약간 다를 뿐이다.)투테 다항식부터 모항까지 일반화는 투테의 논문에 이미 나타나기는 하지만, 슈트로가 처음 출판한 것이다.^[8]

대수 그래프 이론의 연구와는 별개로 포츠는 1952년부터 통계 역학에서 특정 모델의 분할 기능을 연구하기 시작했다.포츠 모델의 일반화인 랜덤 클러스터 모델에 대한 포투인과 크라스틀린의^[9] 연구는 투테 다항식과의 관계를 보여주는 통일적인 표현을 제공했다.^[8]

특별 행사

$({\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle (x,y)}$ - 면의$$ 다양한 지점과 선에서 Tutte 다항식은 수학과 물리학의 다양한 분야에서 그들 자신의 권리로 연구된 양으로 평가한다.Tutte 다항식의 매력 중 일부는 이 수량을 분석하기 위해 제공하는 통일 프레임워크에서 나온다.

색다항식

$y{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle y=0$ 색다형 다항식 특수,

${\displaystyle \chi _{G}(\lambda )=(-1)^{V -k(G)}\lambda ^{k(G)}T_{G}(1-\lambda ,0),}$

여기서 $k{\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle k(G)}$은 G의 연결된 구성 요소의 수를 나타낸다$$.

정수 λ의 경우 색도 다항식 $\chi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$ (${\displaystyle \lambda }$ ) ${\displaystyle \chi _{G}(\lambda )}$는 λ 색상 집합을 사용하는 G의 정점 색상 수와 같다$$.$\chi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$ (${\displaystyle \lambda }$ ) ${\displaystyle \chi _{G}(\lambda )}}$은(는) 색상 집합에 의존하지$$ 않는 것이 분명하다.덜 분명한 것은 정수 계수를 갖는 다항식의 λ에서의 평가라는 점이다.이를 보기 위해 우리는 다음을 관찰한다.

1. G에 정점이 없고 가장자리가 없으면 $\chi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$ (${\displaystyle {}_{}\lambda }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\lambda }^{}}$ n ${\$
2. G에 루프(정점을 자신에게 연결하는 단일 에지)가 포함된 경우, ${\displaystyle \mathrm{\chi }}$ ${\displaystyle G_{}}$ (${\displaystyle \lambda }$ )${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle \chi _{G}(\lambda )=0}$.
3. e가 루프가 아닌 가장자리인 경우

$\displaystyle \chi _{G}(\lambda )=\chi _{G-e}(\lambda )-\chi _{G/e}(\lambda).}$

위의 세 가지 조건은 $\chi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$ (${\displaystyle \lambda }$ ) ${\displaystyle \chi _{G}(\lambda$ $)\}$을(를) 일련의 에지 삭제와 수축을 적용하여 계산할 수 있게 해주지만, 다른 일련의 삭제와 수축을 동일한 값으로 이끌 것이라는 보장은 주지 않는다.이 보장은 $\chi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$ (${\displaystyle \lambda }$ ) ${\displaystyle \chi _{G}(\lambda )}$이(가) 재발과는 별개로 무언가를 세는$$ 사실에서 비롯된다.특히.

${\displaystyle T_{G}(2,0)=(-1)^{V }\chi _{G}(1)}$

반복 방향 수를 제공한다.

존스 다항식

하이퍼볼라 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle xy=1}$을 따라 평면 그래프의 Tutte 다항식은 연관된 교번 매듭의 Jones 다항식으로 특화된다$.$

개별점수

(2,1)

${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$( ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$1 )$${\$displaystyle T_{G}(2,1$)는 포리스트 수, 즉 순환 에지 하위 집합 수를 카운트한다$$.

(1,1)

${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$( ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 1}$)${\displaystyle T_{G}(1,1)}$은(는) 스패닝 포리스트의 수(주기가 없는 에지 하위 집합과 G와 동일한 수의 연결된 구성 요소)를$$ 카운트한다.그래프가 연결된 경우 T ${\displaystyle G_{}}$1 ,${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle T_{G}(1,1$)은 스패닝 트리 수를 카운트한다$$.

(1,2)

${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$( ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$) ${\displaystyle T_{G}(1,2)}$은(는) 스패닝 서브그래프 수(연결된 구성 요소 수가 G와 동일한 에지 하위 집합)를 카운트한다$$.

(2,0)

${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$( ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle T_{G}(2,0)}$은(는) G의 반복 방향 수를 카운트한다$$.^[10]

(0,2)

${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$( ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 2}$) ${\displaystyle T_{G}(0,2)}$은(는) G의 강하게 연결된 방향 수를 카운트한다$$.^[11]

(2,2)

${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$( ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$2)${\displaystyle T_{G}(2,2$)는 숫자 ${\displaystyle 2^{}}$ E $displaystyle 2^{$E$}}$이며, ${\displaystyle E}$ $displaystyle E}$은 그래프$$ G의 가장자리 수입니다.

(0,−2)

G가 4-정규 그래프라면

${\디스플레이 스타일(-1)^{ V +k(G)}T_{G}(0,-2)}$

G의 오일러 방향 수를 세다.여기서 $k{\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle k(G)}$은 G의 연결된 구성 요소의 수입니다.^[10]

(3,3)

G가 m × n 격자 그래프인 경우, ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$3 ,${\displaystyle 3}$) ${\displaystyle 2T_{G}(3,3$)는 너비 4m와 높이 4n의 직사각형을 T-테트로미노로 바둑판식으로 배열하는 방법의 수를 센다$$.^[12][13]

If G is a planar graph, then ${\displaystyle 2T_{G}(3,3)}$ equals the sum over weighted Eulerian orientations in a medial graph of G, where the weight of an orientation is 2 to the number of saddle vertices of the orientation (that is, the number of vertices with incident edges cyclicly ordered "in, out, in out").^[14]

포츠 및 이싱 모델

xy 평면에서 하이퍼볼라 정의:

${\displaystyle H_{2}:\quad(x-1)(y-1)=2,}$

Tutte 다항식 특성은 통계물리학에서 연구한 Ising 모델의 $파티션$ 함수${\displaystyle }$Z${\displaystyle }$(${\displaystyle ,}$ ) , ${\displaystyle$Z (\$cdot )}$에 있다.구체적으로는 $하이퍼볼라{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$ 2$${\$displaystyle H_{2$}를 따라 다음$$ 등식으로 두 가지가 연관되어 있다.^[15]

${\displaystyle Z(G)=2\왼쪽(e^{-\alpha }\오른쪽)^{E -r(E)}\왼쪽(4\sinh \alpha \right)^{r(E)}T_{G}\왼쪽(\coth \alpha ,e^{2\alpha }\오른쪽).}$

특히.

${\displaystyle(\cot \property -1)\왼쪽(e^{2\pair }-1\right)=2}$

모든 복합 α에 대하여.

보다 일반적으로, 만약 어떤 양의 정수 q에 대해서, 우리는 하이퍼볼라를 정의한다.

${\displaystyle H_{q}:\quad(x-1)(y-1)=q,}$

그런 다음 Tutte 다항식 특성은 q-state Potts 모델의 파티션 함수에 따른다.Potts 모델의 프레임워크에서 분석된 다양한 물리적 양은 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$ ${\$의 특정 부분으로 번역된다$.$

Potts 모델과 Tutte 평면 사이의 대응

포츠 모형	투테 다항식
강자성	${\displaystyle {Hq}_{}}$ ${\$의 양분지
반소립자성	> ${\displaystyle y>0}$인 H q {\displaystyle $H_{q}$의 음수 분지
고온	$H{\displaystyle }$ ${\displaystyle q_{}}$ ${\$ ~ y$$${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle y=1}$의 점증상
저온강자성	${\displaystyle {Hq}_{}}$ ${\$$}}$의 $양$의${\displaystyle \mathrm{분지}}$ x$$= 1 {\$displaystyle$ x$=$1}
영온항암기	그래프 q-색상, ${\displaystyle \mathrm{즉}}$ $x{\displaystyle }$= 1 -${\displaystyle q,}$ ${\displaystyle y}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x=1-q,y=0}$

흐름 다항식

$x{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ x$=0}$에서 투테 다항식 특성은 결합학에서 연구한 흐름 다항식 특성으로 나타난다$.$연결되지 않은 그래프 G와 정수 k의 경우, 0이 없는 k-flow는 "flow" 값 $1{\displaystyle \mathrm{}}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle k}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$1$,2,\dots ,k-1}$을 G의 임의 방향의 가장자리에 할당하여 각 꼭지점을 출입하는 총 흐름이 일치 모듈로 k이다.흐름 다항식 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$( ${\displaystyle k}$) ${\displaystyle C_{G}(k)}$은 0이 아닌 k-흐름의 수를 나타낸다$$.이 값은 색채 다항식과 밀접하게 연결되어 있는데, 사실 G가 평면 그래프라면 G의 색채 다항식은 그 이중 그래프 $∗{\$ G$^{*}$의 흐름 다항식과 같다.

정리(Tutte).

${\displaystyle C_{G}(k)=k^{-1}\chi _{G^{*}}(k)}$

Tutte 다항식과의 연결은 다음과 같이 제공된다.

${\displaystyle C_{G}(k)=(-1)^{E - V +k(G)}T_{G}(0,1-k).}$

신뢰성 다항식

$x{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x=1}$에서$,$ 네트워크 이론에서 연구된 모든 단자 신뢰성 다항식을 투테 다항식으로 특화한다.연결된 그래프 G의 경우 확률 p로 모든 에지를 제거한다. 이것은 무작위 에지 고장의 영향을 받는 네트워크를 모델링한다.그 다음 신뢰도 다항식은 $함수{\displaystyle {}_{}}$ R ${\displaystyle G_{}}$( ${\displaystyle p}$)$${\$displaystyle R_{G}(p)},$p의 다항식이며, 에지가 고장난 후에도 G의 모든 정점 쌍이 연결된 상태를 유지할 확률을 제공한다.Tutte 다항식과의 연결은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle R_{G}(p)=(1-p)^{ V -k(G)}p^{ E - V +k(G)}T_{G}\왼쪽(1,{\tfrac {1}{p}}\오른쪽).}$

이분법 다항식

투테는 또한 그래프의 이분법적 다항식인 색소 다항식의 보다 가까운 2변수 일반화를 정의했다.이것은

${\displaystyle Q_{G}(u,v)=\sum \nolimits _{A\subseteq E}u^{k(A)}v^{A - V +k(A)}}}}$

여기서 $k{\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle k(A)}$은 스패닝 서브그래프(V,A)의 연결된 구성 요소의 수입니다.이것은 에 의해 각형-절도 다항식(corank-nullity 다항식

${\displaystyle Q_{G}(u,v)=u^{k(G)}\,R_{G}(u,v)}$

k(A)는 매트로이드 특성이 아니기 때문에 이분법 다항식은 매트로이드에 일반화되지 않는다. 매트로드가 같은 다른 그래프는 연결된 성분 수가 다를 수 있다.

관련 다항식

마틴 다항식

Martin 다항식 $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {G\stackrel{}{}}_{}}$→${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle m_{\vec{G}}(x)}$ 지향적인 4-정규 $그래프{\displaystyle \stackrel{}{}}$G →$${\$displaystyle{\vec{G}}}}$는 1977년 Pierre Martin에 의해 정의되었다$$.^[17]그는 G가 평면 그래프이고 $G{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$→ ${\displaystyle m_{}}$ ${\$이(가) 지시된 내적 그래프라면 그 다음이라는 것을 보여주었다.

${\displaystyle T_{G}(x,x)=m_{{\vec{G}_{m}}}(x).}$

알고리즘

삭제-연락

Tutte 다항식 삭제-축소 반복,

${\displaystyle T_{G}(x,y)=T_{G\setminus e}(x,y)+T_{G/e}(x,y),\qquad e{\text{ 루프나 브리지가 아님.}}}$

주어진 그래프에 대해 그것을 계산하기 위한 재귀 알고리즘을 즉시 산출한다: 루프나 브리지가 아닌 에지 e를 찾을 수 있는 한, 그 에지가 삭제되었을 때와 그 에지가 수축되었을 때를 위해 Tutte 다항식을 재귀적으로 계산한다.그런 다음 두 하위 결과를 함께 추가하여 그래프의 전체 Tutte 다항식을 구하십시오.

베이스 케이스는 단수 $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle m^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$이며 여기서$$ m은 교량 수, n은 루프 수입니다.

다항식 인자 내에서, 이 알고리즘의 실행 시간 t는 정점 수 n과 그래프의 에지 m의 수로 표현될 수 있다.

${\displaystyle t(n+m)=t(n+m-1)+t(n+m-2),}$

용액과^[18] 함께 피보나치 숫자로 확장되는 재발 관계

${\displaystyle t(n+m)=\왼쪽({\frac {1+{\sqrt{5}{2}}\\오른쪽)^{n+m}=O\왼쪽(1.6180^{n+m}\오른쪽).}$

분석은 입력 그래프의 스패닝 트리의 숫자 ${\displaystyle \tau }$( G${\displaystyle }$) ${\displaystyle \tau (G)}$의 다항 계수 내에서 개선할 수 있다.^[19]$m{\displaystyle }$= ${\displaystyle O(n}$) ${\displaystyle m=O(n)}$이(가) 있는 희소성 그래프의 경우 $이{\displaystyle }$ 실행$$ 시간은 O${\displaystyle (}$ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle )(n}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle$ O$(\exp)(n)}$이며$,$ 도 k의 일반 그래프의 경우 스패닝 트리 수는 다음과 같이 제한될 수 있다.

$\displaystyle \tau(G)=O\left(\nu _{k}^{n^{n1}1}\log n\right),}$

어디에

${\displaystyle \nu_{k}={\frac {(k-1)^{k-1}{{k^{2}-2k)^{{\frac {k}{2}}-1}.}$

따라서 삭제-수정 알고리즘은 이 바운드의 다항 계수 내에서 실행된다.예를 들면 다음과 같다.^[20]

$\displaystyle \nu _{5}\ 약 4.4066.}$

실제로 그래프 이형성 테스트는 일부 재귀적 호출을 피하기 위해 사용된다.이 접근법은 매우 희박하고 많은 대칭을 나타내는 그래프에 잘 작용한다; 알고리즘의 성능은 가장자리 e를 고르는 데 사용되는 경험적 접근법에 따라 달라진다.^[19][21][22]

가우스 제거

일부 제한된 경우, 투테 다항식은 다항식 시간에 계산될 수 있는데, 궁극적으로 가우스 제거는 매트릭스 연산 결정요소와 파피안을 효율적으로 계산하기 때문이다.이러한 알고리즘 자체는 대수 그래프 이론과 통계 역학에서 나온 중요한 결과물이다.

${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$( ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 1}$)${\displaystyle T_{G}(1,$1)는 연결된 그래프의 스패닝 트리의 숫자 $\tau {\displaystyle }$ (${\displaystyle }$G $){\displaystyle \tau (G)}$과 같다$$.이것은 다항 시간에서 Kirchhoff의 Matrix-Tree 정리라고 알려진 대수 그래프 이론의 초기 결과인 G의 Laplacian matrix의 최대 주 하위트릭스의 결정요인으로 계산할 수 있다.마찬가지로, T ${\displaystyle G_{}}$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$- 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle T_{G}(-1,-1)}$에서 자전거 공간의 치수는 가우스 제거를 통해 다항 시간 단위로 계산할$$ 수 있다.

평면 그래프의 경우, Ising 모델의 파티션 함수, 즉 $하이퍼볼라{\displaystyle {}_{}}$ H ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle H_{2$}에서 Tutte 다항식을 Paffian으로 표현할 수 있으며$,$ FKT 알고리즘을 통해 효율적으로 연산할 수 있다.이 아이디어는 피셔, 코스틀린, 템플리에 의해 평면 격자 모델의 더 작은 커버의 수를 계산하기 위해 개발되었다.

마르코프 체인 몬테카를로

마르코프 체인 몬테 카를로 방법을 사용하면 강자성 이싱 모델의 파티션 함수인 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\$2}}의 양의 분기를 따라 투테 다항식을 임의로 잘 근사할 수 있다.이것은 Ising 모델과 그래프에서 일치 항목을 계산하는 문제 사이의 밀접한 관계를 이용한다.제럼과 싱클레어의^[23] 이 유명한 결과의 이면에 있는 아이디어는 마르코프 체인을 설정하는 것인데, 그 상태는 입력 그래프의 일치점이다.전환은 임의로 가장자리를 선택하고 그에 따라 일치를 수정함으로써 정의된다.결과적인 마르코프 체인은 빠르게 혼합되어 "충분히 랜덤" 일치로 이어지며, 랜덤 샘플링을 사용하여 파티션 함수를 복구하는 데 사용할 수 있다.결과 알고리즘은 완전 다항식 시간 무작위 근사 구성표(fpras)이다.

계산 복잡성

몇 가지 계산 문제가 투테 다항식과 연관되어 있다.가장 직설적인 것이다.

입력: $그래프{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$

출력: $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$ ${\$의 계수

특히 출력은 G의 3-컬러링 수 계산에 해당하는$$ $T{\displaystyle {}_{}}$ G${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$0${\displaystyle }$) ${\displaystyle T_{G}(-2,0)}$을(를) 평가할 수 있다.이 후자의 질문은 평면 그래프 계열로 제한된 경우에도 #P-완전하므로, 주어진 그래프에 대한 투테 다항식의 계수를 계산하는 문제는 평면 그래프에 대해서도 #P-hard이다.

훨씬$$ 더 많은 관심이 모든 복잡한 쌍(x${\displaystyle }$,${\displaystyle }$${\displaystyle y}$)에 대해$$정의된 Tutte (x , y ) {\$displaystyle$$(x$$,y)}$이라고 불리는 문제군에 집중되었다$.$

입력: $그래프{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$

출력: $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle T_{G}(x,y)}$의 값

이러한 문제의 경도는 좌표$({\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle (x,y)}$에 따라 달라진다$.$

정확한 계산

x와 y가 모두 음이 아닌 정수인 경우 $문제{\displaystyle {}_{}}$ T ${\displaystyle G_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$x${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle T_{G}(x,y)$는 #P에 속한다$$.일반 정수 쌍의 경우 투테 다항식에는 음의 항이 포함되어 있어 복잡도 등급 GapP, #P의 폐쇄가 감산 대상이다.합리적 좌표$({\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle (x,y)}$을(를) 수용하기 위해, #P의 합리적인 아날로그를 정의할 수 있다.^[24]

The computational complexity of exactly computing ${\displaystyle T_{G}(x,y)}$ falls into one of two classes for any ${\displaystyle x,y\in \mathbb {C} }$. The problem is #P-hard unless ${\displaystyle (x,y)}$ lies on the hyperbola ${\displaystyle H_{1}}$ or is one of the points

${\displaystyle \left\{(1,1),(-1,-1),(-1,-i),(-i,-i),\left(j,j^{2}\right),\좌(j^{2}j\right)\},\qquad j=e^{2\frac\pi}{3}.}$

다항식 시간에 계산할 수 있는 경우.^[25]문제가 평면 그래프의 등급으로 제한될 경우, $하이퍼볼라{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$2 {\$displaystyle H_{2$}}개의 점들도 다항식 시간 계산이 가능해진다$$.다른 모든 지점은 초당적 평면 그래프에서도 #P-hard로 남아 있다.^[26]Vertigan은 평면 그래프에 대한 이분법에 관한 논문에서 (그의 결론에서) 동일한 결과가 최대 3의 정점도를 가진 그래프에 더 이상 제한될 때 0이 아닌 Z 흐름을₃ 세고 다항 시간 내에 계산할 수 있는$$$T{\displaystyle {}_{}}$ G${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle 0_{}}$,${\displaystyle }$- $){\displaystyle T_{G} (0,-2$)를 위해 저장한다고 주장한다.^[27]

이러한 결과에는 몇 가지 주목할 만한 특수 사례가 포함되어 있다.예를 들어 Ising 모델의 파티션 함수를 계산하는 문제는 일반적으로 Onsager와 Fisher의 유명한 알고리즘이 평면 래치에 대해 해결함에도 불구하고 #P-hard이다.또한, 존스 다항식은 계산하기 어려운 #P이다.마지막으로 평면 그래프의 4색 수를 계산하면 4색 정리로는 의사결정 문제가 사소한데도 #P-완전하다.이와는 대조적으로 평면 그래프의 세 가지 색상 수를 세는 것이 #P-완전하다는 것을 쉽게 알 수 있는데, 이는 결정 문제가 P-완전성을 통해 P-완전하다고 알려져 있기 때문이다.

근사치

점들이 좋은 근사 알고리즘을 인정하는 문제는 매우 잘 연구되어 왔다.정확하게 다항 시간에서 계산할 수 있는 포인트를 제외하더라도, 그 유일한 근사 알고리즘 TG({\displaystyle T_{G}(x, y)}은 Jerrum와 싱클레어의 FPRAS는“Ising”쌍곡선 H2{\displaystyle H_{2}에 포인트를}y을에 다닌다;0것으로 알려졌다.입력 그래프 치밀형 인스턴스에 제한됩니다.,${\displaystyle }$Ω (${\displaystyle n}$ )${\displaystyle \Oomega (n)}$을$($를) 가진 경우 x ≥ 1, y ≥ 1이면 FPRAS가 있다.^[28]

정확한 연산에 비해 상황을 잘 파악하지 못하더라도 평면의 넓은 면적이 대략적으로 파악되기 어려운 것으로 알려져 있다.^[24]

참고 항목

• 볼로바스-리오단 다항식
• 투트-그로텐디크 불변제는 투트 다항식의 평가다.

메모들

참조

외부 링크

• "Tutte polynomial", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Tutte polynomial". MathWorld.
• 플래닛매트릭스 색다항식
• Steven R. Pagano: 매트로이드와 서명된 그래프
• 산드라 킹언: 마트로이드 이론.많은 링크.
• 게리 해더드, 데이비드 J. 피어스, 고든 로일(Gordon Royle)의 Tutte, Chromatic 및 Flow Polyomials 계산 코드: [1]