통계역학

통계역학
열역학 운동 이론
입자 통계 스핀 통계 정리 동일 입자 맥스웰-볼츠만 보스-아인슈타인 페르미-디락 패러스타틱스 애니닉 통계 땋은 통계
열역학 앙상블 하지 않다 마이크로캐논ical NVT 표준 § VT 그랜드 캐노니컬 NPH 아이소엔탈픽-이소바릭 NPT 등온-등압
모델 데비 아인슈타인 이징 포트
가능성 내부 에너지 엔탈피 헬름홀츠 자유 에너지 깁스 자유 에너지 그랜드 퍼텐셜 / 란다우 프리 에너지
과학자 맥스웰 볼츠만 깁스 아인슈타인 에렌페스트 폰 노이만 톨만 데비 페르미 보스
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물리학에서 통계역학(statistical mechanics)은 통계적 방법과 확률론을 미시적 실체의 대규모 어셈블리에 적용하는 수학적 프레임워크이다.그것은 어떠한 자연 법칙도 가정하거나 가정하지 않지만, 그러한 앙상블의 행동으로부터 자연의 거시적인 행동을 설명한다.

통계 역학은 온도, 압력 및 열 용량과 같은 거시적 물리적 특성을 평균값으로 변동하고 확률 분포로 특징지어지는 미시적 매개변수의 관점에서 성공적으로 설명하는 분야인 고전적 열역학의 개발에서 비롯되었다.이것은 통계 열역학 및 통계 물리학 분야를 확립했다.

통계역학 분야의 설립은 일반적으로 세 명의 물리학자의 공로를 인정받고 있다.

• 루드비히 볼츠만, 미시적 상태의 집합이라는 관점에서 엔트로피의 근본적인 해석을 개발한 사람
• James Cluck Maxwell은 그러한 상태의 확률 분포 모델을 개발한
• 1884년 이 분야의 이름을 만든 조시아 윌러드 깁스

고전적인 열역학은 주로 열역학적 균형과 관련이 있는 반면, 통계 역학은 불균형에 의해 구동되는 비가역적 과정의 속도를 현미경으로 모델링하는 문제에 비균형 통계 역학에서 적용되어 왔다.이러한 공정의 예로는 화학 반응, 입자 및 열의 흐름이 있습니다.변동-방산정리는 다수의 입자로 구성된 시스템에서 정상 상태 전류 흐름의 가장 단순한 비균형 상황을 연구하기 위해 비균형 통계 역학을 적용하여 얻은 기본 지식이다.

원칙: 기계와 앙상블

물리학에서는 보통 두 가지 종류의 역학을 조사한다: 고전 역학과 양자 역학.두 가지 유형의 역학에 대해 표준 수학적 접근법은 두 가지 개념을 고려하는 것이다.

• 상점(고전 역학) 또는 순수 양자 상태 벡터(양자 역학)로 수학적으로 인코딩된 주어진 시간의 기계 시스템 전체 상태.
• 시간을 앞당기는 운동 방정식:해밀턴 방정식(고전 역학) 또는 슈뢰딩거 방정식(양자 역학)

이 두 가지 개념을 사용하여 원칙적으로 과거든 미래든 다른 시간의 상태를 계산할 수 있습니다.그러나 이러한 법칙과 일상생활의 경험 사이에는 단절이 있다. 왜냐하면 우리는 인간 규모의 과정을 수행하는 동안(예를 들어 화학 반응을 수행할 때) 각 분자의 동시 위치와 속도를 정확하게 알 필요가 없다는 것을 발견하기 때문이다.통계역학은 시스템의 상태에 대한 불확실성을 추가함으로써 역학의 법칙과 불완전한 지식의 실제 경험 사이의 이러한 단절을 메운다.

일반 역학은 단일 상태의 동작만을 고려하는 반면, 통계 역학은 통계 앙상블을 도입한다.통계 앙상블은 다양한 상태의 가상적이고 독립적인 시스템 복사본의 대규모 집합이다.통계 앙상블은 시스템의 모든 가능한 상태에 대한 확률 분포입니다.고전 통계역학에서 앙상블은 (일반 역학의 단일 위상점과 대조적으로) 위상점에 대한 확률 분포이며, 보통 표준 좌표 축을 가진 위상 공간에서의 분포로 표현된다.양자통계역학에서 앙상블은 순수 ^{[note 1]}상태에 대한 확률분포이며, 밀도행렬로 간략하게 요약될 수 있다.

확률의 경우와 마찬가지로 앙상블은 다양한 ^[1]방법으로 해석할 수 있습니다.

• 앙상블은 단일 시스템이 있을 수 있는 다양한 가능한 상태를 나타내기 위해 취해질 수 있다(빈혈 확률, 지식의 형태).
• 앙상블의 구성원은 무한 수의 시험 한계에서 유사하지만 불완전하게 제어된 방식(확률)으로 준비된 독립 시스템에 반복된 실험에서 시스템의 상태로 이해할 수 있다.

이 두 가지 의미는 여러 가지 목적에서 동일하며 이 글에서 서로 바꿔서 사용될 것입니다.

그러나 확률은 해석되지만 앙상블 내의 각 상태는 운동 방정식에 따라 시간이 지남에 따라 진화한다.따라서 앙상블 내의 가상 시스템이 지속적으로 하나의 상태를 이탈하고 다른 상태로 진입함에 따라 앙상블 자체(상태에 대한 확률 분포)도 진화합니다.앙상블의 진화는 Liouville 방정식(고전 역학) 또는 von Neumann 방정식(양자 역학)에 의해 주어진다.이러한 방정식은 단순히 앙상블에 포함된 각 가상 시스템에 개별적으로 기계적 운동 방정식을 적용하여 도출되며, 가상 시스템이 상태 간에 발전함에 따라 시간이 지남에 따라 보존될 가능성이 높아집니다.

앙상블의 한 가지 특별한 클래스는 시간이 지남에 따라 진화하지 않는 앙상블이다.이러한 앙상블을 평형 앙상블이라고 하며, 그 상태를 통계적 평형이라고 한다.통계적 균형은 앙상블의 각 상태에 대해 앙상블이 그 ^{[note 2]}상태에 있을 확률과 동일한 확률과 함께 미래 및 과거 상태를 모두 포함하는 경우에 발생한다.고립된 시스템의 평형 앙상블 연구는 통계 열역학의 초점이다.비균형 통계 역학은 시간에 따라 변화하는 앙상블의 보다 일반적인 경우 및/또는 비분리 시스템의 앙상블을 다룬다.

통계 열역학

통계 열역학(균형 통계역학이라고도 함)의 주요 목표는 구성 입자의 특성과 그 입자들 간의 상호작용 측면에서 물질의 고전적인 열역학을 도출하는 것이다.다시 말해, 통계 열역학은 열역학 평형에 있는 물질의 거시적 특성과 물질 내부에서 발생하는 미시적 행동과 운동 사이의 연결을 제공한다.

통계 역학은 적절한 역학을 수반하지만, 여기서는 통계적 균형(안정적 상태)에 관심이 집중된다.통계적 평형은 입자가 움직임을 멈춘 것을 의미하지 않고(기계적 평형), 앙상블이 진화하고 있지 않다는 것을 의미한다.

기본 가정

고립된 시스템과의 통계적 평형을 위한 충분한(필요하지는 않지만) 조건은 확률 분포가 보존된 특성(총 에너지, 총 입자 수 등)^[1]의 함수라는 것이다.고려될 수 있는 많은 다른 평형 앙상블이 있으며, 그 중 일부만 ^[1]열역학에 해당합니다.주어진 시스템에 대한 앙상블이 왜 어떤 형태를 가져야 하는지 동기를 부여하기 위해 추가 가설이 필요합니다.

많은 교과서에서 볼 수 있는 일반적인 접근법은 등선험 확률 ^[2]공식을 취하는 것이다.이 가정은 다음과 같습니다.

정확히 알려진 에너지와 정확히 알려진 구성을 가진 고립된 시스템의 경우, 시스템은 해당 지식과 일치하는 모든 미시 상태에서 동일한 확률로 찾을 수 있습니다.

따라서 동등한 우선 확률 가정은 아래에 설명된 미세 규범 앙상블에 동기를 부여한다.동등한 우선 확률 공식을 지지하는 다양한 주장이 있다.

• 에르고딕 가설:에르고딕 시스템은 시간이 지남에 따라 "모든 접근 가능한" 상태, 즉 동일한 에너지와 구성을 가진 모든 상태를 탐색하기 위해 진화하는 시스템입니다.에르고딕 시스템에서 마이크로캐노닉 앙상블은 고정된 에너지를 가진 유일한 가능한 평형 앙상블이다.이 접근법은 대부분의 시스템이 에르고딕이 아니기 때문에 적용 가능성이 제한적이다.
• 무관심의 원칙:더 이상의 정보가 없을 경우 각 호환 가능한 상황에 동일한 확률만 할당할 수 있습니다.
• 최대 정보 엔트로피:무관심의 원리에 대한 보다 정교한 버전은 올바른 앙상블이 알려진 정보와 호환되며 깁스 엔트로피(정보 ^[3]엔트로피)가 가장 큰 앙상블이라는 것입니다.

통계역학에 대한 다른 기본적인 가정도 ^[4][5][6]제시되었다.예를 들어, 최근의 연구는 통계 역학의 이론이 동등한 우선 확률 ^[5][6]가정 없이 구축될 수 있다는 것을 보여준다.그러한 형식주의 중 하나는 다음과 같은 일련의 ^[5]공식과 함께 기본적인 열역학 관계에 기초한다.

여기서 세 번째 공식은 ^[6]다음과 같이 대체될 수 있습니다.

3개의 열역학 앙상블

유한 ^[1]체적 내에 경계가 있는 모든 고립된 시스템에 대해 정의할 수 있는 단순한 형태의 세 개의 평형 앙상블이 있습니다.이것들은 통계 열역학에서 가장 자주 논의되는 앙상블이다.거시적 한계(아래 정의)에서는 모두 고전적인 열역학에 해당합니다.

마이크로캐노닉 앙상블

에, 정확하게 주어진 에너지와 고정 성분(입자수)을 가지는 시스템을 나타냅니다.마이크로캐노닉 앙상블은 에너지 및 구성과 일치하는 각각의 가능한 상태를 동일한 확률로 포함합니다.

표준 앙상블

에, 정밀한 온도의 열욕과 열평형^{[note 3]} 상태에 있는 고정 조성의 시스템을 나타냅니다.표준 앙상블은 다양한 에너지 상태를 포함하지만 구성이 동일합니다. 앙상블의 다른 상태는 총 에너지에 따라 다른 확률을 부여합니다.

그랜드 표준 앙상블

에, 열역학적 저장소와 열적 및 화학적 평형 상태에 있는 비금속 조성(입자 번호)을 가진 시스템을 나타냅니다.탱크에는 다양한 유형의 입자에 대한 정확한 온도와 정확한 화학적 잠재력이 있습니다.그랜드 표준 앙상블은 다양한 에너지와 다양한 입자 수의 상태를 포함합니다. 앙상블의 다양한 상태는 총 에너지와 총 입자 수에 따라 다른 확률을 부여합니다.

많은 입자를 포함하는 시스템의 경우(열역학 한계), 위에 나열된 세 앙상블 모두 동일한 동작을 하는 경향이 있습니다.어떤 앙상블이 사용되는지는 ^[7]단순히 수학적 편의성의 문제이다.앙상블의^[8] 등가성에 관한 깁스 정리는 기능분석에서 인공지능과 빅데이터 ^[10]기술에 이르기까지 과학의 여러 분야에서 응용되는 측정 집중현상 ^[9]이론으로 발전되었다.

열역학적 앙상블이 동일한 결과를 제공하지 않는 중요한 사례는 다음과 같습니다.

• 현미경 시스템.
• 단계적 이행에 있는 대규모 시스템.
• 장거리 상호작용이 가능한 대규모 시스템.

이러한 경우, 이러한 앙상블 사이에는 변동의 크기뿐만 아니라 입자의 분포와 같은 평균 양에서도 관측할 수 있는 차이가 있기 때문에 올바른 열역학 앙상블을 선택해야 합니다.올바른 앙상블은 시스템이 준비되고 특성화된 방식, 즉 시스템에 ^[2]대한 지식을 반영하는 앙상블입니다.

	열역학 앙상블[1]
	마이크로캐논ical	표준	그랜드 캐노니컬
고정 변수	${\displaystyle E,N,V}$	${\displaystyle T,N,V}$	${\displaystyle T,\mu,V}$
미세한 특징	마이크로스테이트 수 ${\displaystyle W}$	표준 파티션 함수 ${\displaystyle Z=\sum _{k}e^{-E_{k}/k_{B}T}}$	그랜드 파티션 기능 ${\displaystyle {\mathcal {Z}}=\sum _{k}e^{-(E_{k}-\mu N_{k})/k_{B}T}}$
거시적 함수	볼츠만 엔트로피 ${\displaystyle S=k_{B}\log W}$	헬름홀츠 자유 에너지 ${\displaystyle F=-k_{B}T\log Z}$	대잠재력 $\displaystyle \Omega =-k_{B}T\log {mathcal {Z}}$

계산방법

주어진 시스템에 대해 앙상블의 특성 상태 함수가 계산되면 해당 시스템은 '해결'됩니다(특성 상태 함수에서 거시적 관찰 가능).그러나 열역학적 앙상블의 특성 상태 함수를 계산하는 것은 시스템의 모든 가능한 상태를 고려해야 하기 때문에 반드시 간단한 작업은 아닙니다.일부 가상 시스템은 정확하게 해결되었지만, 가장 일반적인(그리고 현실적인) 사례는 정확한 솔루션을 제공하기에는 너무 복잡합니다.진정한 앙상블을 근사하고 평균 수량을 계산할 수 있도록 다양한 접근법이 존재합니다.

정확한

정확한 해결책이 가능한 경우가 있습니다.

• 초소형 현미경 시스템의 경우 앙상블은 시스템의 모든 가능한 상태에 대해 간단히 열거함으로써 직접 계산할 수 있습니다(양자역학에서는 정확한 대각화를 사용하거나 고전역학에서는 모든 위상 공간에 적분).
• 일부 대형 시스템은 분리 가능한 많은 현미경 시스템으로 구성되며, 각 하위 시스템은 독립적으로 분석될 수 있다.특히, 비상호작용 입자의 이상화된 기체는 맥스웰-볼츠만 통계, 페르미-디락 통계, 보스-아인슈타인 ^[2]통계의 정확한 도출을 가능하게 하는 이러한 특성을 가지고 있다.
• 상호 작용이 있는 몇 개의 대형 시스템이 해결되었습니다.미묘한 수학적 기법을 사용함으로써 몇몇 장난감 ^[11]모델에 대한 정확한 해법이 발견되었다.예를 들어 Bethe ansatz, 0 필드의 정사각형 이싱 모델, 딱딱한 육각형 모델 등이 있습니다.

몬테카를로

컴퓨터에 특히 적합한 대략적인 접근방식은 몬테카를로 방법인데, 몬테카를로 방법은 무작위로 (적당한 무게로) 선택된 상태로 시스템의 가능한 몇 가지 상태만을 조사한다.이들 상태가 시스템 전체 상태의 대표 샘플을 형성하는 한 대략적인 특성 함수를 얻을 수 있다.랜덤 샘플이 점점 더 많이 포함됨에 따라 오차는 임의로 낮은 수준으로 감소합니다.

• Metropolis-Hastings 알고리즘은 처음에 표준 앙상블 표본 추출에 사용된 고전적인 몬테카를로 방법이다.
• 경로 적분 몬테 카를로, 표준 앙상블 샘플링에도 사용됩니다.

다른.

• 희박한 비이상적 가스의 경우, 클러스터 확장과 같은 접근법은 섭동 이론을 사용하여 약한 상호작용의 효과를 포함시켜 바이러스성 ^[12]확장을 이끈다.
• 고밀도 유체의 경우, 다른 근사 접근법은 감소된 분포 함수,^[12] 특히 방사 분포 함수에 기초한다.
• 분자역학 컴퓨터 시뮬레이션은 에르고드 시스템에서 마이크로캐노닉 앙상블 평균을 계산하기 위해 사용될 수 있다.확률적 열욕에 대한 연결을 포함하면 표준 및 그랜드 표준 조건도 모델링할 수 있습니다.
• 비균형 통계 기계적 결과(아래 참조)와 관련된 혼합 방법이 유용할 수 있다.

비균형 통계역학

많은 물리적 현상에는 평형에서 벗어난 준열역학적 과정이 수반됩니다. 예를 들어 다음과 같습니다.

• 온도 불균형으로 인한 물질 내부 운동에 의한 열 전달
• 전압 불균형에 의해 구동되는 도체의 전하 운동에 의해 전달되는 전류
• 자유 에너지의 감소로 인한 자발적 화학 반응,
• 마찰, 산란, 양자탈결성,
• 외부 힘에 의해 펌핑되는 시스템(펌핑 등),
• 돌이킬 수 없는 프로세스입니다.

이러한 모든 프로세스는 시간이 지남에 따라 특징적인 속도로 발생합니다.이 비율은 엔지니어링에서 중요합니다.비균형 통계역학 분야는 이러한 비균형 과정을 미시적 수준에서 이해하는 것과 관련이 있다. (통계 열역학은 외부 불균형이 제거되고 앙상블이 다시 평형으로 자리를 잡은 후에야 최종 결과를 계산하기 위해 사용될 수 있다.)

원칙적으로, 비균형 통계 역학은 수학적으로 정확할 수 있다: 고립된 시스템을 위한 앙상블은 Liouville 방정식 또는 그것의 양자 등가인 von Neumann 방정식과 같은 결정론적 방정식에 따라 시간이 지남에 따라 진화한다.이 방정식은 앙상블의 각 상태에 독립적으로 운동 방정식을 적용한 결과입니다.불행히도, 이러한 앙상블 진화 방정식은 기초가 되는 기계적 운동의 복잡성의 대부분을 계승하고 있기 때문에, 정확한 해법을 얻는 것은 매우 어렵습니다.더욱이, 앙상블 진화 방정식은 완전히 가역적이며 정보를 파괴하지 않는다(앙상블의 깁스 엔트로피는 보존된다).비가역 프로세스 모델링에서 진전을 이루기 위해서는 확률 및 가역 역학 외에 추가 요소를 고려해야 합니다.

따라서 비균형 역학은 이러한 추가 가정의 타당성 범위가 계속 탐구됨에 따라 이론 연구의 활성 영역이다.다음 서브섹션에서 몇 가지 접근법에 대해 설명합니다.

확률적 방법

비균형 통계 역학에 대한 한 가지 접근법은 확률적(랜덤) 행동을 시스템에 통합하는 것이다.확률적 행동은 앙상블에 포함된 정보를 파괴합니다.이는 기술적으로 부정확하지만(블랙홀과 관련된 가상의 상황을 제외하고, 시스템 자체로는 정보 손실을 일으킬 수 없음), 랜덤성은 시간이 지남에 따라 관심 있는 정보가 시스템 내 또는 시스템과 환경 간의 미묘한 상관관계로 변환된다는 것을 반영하기 위해 추가됩니다.이러한 상관 관계는 관심 변수에 대한 혼돈 또는 유사 난수의 영향으로 나타납니다.이러한 상관관계를 적절한 랜덤성으로 대체함으로써 계산을 훨씬 쉽게 할 수 있습니다.

근균형법

비균형 통계 기계 모델의 또 다른 중요한 클래스는 평형에서 아주 약간만 교란되는 시스템을 다룬다.매우 작은 동요로, 반응은 선형 반응 이론에서 분석될 수 있다.변동-분산 정리에 의해 공식화된 주목할 만한 결과는, 시스템이 거의 평형 상태에 있을 때 시스템의 반응이 전체 평형 상태에 있을 때 발생하는 변동과 정확하게 관련된다는 것이다.본질적으로, 외력에 의해서든 변동에 의해서든 평형에서 약간 떨어져 있는 시스템은 같은 방식으로 평형을 향해 긴장을 푼다. 왜냐하면 시스템은 평형에서 어떻게 ^{[12]: 664} 멀어지게 되었는지 차이를 알 수 없기 때문이다.

이는 평형통계역학에서 결과를 추출함으로써 오믹 전도율 및 열 전도율과 같은 수치를 얻기 위한 간접적인 방법을 제공한다.평형 통계 역학은 수학적으로 잘 정의되어 있고 (어떤 경우에는) 계산에 더 적합하기 때문에, 변동-분산 연결은 거의 평형 통계 역학의 계산에 편리한 지름길이 될 수 있다.

이 접속에 사용되는 이론적인 툴에는 다음과 같은 것이 있습니다.

• 변동-방산 정리
• 온사저 호혜 관계
• 그린쿠보 관계
• 란다우어뷔티커 형식주의
• 모리-즈완치히 형식주의

하이브리드 방식

고급 접근법은 확률적 방법과 선형 반응 이론의 조합을 사용한다.예를 들어, 전자 시스템의 컨덕턴스에서 양자 일관성 효과(약한 국소화, 전도성 변동)를 계산하는 한 가지 접근방식은 켈디시 ^[13][14]방법을 사용하여 다양한 전자 간의 상호작용에 의한 확률적 디페이징을 포함하는 그린-쿠보 관계를 사용하는 것이다.

열역학 이외의 응용 프로그램

앙상블 형식주의는 시스템 상태에 대한 지식이 불확실한 일반 기계 시스템을 분석하는 데도 사용될 수 있습니다.앙상블은 다음 분야에서도 사용됩니다.

• 시간의 ^[1]경과에 따른 불확실성의 전파,
• 중력 궤도의 회귀 분석,
• 날씨의 앙상블 예측,
• 신경망의 역학,
• 게임 이론과 경제학의 유계적 잠재적 게임들.

역사

1738년, 스위스의 물리학자이자 수학자인 다니엘 베르누이는 기체의 운동 이론의 기초를 마련한 유체역학(Hydrodynamica)을 발표했다.이 연구에서 베르누이는 오늘날까지도 여전히 사용되고 있는 주장으로, 기체는 모든 방향으로 이동하는 수많은 분자로 이루어져 있고, 표면에 대한 충격이 우리가 느끼는 가스 압력을 유발하며, 우리가 열로 경험하는 것은 단지 그들의 ^[4]움직임의 운동 에너지라는 주장을 내세웠다.

1859년, 루돌프 클라우시우스의 분자 확산에 관한 논문을 읽은 후, 스코틀랜드의 물리학자 제임스 클럭 맥스웰은 분자 속도의 맥스웰 분포를 공식화했는데, 이것은 특정 ^[15]범위에서 일정한 속도를 가진 분자의 비율을 알려준다.이것은 ^[16]물리학에서 최초의 통계법칙이었다.맥스웰은 또한 분자 충돌은 온도의 균등화와 그에 따른 ^[17]평형 경향을 수반한다는 첫 번째 기계적 주장을 했다.5년 후인 1864년, 빈의 어린 학생인 루드비히 볼츠만은 맥스웰의 논문을 우연히 발견했고 그의 인생의 많은 부분을 이 주제를 더 발전시키는데 보냈다.

통계 역학은 볼츠만의 업적으로 1870년대에 시작되었고, 그 중 많은 것이 1896년 그의 가스 ^[18]이론 강의에 집단으로 출판되었다.열역학, H-이론, 수송 이론, 열 평형, 기체 상태 방정식, 그리고 이와 유사한 주제에 대한 볼츠만의 원본 논문은 비엔나 아카데미와 다른 사회의 진행에서 약 2,000페이지를 차지한다.볼츠만은 평형 통계 앙상블의 개념을 도입하고 H-이론을 사용하여 처음으로 비평형 통계 역학을 연구하였다.

"통계역학"이라는 ^{[19][note 4]}용어는 1884년 미국의 수리 물리학자 J. 윌러드 깁스에 의해 만들어졌다."확률론적 역학"이 오늘날 더 적절한 용어처럼 보일 수 있지만, "통계 역학"은 확고하게 ^[20]자리 잡고 있다.그가 죽기 직전에 깁스는 1902년 통계역학의 기초원칙(Elementary Principles in Statistical Mechanics)을 출판했는데, 이 책은 거시적 또는 미시적, 기체적 또는 비기체적 ^[1]모든 기계 시스템을 다루기 위한 완전히 일반적인 접근법으로 통계역학을 공식화한 책이다.깁스의 방법은 처음에는 고전역학 틀에서 파생되었지만, 그것들은 너무 일반적이어서 이후의 양자역학에 쉽게 적응하는 것으로 발견되었고,^[2] 오늘날까지 여전히 통계역학의 기초를 형성하고 있다.

「 」를 참조해 주세요.

메모들

레퍼런스

외부 링크

• 스탠포드 철학 백과사전을 위한 로렌스 스클라의 통계역학 논문.
• Sklogwiki - 열역학, 통계역학 및 재료의 컴퓨터 시뮬레이션.SklogWiki는 특히 액체와 부드러운 응축물을 지향합니다.
• 리처드 피츠패트릭의 열역학 및 통계역학
• Doron Cohen의 통계역학 및 메소스코픽 강의 노트
• Leonard Suskind가 가르치는 YouTube의 통계역학 강의 영상.
• Vu-Quoc, L., Configuration integrential (Statistical mechanics), 2008. 이 Wiki 사이트는 다운되었습니다.2012년 4월 28일 웹 아카이브에서 이 기사를 참조하십시오.