미디의 정리

수학에서는 프랑스 수학자 E의 이름을 딴 미디의 정리.미디(^[1]Midy)는 p가 프라임이고 a/p가 짝수 기간으로 반복되는 소수 확장(OEIS에서 순서 A028416)을 갖는 분수 a/p의 소수 확장에 대한 진술이다.a/p의 소수점 표시 기간이 2n이면 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {a}{p}}=0.{\overline {a_{1}a_{2}a_{3}\reason a_{n}a_{n+1}\reason a_{2n2}}:$

그 다음, 반복적인 소수점 주기의 후반에 있는 숫자는 그 전반부에 해당하는 숫자의 9s 보충수이다.바꾸어 말하면, 환언하면

${\displaystyle a_{i}+a_{i+n}=9}$

${\displaystyle a_{1}\properties a_{n}+a_{n+1}\properties a_{2n}=10^{n}-1.}$

예를 들어,

${\displaystyle {\frac {1}{13}=0.{\overline {076923}{\text{ 및 }}076+923=999.}$

${\displaystyle {\frac {1}{17}=0.{\overline {0588235294117647}{\text{ 및 }}05882352+941176474=999999999.}$

확장 미디의 정리

k가 a/p(p가 다시 prime이 되는 곳)의 소수확장 기간을 구분하는 것이라면, 미디의 정리는 다음과 같이 일반화할 수 있다.확장된 미디의 정리는^[2] a/p의 소수 확장 중 반복적인 부분을 k자리 숫자로 나눈다면, 그 합은 10^k - 1의 배수라고 명시하고 있다.

예를 들어,

${\displaystyle {\frac {1}{19}=0.{\overline {052631578947368421}$

기간은 18이다.반복 부분을 6자리 숫자로 나누고 합하면 다음과 같은 효과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle 052631+578947+368421=9999999.}$

마찬가지로 반복 부분을 3자리 숫자로 나누어 합하면 다음과 같은 효과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle 052+631+578+947+368+421=2997=3\1999.}$

다른 베이스에서의 미디의 정리

10^k - 1을 b^k - 1로 대체하고 b를 b - 1로 추가하면 Midy의 정리와 그 확장은 십진 확장이라는 특수 속성에 의존하지 않고 어떤 base b에서도 동등하게 잘 작동한다.

예를 들어, 8진수.

${\displaystyle {\pregated}&{\frac {1}{19}=0.{\overline {032745}\\[8pt]&032_{8}+745_{8}=777_{8}=777_{8}\[8pt]\[8pt]#03_{8}+27_{8}+45_{8}+45_{8}=77_{8}.\end{정렬}}}$

십진법(각각 10과 11에 대해 역2와 3을 사용)

${\displaystyle {\pregated}&{\frac {1}{19}=0.{\overline {076{\mathcal {E}}45}}_{12}\\[8pt]&076_{12}+{\mathcal {E}}45_{12}={\mathcal {EEE}}_{12}\\[8pt]&07_{12}+6{\mathcal {E}}_{12}+45_{12}={\mathcal {EE}}_{12}\end{aligned}}}$

미디의 정리 증명

미디의 정리에 대한 짧은 증거는 집단 이론의 결과를 이용하여 제시될 수 있다.그러나 초등 대수학 및 모듈식 산수를 사용하여 미디의 정리를 증명하는 것도 가능하다.

p는 prime이 되고 a/p는 0과 1 사이의 분수가 되게 하라.base b에서 a/p의 확장이 ℓ의 기간을 갖는다고 가정하자.

${\displaystyle {\buffered}&{\frac {a}{p}}=[0]{\overline {a_{1}a_{2}\cHB a_{\ell }}}_{b}\[6pt]&\rightarrow {\frac {a}{p}{p}b^{\ell }=[a_{1}a_{2}\dots a_{\ell }.{\overline {a_{1}a_{2}\cHB a_{\ell }}}_{b}\[6pt]&\오른쪽 화살표 {\frac {a}{p}b^{\ell }=N+[0]{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{\ell }}}_{b}=N+{\frac{p}}\[6pt]&\Rightarrow {\frac {a}{p}}={\frac {N}{b^{\ell }-1}\ended{aigned}}}}$

여기서 N은 base b의 확장이 aa₁₂...a_ℓ 문자열인 정수다.

b ^ℓ - 1은 ^ℓ (b - 1)a/p가 정수이기 때문에 p의 배수라는 점에 유의한다.또한 b-1은ⁿ n 이하의 값에 대해 p의 배수가 아니다. 그렇지 않으면 base b에서 a/p의 반복 기간이 ℓ보다 적을 것이기 때문이다.

이제 ℓ = hk라고 가정해보자.그러면 ^ℓ b - 1은^k b - 1의 배수다. (이를 위해서는^k b를 x로 대체하고, 그^h 다음^ℓ b = x와 x^h - 1은 x - 1. 인수로 한다.) b ^ℓ - 1 = m(b^k - 1)이라 한다.

${\displaystyle {\frac {a}{p}}={\frac {N}{m(b^{k}-1)}}.}$

그러나 b ^ℓ - 1은 p의 배수, b^k - 1은 p의 배수(k가 ℓ보다 작기 때문에)가 아니며, p는 prime이므로 m은 p와 p의 배수여야 한다.

${\displaystyle {\frac {am}{p}}={\frac {N}{b^{k}-1}}$

정수임바꾸어 말하면, 환언하면

${\displaystyle N\equiv 0{\pmod {b^{k}-1}.}$

이제 문자열 aa₁₂...a를_ℓ 길이 k의 동일한 부분으로 나누고, 이것들이 정수 N을₀ 나타내도록 하라...베이스 b에 N이_{h − 1} 있으니

${\displaystyle {\reasoned}N_{h-1}&=[a_{1}\dots a_{k}]_{b}\\N_{h-2}&=[a_{k+1}\dots a_{2k}]_{b}\\&{}\ \ \vdots \\N_{0}&=[a_{l-k+1}\dots a_{l}]_{b}\end{aligned}}}$

base b에서 Midy의 확장 정리를 증명하기 위해서는 h 정수 N의_i 합이 b - 1의^k 배수라는 것을 보여줘야 한다.

b는^k 1 modulo^k b - 1과 일치하므로, b의^k 어떤 힘도 1 modulo^k b - 1과 일치할 것이다. 따라서

${\displaystyle N=\sum _{i=0}^{h-1}N_{i-1}b^{ik}=\sum _{i=0}^{h-1}N_{i}(b^{k})^{i}}}}}}}:{i}}}}}}:{i}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \Rightarrow N\equiv \sum _{i=0}^{h-1}N_{i}{\pmod {b^{k}-1}}}$

${\displaystyle \Rightarrow \sum _{i=0}^{h-1}N_{i}\equiv 0{\pmod{b^{k}-1}}$

Base b에서 Midy의 확장된 정리를 증명한다.

원래의 미디의 정리를 증명하기 위해서는 h = 2. N과₀ N이₁ 모두 만족하도록 base b에서 k자리의 문자열로 표현되는 특별한 경우를 취한다.

${\displaystyle 0\leq N_{i}\leq b^{k}-1.}$

N과₀ N은₁ 모두 0(그렇지 않으면 a/p = 0)이^k 될 수 없고 b - 1(그렇지 않으면 a/p = 1)이 될 수 없으므로

${\displaystyle 0<N_{0}+N_{1}<2(b^{k}-1)}$

그리고₀ N + N은₁ b^k - 1의 배수이므로 다음과 같다.

${\displaystyle N_{0}+N_{1}=b^{k}-1.}$

코롤라리

위로부터,

${\displaystyle \frac{a}{}}$ ${\displaystyle \frac{m}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\$은(는) 정수임$$

따라서 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle 0}$(${\displaystyle \mathrm{mod}}$ ${\displaystyle p}$) ${\$ 0${\pmod{p}}}$

따라서 $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle \ell \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\$

${\displaystyle b^{\ell /2}+1\equiv 0{\pmod{p}}}$

$k{\displaystyle }$= ${\displaystyle \ell \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{3}{}}$ ${\$ k$={\frac {\ell }{3}}$의 경우 정수임

${\displaystyle b^{2\ell /3}+b^{\ell /3}+1\equiv 0{\pmod {p}}}$

등등.

메모들

참조

• Rademacher, H.와 Toeplitz, O.수학의 즐거움: 아마추어를 위한 수학 선택.프린스턴, NJ: 프린스턴 대학 출판부, 페이지 158–160, 1957.
• E. Midy, "De Quelkes Propertés des Nombres et des Fraites Décimales Périodique".프랑스 낭트 대학교: 1836년.
• 로스, 케네스 A. "반복 십진법: 시대 작품"수학. 매그 83(2010), 1번, 33–45.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Midy's Theorem". MathWorld.