반복 소수점

반복 십진수 또는 반복 십진수는 자릿수가 주기적인 숫자(정기적인 간격으로 값을 반복)를 10진수로 나타내며 무한 반복 부분이 0이 아닙니다.숫자는 소수점 표현이 반복되거나 종료되는 경우에만 합리적임을 보여줄 수 있다(즉, 완전히 많은 숫자를 제외한 모든 숫자가 0임).예를 들어, 10진수 표현은1/3은 소수점 직후에 주기가 되어 한 자리 숫자 "3"을 영원히 반복합니다. 즉, 0.333....보다 복잡한 예로는 3227/555가 있습니다.이 예에서는 소수점 뒤의 두 번째 자릿수로 소수점이 주기적으로 된 후 시퀀스 "144"를 영원히 반복합니다(예: 5.8144144144....).현재 십진법 반복에 대해 보편적으로 받아들여지는 표기법이나 표현법은 없다.

무한히 반복되는 숫자 시퀀스를 반복 또는 렙텐드라고 합니다.반복이 0일 경우 이 10진수 표현은 반복 10진수가 아니라 종료 10진수 표현이라고 불립니다.이는 0을 생략하고 이들 0보다 먼저 ^[1]끝내기 때문입니다.모든 끝 소수 표현은 분모가 10의 거듭제곱인 소수인 소수(예: 1.585 = 1585/1000)로 쓸 수 있으며, k/25^nm 형식의 비율(예: 1.585 = 317/25³²)로도 쓸 수 있다.단, 끝 소수 표현을 가진 모든 숫자는 반복이 숫자 9인 반복 소수로서 제2의 대체 표현을 가진다.이는 0이 아닌 마지막 자리(오른쪽 끝)를 1씩 줄이고 9. 1.000의 반복을 더함으로써 얻을 수 있습니다. = 0.999...1.585000... = 1.584999...두 가지 예가 있습니다.(이 타입의 반복 소수점은, 통상의 나눗셈 알고리즘의 변경 형식을 사용하는 경우, 긴 나눗셈으로 얻을 수 있습니다).^[2]

두 정수의 비율로 표현할 수 없는 숫자는 모두 비합리적이라고 한다.이들의 소수점 표현은 끝도 무한도 반복도 아닌 반복도 없이 영원히 연장됩니다( 참조). #모든 유리수는 끝 또는 반복 소수입니다).이러한 무리수의 예로는 22, π 등이 있다.

배경

표기법

이 섹션은 어떠한 출처도 인용하지 않습니다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 섹션의 개선에 도움을 주십시오. 조달되지 않은 자재는 제거될 수 있습니다.(2022년 5월) (이 템플릿메시지를 삭제하는 방법과 타이밍을 학습합니다)

반복 소수점을 나타내기 위한 몇 가지 알림 규칙이 있습니다.그 중 어느 것도 보편적으로 받아들여지지 않는다.

• 미국, 캐나다, 인도, 프랑스, 독일, 이탈리아, 스위스, 체코, 슬로바키아 및 터키에서는 반복 위에 수평선(빈큘럼)을 그린다.(아래 표의 Vinculum 열을 참조하십시오.)
• 영국, 뉴질랜드, 호주, 인도, 한국 및 중국 본토에서는 반복의 가장 바깥쪽 숫자 위에 점을 배치하는 것이 관례입니다.(아래 표의 도트 열의 예를 참조하십시오.)
• 유럽, 베트남, 러시아의 일부 지역에서는 반복을 괄호로 묶는 협약이 있다.(아래 표의 열 괄호 예제를 참조하십시오.)이는 표준 불확도 표기법과 혼동을 일으킬 수 있다.
• 스페인 및 일부 중남미 국가에서는 반복에 대한 호 표기법이 빈큘럼 및 점 표기법 대신 사용됩니다.(아래 표의 예제를 참조하십시오.호 열).
• 비공식적으로 소수점 반복은 줄임표(3 마침표, 0.333...)로 표현되는 경우가 많은데, 특히 이전 표기법이 학교에서 처음 가르칠 때는 더욱 그렇습니다.이 표기법은 어떤 숫자를 반복해야 하는지, 심지어 반복이 발생하고 있는지조차 불확실성을 야기한다. 왜냐하면 이러한 타원은 불합리한 숫자에도 사용되기 때문이다.예를 들어, θ는 3.14159로 나타낼 수 있다.

영어에서는 소수점 반복을 소리내어 읽는 방법이 다양하다.예를 들어 1.234는 "1점 2회 3사", "1점 2회 3사", "1점 2회 3사", "1점 2회 3사", 또는 "1점 2회 3사"로 읽을 수 있다.

10진수 확장 및 반복 시퀀스

분수로 표현되는 유리수를 십진수로 변환하기 위해서는 긴 나눗셈을 사용할 수 있다.예를 들어, 합리적인 번호 5/74에 대해 생각해 봅시다.

  0.0675 74 ) 5.00000 4.44 560 518 420 370 500

기타. 각 단계에서 나머지가 있는지 관찰하십시오. 위에 표시된 연속 잔량은 56, 42, 50입니다.나머지 50에 도달하여 "0"을 내리면 500을 74로 나눈다는 것을 알 수 있습니다. 이 문제는 처음과 같습니다.따라서 소수점 반복: 0.0675675675.....

입니다.

주어진 제수에 대해, 오직 많은 다른 잔여물만이 발생할 수 있다.0, 1, 2, ..., 73이다.나머지 나눗셈의 어느 한 점에서 0이면 팽창은 그 지점에서 끝납니다. '마침표됩니다. '마침표'는 0으로 정의됩니다.

0이 나머지로 발생하지 않으면 분할 프로세스는 영원히 계속되며, 결국 이전에 발생한 나머지가 발생해야 합니다.나눗셈의 다음 단계에서는 이전 시간과 동일한 새 자릿수와 동일한 새 나머지가 산출됩니다.따라서 다음 중분류에서도 동일한 결과가 반복됩니다.자릿수의 반복 시퀀스를 "repetend"라고 하며, 특정 길이가 0보다 커 "period"^[3]라고도 합니다.

또는 입니다.

각 반복 십진수는 정수계수를 갖는 선형방정식을 만족하며, 그 고유해는 유리수이다.후자의 점을 설명하기 위해, 위의 숫자 α = 5.8144144...는 방정식 10000α - 10α = 58144.144144...를 만족한다. - 58.144... = 58086, 그 용액은 α = 58086/9990 = 3227/555이다.이러한 정수 계수를 찾는 방법은 다음과 같습니다.

★★★

따라서 fraction은 단위분율 1/n, θ는₁₀ (10진수) 반복의 길이이다.

1/n, n = 1, 2, 3, ...의 소수 반복의 길이 θ₁₀(n)는 다음과 같습니다.

0, 0, 1, 6, 0, 1, 0, 0, 2, 6, 6, 1, 16, 1, 18, 0, 6, 2, 22, 1, 0, 6, 3, 6, 28, 1, 15, 2, 16, 6, 3, 18, 6, 5, 21, 22, 46,

비교를 위해, 분수 1/n, n = 1, 2, 3, ...의 이진 반복의 길이₂ θ(n)는 다음과 같다.

0, 0, 2, 3, 0, 6, 10, 2, 12, 3, 4, 0, 8, 6, 18, 4, 6, 10, 11, 2, 20, 12, 12, 18, 3, 28, 4, 5, 10, 8, 12, 6, 36, 12, 4, 14, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 20, 12, 12, 12, 12, 18, 20, 18, 4, 20, 18, 18, 4, 20, 18, 28, 28, 40, 20, 40, 40, 20, 18, 20, 18, 20, 18, 40, 20, 20, 20, 20, 18, 18, 18, 18, 20, 20, 20, 18,

1/n, n = 1, 2, 3, ...의 소수 반복은 다음과 같습니다.

0, 0, 3, 0, 6, 142857, 0, 1, 0, 09, 3, 076923, 714285, 6, 0588235294117647, 5, 0526315789473684, 0, 047619, 45, 04,347860869521739, 1739, 614, 04637

1/p, p = 2, 3, 5, ...(n번째 소수)의 소수 반복 길이는 다음과 같습니다.

0, 1, 0, 6, 16, 18, 22, 28, 15, 3, 21, 46, 13, 33, 35, 8, 13, 41, 44, 96, 4, 34, 53, 108, 112, 42, 8, 46, 148, 78, 81, 166, 43, 178, 180, 95, 99, 22, 113, 22, 22, 22, 22, 24, 142,

1/p가 10진수 반복 길이 n, n = 1, 2, 3, ...인 최소 소수 p는 다음과 같다.

3, 11, 37, 101, 71, 239, 73, 333667, 9091, 21649, 9901, 53, 909091, 31, 17, 2071723, 19, 111111111111111, 3541, 43, 23, 111111111111111111111, 9991, 851, 759

k/p가 n개의 다른 사이클(1µk µp p-1), n = 1, 2, 3, ...을 갖는 최소 소수 p는 다음과 같다.

7, 3, 103, 53, 11, 79, 211, 41, 73, 281, 353, 37, 2393, 449, 3061, 1889, 137, 2467, 16189, 641, 3109, 4973, 11087, 1321, 101, 7151, 757, 38629, 1231... (시퀀스 A0541)

소수분모분수

2 또는 5 이외의 소분모를 갖는 최소 조건의 소수(즉, 10에 대한 거듭제곱)는 항상 반복 소수점을 생성합니다.1/p의 반복(반복 소수점 세그먼트의 주기) 길이는 10 modulo p의 순서와 같다.10이 원시 루트 모듈로 p일 경우 반복 길이는 p - 1이 되고, 그렇지 않을 경우 반복 길이는 p - 1이 됩니다.이 결과는 10÷1 (mod p)이라는^p−1 페르마의 작은 정리로부터 추론할 수 있다.

5보다 큰 소수의 역수의 10진수는 9로 나눌 ^[4]수 있다.

prime p에 대한 1/p의 반복 길이가 p - 1일 경우, 정수로 표현되는 반복을 순환수라고 한다.

순환수

이 소분류에 속하는 분수의 예는 다음과 같다.

• 1/7 = 0.142857, 6자리 반복
• 1/17 = 0.0588235294117647, 16자리 반복
• 1/19 = 0.052631578947368421, 18자리 반복
• 1/23 = 0.0434786086952173913, 22자리 반복
• 1/29 = 0.0344827586206896551724137931 (28자리 반복)
• 1/47 = 0.0212765957446808510638297872340425531914893617, 46자리 반복
• 1/59 = 0.01694915254237288135593220338305084745762711864406779661, 58자리 반복
• 1/61 = 0.01639344262295081967213475409865577049180327868852459, 60자리 반복
• 1/97 = 0.01030927835051546175257731976288679384329897216494845360824742241237113406185567, 96자리 반복 숫자

리스트에는, 분수 1/109, 1/113, 1/131, 1/149, 1/167, 1/179, 1/181, 1/193등이 포함됩니다(OEIS의 시퀀스 A001913).

순환수의 모든 적절한 배수(즉, 같은 자릿수를 가지는 배수)는 회전입니다.

• 1/7 = 1 × 0.142857...= 0.142857...
• 2/7 = 2 × 0.142857...= 0.285714...
• 3/7 = 3 × 0.142857...= 0.428571...
• 4/7 = 4 × 0.142857...= 0.571428...
• 5/7 = 5 × 0.142857...= 0.714285...
• 6/7 = 6 × 0.142857...= 0.857142...

순환 거동의 이유는 1/7의 긴 나눗셈의 산술 연습에서 명백하다: 순차 잔차는 순환 배열 {1, 3, 2, 6, 4, 5}이다.이 순환 번호의 자세한 속성은 문서 142,857도 참조하십시오.

따라서 순환하는 분수는 짝수 길이의 반복 소수점을 가지며, 이는 9의 보형 형태로 두 개의 시퀀스로 분할됩니다.예를 들어 1/7은 '142'로 시작하여 '857'로 이어지는 반면, 6/7은 (회전하여) '857'로 시작하고 그 9는 '142'로 보완합니다.

순환수의 반복 회전은 항상 연속되는 각 반복수가 이전 수보다 큰 수인 방식으로 발생합니다.예를 들어 위의 순서로 0.142857이 표시됩니다.< 0.285714...< 0 . 428571 ...< 0.571428...< 0 . 714285 ...< 0 . 857142 ...이것은 반복이 긴 순환 분수에 대해 반복이 알려진 한 자연수 n을 곱한 결과를 쉽게 예측할 수 있게 해준다.

적정소수는 기저 10의 자리수 1로 끝나는 소수 p이며, 기저 10의 역수는 길이 p - 1의 반복을 가진다.이러한 소수점에서는, 각 자리수 0, 1,…, 9는, 같은 자리수(즉, p~1/10 회)로 반복 시퀀스에 표시됩니다.다음과 같은 것이 있습니다.^{[5]: 166}

61, 131, 181, 461, 491, 541, 571, 701, 811, 821, 941, 971, 1021, 1051, 1091, 1171, 1181, 1291, 1301, 1349, 1381, 1531, 1571, 1621, 1741, 1811, 1829, 1861,...(OEIS의 시퀀스 A073761).

소수는 완전 렙톤 소수이고 1 mod 10과 일치하는 경우에만 적절한 소수이다.

prime p가 완전 렙텐드 프라임과 안전 프라임일 경우 1/p는 p - 1 의사 랜덤 자릿수의 스트림을 생성합니다.그 소수점들은

7, 23, 47, 59, 167, 179, 263, 383, 503, 863, 863, 887, 983, 1019, 1367, 1487, 1619, 1823... (OEIS의 시퀀스 A000353)

소수의 기타 역수

순환수를 생성하지 않는 소수의 역수는 다음과 같습니다.

• 1/3 = 0.3. 주기(끝 길이)는 1입니다.
• 1/11 = 0.09. 주기는 2입니다.
• 1/13 = 0.076923, 주기는 6입니다.
• 1/31 = 0.032258064516129(주기 15).
• 1/37 = 0.027, 주기는 3입니다.
• 1/41 = 0.02439, 주기는 5입니다.
• 1/43 = 0.023255813953488372093(주기 21).
• 1/53 = 0.0188679245283(주기는 13).
• 1/67 = 0.014925373134328358208955223880597(주기는 33).

(OEIS의 시퀀스 A006559).

그 이유는 3은 9의 제수, 11은 99의 제수, 41은 9999의 제수 등입니다.1/p 주기를 구하려면 소수 p가 999를 나누는지 확인할 수 있습니다.p - 1을 자릿수로 나눈 999. p - 1보다 큰 주기는 없기 때문에 10 - 1/p를 계산하면^p−1 구할 수 있습니다.예를 들어, 11에 대해

${\displaystyle {10^{11-1}{11}=9090909}$

그리고 검사를 통해 반복 09와 주기 2를 찾습니다.

소수점들의 이러한 역수는 여러 개의 반복 소수점들의 수열과 연관될 수 있다.예를 들어, 1/13의 배수는 서로 다른 반복으로 두 세트로 나눌 수 있습니다.첫 번째 세트는 다음과 같습니다.

• 1/13 = 0.076923...
• 10/13 = 0.769230...
• 9/13 = 0.692307...
• 12/13 = 0.923076...
• 3/13 = 0.230769...
• 4/13 = 0.307692...,

여기서 각 분수의 반복은 076923의 주기적 재측정이다.두 번째 세트는 다음과 같습니다.

• 2/13 = 0.153846...
• 7/13 = 0.538461...
• 5/13 = 0.384615...
• 11/13 = 0.846153...
• 6/13 = 0.461538...
• 8/13 = 0.615384...,

여기서 각 분수의 반복은 153846의 주기적 재측정이다.

일반적으로, 소수 p의 역수의 적절한 배수 집합은 각각 반복 길이 k를 갖는 n개의 부분 집합으로 구성된다. 여기서 nk = p - 1이다.

전체 규칙

임의의 정수 n에 대하여 1/n의 10진수 반복의 길이 L(n)은 θ(n)를 나눗셈한다.여기서 θ는 전체함수이다.길이는 10이 원시 루트 모듈 ^[6]n인 경우에만 θ(n)와 같습니다.

특히, p가 소수이고 10이 원시 루트 모듈로 p인 경우에만 L(p) = p - 1이 된다.그런 다음, n = 1, 2, ..., p - 1에 대한 n/p의 소수 확장은 모두 주기 p - 1을 가지며 순환 순열로만 다릅니다.이러한 숫자 p를 완전 반복 소수라고 합니다.

복합 정수의 역수 10에 대한 거듭제곱

p가 2 또는 5 이외의 소수일 경우 소수 1/p의² 소수점 표현이 반복됩니다.

1/49 = 0.020408163265306122448979591836734693877551.

주기(끝 길이) L(49)은 θ(49) = 42의 인수여야 하며, 여기서 θ(n)는 카마이클 함수라고 한다.이것은 만약 n이 양의 정수라면, θ(n)는 다음과 같은 가장 작은 정수 m이라는 카마이클의 정리로부터 이어진다.

${\displaystyle a^{m}\equiv 1cpmod {n}}$

모든 정수 a에 대해 n을 공유합니다.

1/p의² 주기는 보통_p pT입니다.여기서_p T는 1/p의 주기입니다.이는 사실이 아닌 것으로 알려진 3개의 소수가 있으며 p는 10-1로^p−1 나누기 때문에² 1/p의² 기간은 1/p의 기간과 동일합니다.이들 3개의 소수는 3, 487 및 56598313(OEIS의 ^[7]시퀀스 A045616)입니다.

마찬가지로 1/p의^k 주기는 보통 pT입니다^k–1_p.

p와 q가 2 또는 5 이외의 소수일 경우, 1/pq의 소수점 표현이 반복됩니다.예를 들어 1/119 입니다.

119 = 7 × 17

((7 × 17) = LCM(7), λ(17) = LCM(6, 16) = 48,

여기서 LCM은 최소공배수를 나타냅니다.

1/pq의 주기 T는 δ(pq)의 인수이며, 이 경우 48이 됩니다.

1/119 = 0.00840336134453781512504201680672268756302521.

1/pq의 주기 T는 LCM(T_p, T_q)입니다.여기서_p T는 1/p의_q 주기, T는 1/q의 주기입니다.

p, q, r 등이 2 또는 5 이외의 소수이고 k, θ, m 등이 양의 정수일 경우,

${\displaystyle {1}{p^{k}q^{\ell}r^{m}\cdots}}$

의 마침표를 갖는 반복 소수점입니다.

${\displaystyle \operatorname {LCM} (T_{p^{k}, T_{q^{\ell}, T_{r^{m}},\ldots)}$

여기서_p^k T, T_q^ℓr^m, T, ...는 각각 위에서 정의한 반복 소수점 1/p^k, 1/q^ℓ, 1/r...의^m 주기이다.

10과 곱하지 않은 정수의 역수

10과 동일하지는 않지만 2 또는 5 이외의 소수 계수를 갖는 정수는 결국 주기적이지만 반복 부분 앞에 반복되는 자릿수의 시퀀스가 없는 역수를 가집니다.역수는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

${\displaystyle {1}{2^{a}5^{b}p^{k}q^{\ell}\cdots}},},}$

여기서 a와 b는 둘 다 0이 아닙니다.

이 부분은 다음과 같이 나타낼 수도 있습니다.

${\displaystyle {5^{a-b}}{10^{a}p^{k}q^{\ell}\cdots}},},}$

a > b 또는 as의 경우

${\displaystyle {2^{b-a}}{10^{b}p^{k}q^{\ell}\cdots}},},}$

b > a 또는 as일 경우

${\displaystyle {1}{10^{a}p^{k}q^{\ell}\cdots }},},$

a = b인 경우.

소수점에는 다음이 있습니다.

• 소수점 뒤의 max(a, b) 자리수의 초기 과도.과도기의 일부 또는 모든 자릿수는 0일 수 있습니다.
• fraction 1/p^kℓ q µ과 같은 후속 반복.

예: 1/28 = 0.03571428:

• a = 2, b = 0 및 기타 요인^k p^ℓ q = 7
• 첫 번째 숫자 03은 2자리입니다.
• 반복 자릿수가 6자리이고 571428은 1/7과 같은 양입니다.

반복 소수점을 분수로 변환

반복 소수점을 지정하면 그 소수를 산출하는 분수를 계산할 수 있습니다.예를 들어 다음과 같습니다.

${\displaystyle x}$	${\displaystyle = 0.333333\ldots}$
${\displaystyle 10x}$	${\displaystyle = 3.333333\ldots}$	(상기 라인의 각 측면을 10씩 이동)
${\displaystyle 9x}$	${\displaystyle = 3}$	(두 번째 줄부터 첫 번째 줄부터 시작)
${\displaystyle x}$	${\displaystyle = snarfrac {3}{9}} = snarfrac {1}{3}}$	(최저 조건으로 변경)

또 다른 예는 다음과 같습니다.

${\displaystyle x}$	$\ displaystyle = \ \ \ 0 . 836363636 \ ldots }$
${\displaystyle 10x}$	$\ displaystyle = \ \ \ 8 . 363636 \ ldots }$	(반복 시작 소수점 이동 = 1자리 이동 = 10 곱하기)
${\displaystyle 1000x}$	${\displaystyle = 836.363636\ldots}$	(여기서 두 번째 반복을 위의 첫 번째 반복과 대조 = 두 자리 이동 = 100 곱하기)
${\displaystyle 990x}$	${\displaystyle = 828}$	(소수점을 클리어하기 위해 필요)
${\displaystyle x}$	${\displaystyle = scdfrac {828}{990}= scdot {18\cdot 46}{18\cdot 55}= scdfrac {46}{55}}}$	(최저 조건으로 변경)

지름길

다음 절차는 특히 반복이 n자리 숫자이고 마지막 숫자인 1을 제외한 모든 숫자가 0일 때 적용할 수 있습니다.예를 들어 n = 7인 경우:

$({displaystyle {aligned}x&= 0.000000100001\ldots\10^{7}x&= 1.0000100001\ldots\left(10^{7}-1\right)x=9999999x&=1\x&quot;{10^7}{1-ac})$

따라서 이 특별한 반복 소수점은 1/10ⁿ - 1에 해당하며, 여기서 분모는 n 9s로 쓰여진 숫자입니다.그것만 알면 방정식을 풀 필요 없이 일반 반복 소수점을 분수로 표현할 수 있다.예를 들어 다음과 같은 이유를 들 수 있습니다.

$({displaystyle {aligned} 7.481818\ldots &= 7.3+0.181818\ldots \ [ 8pt ]&=parcfrac {73) {739}=parc {73) {10}+{\frac {9\cdot 11}}}+frac {10}$

소수점 직후에 시작하는 n자리 주기(반복 길이)를 갖는 반복 소수점을 분수로 나타내는 일반 공식을 얻을 수 있습니다.

$(\displaystyle\signed\x&=0).{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\10^{n}x&=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}.({a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\\left(10^{n}-1\right)x=99\cdots 99x&=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\x&=frac {a_{1}a_{2}\cdots_{n}-{n})$

보다 구체적으로 말하면, 다음과 같은 경우가 있습니다.

반복소수가 0과 1 사이이고 반복블록의 길이가 n자리일 경우 소수점 직후에 첫 번째로 발생하며, 이 분수(반복소수)는 n자리 블록으로 표현되는 정수(반복소수)를 n자리 9로 표현되는 정수(반복소수)가 됩니다.예를들면,

• 0.444444... = 4/9 반복 블록이 4(1자리 블록),
• 0.565656...= 56/99 반복 블록이 56(2자리 블록),
• 0.012012...= 반복 블록이 012(3자리 블록)이므로 12/999이며, 이는 4/333으로 더욱 감소합니다.
• 0.999999...반복 블록이 9이므로 = 9/9 = 1 (1자리 블록도 있음)

반복 소수점이 위와 같으면 소수점과 반복 n자리 블록 사이에 k자리 숫자 0이 있는 것을 제외하고 분모의 n자리 숫자 9 뒤에 k자리 숫자 0을 더하면 된다(그리고 이전과 같이 분수는 단순화할 수 있다).예를들면,

• 0.000444... = 4/9000. 반복 블록이 4이고 이 블록 앞에 3개의 0이 있으므로,
• 0.005656...= 56/9900 반복 블록이 56이고 앞에 0이 2개 있으므로,
• 0.00012012...반복 블록이 012이고 앞에 두 개의 0이 있으므로 = 12/99900 = 1/8325입니다.

위에서 설명한 형식이 아닌 모든 반복 소수점은 끝 소수점과 위의 두 유형 중 하나의 반복 소수점의 합으로 쓸 수 있습니다(실제로 첫 번째 유형은 충분하지만 종료 소수점이 음수여야 할 수 있습니다).예를들면,

• 1.23444...= 1.23 + 0.00444...= 123/100 + 4/900 = 1107/900 + 4/900 = 1111/900
  • 또는 1.234444...= 0.79 + 0.44444...= 79/100 + 4/9 = 711/900 + 400/900 = 1111/900
• 0.3789789...= 0.3 + 0.0789789...= 3/10 + 789/9990 = 2997/9990 + 789/9990 = 3786/9990 = 631/1665
  • 또는 0.37989789...= −0.6 + 0.9789789...= -6/10 + 978/999 = -5994/9990 + 9780/9990 = 3786/9990 = 631/1665

더 빠른 방법은 소수점을 완전히 무시하고 이렇게 가는 것이다.

• 1.23444...= 1234 - 123/900 = 1111/900(숫자 하나가 반복되고 소수점 뒤에 소수점이 아닌 두 개의 숫자가 있으므로 계산기에는 9와 0이 하나씩 있음)
• 0.3789789...= 3789 - 3/9990 = 3786/9990(소수점 뒤에 세 자리 숫자가 반복되고 소수점 뒤에 한 자리 숫자가 있으므로 계산기는 세 개의 9와 하나의 0을 가집니다)

따라서 반복 부분에 속하지 않는 소수점 n과 소수점 이후의 k자리의 반복 소수점은 분모가 (10ⁿ - 1)10인^k 분수로 쓸 수 있습니다.

반대로 10 - 1이 d로 나누어지도록 분수의ⁿ 반복 소수점 c/d의 주기는 (최대) 가장 작은 숫자 n이 된다.

예를 들어, 분수 2/7은 d = 7이고, 10-1을 7로 나누어주는 가장^k 작은 k는 k = 6이다. 99999 = 7 × 142857이기 때문이다.따라서 분수 2/7의 주기는 6이다.

압축된 형식

다음 그림은 위의 단축키를 압축한 것입니다.$따라서{\displaystyle \mathbf{}}$I(\$displaystyle \mathbf$$${$I})$는 소수점 왼쪽의 정수 부분 자릿수를 $,$ $A(\$displaystyle \$mathbf${A$$$\}){\displaystyle \mathrm{}}$는 사전 주기의 ${\displaystyle 자릿수}$와$$#A(\displaystyle \#\$mathbf$ {A$$$})$의 길이 및$(\mathbf {A})$의 문자열을 구성합니다.길이${\displaystyle \mathrm{}}$# $(\$가 0이 아닌 반복 자릿수 문자열( 마침표).

포메이션 룰

생성된 분수로 $숫자{\displaystyle \mathrm{}}$ 9$({style$ 9$})$가 #$({$로${\displaystyle \mathrm{}}$반복되고 $숫자{\displaystyle \mathrm{}}$0({$displaystyle$ 0$})$이 #$({displaystyle \#\mathbf$ {$A})$로${\displaystyle \mathrm{}}$반복됩니다.

소수점에 정수 부분이 없는 경우 I$(\$는 0으로 표시되며, 이는 다른 자릿수의 왼쪽에 있으므로 최종 결과에 영향을 주지 않으며 생성 함수 계산에서 생략될 수 있습니다.

예:

$3.254444...&=3.25 오버라인 {4}&=begin{Bmatrix}\mathbf {I} =3&\mathbf {A} =25&\mathbf {P} =4\&#\mathbf {A} =2&\\mathbf {P} =1&amp;Frac}&=0.{\overline {512}&=begin{Bmatrix}\mathbf {I} =0&\mathbf {A} =\emptyset &\mathbf {P} =0&#\mathbf {P} =3b종료&=1.0 오버라인 {911}&=begin{Bmatrix}\mathbf {I} =1&\mathbf {A} =0&\mathbf {P} =1&\#mathbf {P} =2&#mathbf {Ac}&1.{\overline {3}}&=begin{Bmatrix}\mathbf {I} =1&\mathbf {A} =\emptyset &\mathbf {P} =3\&#\mathbf {P} =1&#mathbf {I}&=0.3 overline {789}&=begin{Bmatrix}\mathbf {I} =0&\mathbf {A} =3&\mathbf {P} =1&\#\mathbf {P} =3&mathbf {P}$

위의 예에서 기호${\({displaystyle$ \$emptyset})$은 부품$({displaystyle$ \$mathbf$${A$$})$의 자릿수가 소수점 내에 ${\displaystyle 없으므로\mathbf{}}{\displaystyle \mathrm{}}$# ${\displaystyle \mathrm{A}}$ $=$ 0({$displaystyle$\#\$mathbf${A} $=$0}) 및$$ 생성된 분수에 대응하는 자릿수가 없음을 나타냅니다.

무한 급수로 소수점 반복

반복 소수점은 무한 급수로 표현될 수도 있습니다.즉, 반복 소수점은 무한히 많은 유리수의 합으로 간주할 수 있습니다.가장 간단한 예를 들자면,

$(\displaystyle 0).{\overline {1}{10}=paramfrac {1}{100}+{\frac {1}{1000}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {1}{10^{n}}}}}}}$

위의 급수는 첫 번째 항이 1/10이고 공통 계수가 1/10인 기하급수입니다.공통 인수의 절대값이 1보다 작기 때문에 a는 급수의 첫 번째 항이고 r은 공통 인수의 다음 공식을 사용하여 기하 급수가 수렴하여 분수의 형태로 정확한 값을 구한다고 할 수 있습니다.

$({displaystyle {frac {a} {1-r} = frac {10}} {1-{\frac {1} {10}} = frac {1} {9})$

유사하게,

$0번 화면표시 스타일입니다.({overline {142857}}&=frac {142857}{10^{6}}+{\frac {142857}{10^{12}}+\cdots =\sum _{n=1}{\infty}{\frac {142857}{10^{6}}}})+{\cdotsum frac {\frac {n}$

곱셈과 순환 치환

곱셈에서 소수를 반복하는 순환 동작은 또한 특정 숫자에 곱할 때 순환적으로 배열되는 정수의 구성을 이끈다.예를 들어 102564 × 4 = 410256. 102564는 4/39의 반복이고 410256은 16/39의 반복입니다.

반복 길이의 기타 속성

반복 길이(주기)의 다양한 특성은 ^[9]Mitchell과 Dickson에 의해^[8] 제공됩니다.

• 정수 k의 1/k 주기는 항상 µ k - 1입니다.
• p가 소수이면 1/p의 주기는 p - 1로 균등하게 나누어진다.
• k가 합성물인 경우 1/k의 주기는 k - 1보다 완전히 작습니다.
• c/k의 주기는 c공수에서 k로 1/k의 주기와 같습니다.
• k = 25n^ab(n > 1 및 n이 2 또는 5로 나누어지지 않을 경우, 1/k의 과도 길이는 max(a, b)이고 주기는 r입니다.r은 10µ1(mod n)과 같은^r 최소 정수입니다.
• p, p', p', ...가 다른 소수일 경우 1/p p'의 기간은 1/p, 1/p', 1/p', 1/p'의 최소 공통배수와 같습니다.
• k와 k have가 2 또는 5 이외의 공통 소수 인자를 가지지 않는 경우, 1/kk equals의 주기는 1/k와 1/k′의 주기의 최소 공통 배수이다.
• prime의 경우,

${\displaystyle {text {period}\left\frac {1}{p}}\right}=\cdots=cdots={period}\left\frac {1}{p^{m}}\right}$

몇 m 동안, 하지만

$(\displaystyle {text {period}}\leftfrac {1}{p^{m}}\right)\neq {text{period}\leftfrac {1}{p^{m+1}}\right})$

c we 0의 경우,

$(\displaystyle {text{period}\leftfrac {1}{p^{m+c}}\right)=p^{c}\cdot {text{period}\leftfrac {1}{p}\right).}$

• p가 1의 적절한 소수 끝인 경우, 즉 1/p의 반복이 길이 p - 1, p = 10h + 1의 순환수일 경우, 각 자릿수 0, 1, ..., 9는 정확히 h = p - 1/10 회 반복단에 나타납니다.

반복의 그 외의 속성에 대해서는,^[10] 을 참조해 주세요.

다른 거점으로의 확장

반복 소수점의 다양한 특징은 10진수뿐만 아니라 다른 모든 정수 기저의 숫자 표현까지 확장됩니다.

• 임의의 실수는 기수점(소수점을 10진수가 아닌 시스템으로 일반화)에 이어 유한 또는 무한의 자릿수로 나타낼 수 있습니다.
• 밑수가 정수인 경우 종료 시퀀스는 분명히 유리수를 나타냅니다.
• 유리수는 완전히 감소된 분수 형식의 분모의 모든 소인수가 기저의 인수인 경우 종료 시퀀스를 가진다.이 수치들은 Q와 R의 고밀도 세트를 구성합니다.
• 만약 위치 숫자 시스템이 표준 숫자 시스템이라면, 그것은 기수를 가지고 있다는 것이다.

$\displaystyle b\in \mathbb {Z} \small setminus \{-1,0,1\}$

연속된 자릿수와 조합하여

$(\displaystyle D:=\{d_{1},d_{1}+1,\dots,d_{r}\})$

r_r : = b, d₁ : = d + r - 1 및 0 µ D의 경우, 종단 시퀀스는 숫자 0으로 구성된 비종단 반복 부분이 있는 동일한 시퀀스와 분명히 동일합니다.밑이 양의 경우 알파벳 D 위의 오른쪽 무한 문자열 사전적 순서에서 문자열 0을 매핑하는 실의 닫힌 간격까지 순서 균질성이 존재합니다.AA₁₂...Ad와_nb 0.AA₁₂...(A_n+1)d는₁ A d D와_n A d_b d를 같은_i 실수에 맞춥니다.다른 중복 이미지는 없습니다.예를 들어, 십진법에서는 0.9 = 1.0 = 1 이며, 균형 삼진법에서는 0.1 = 1 이 됩니다.T = 1/2.

• 유리수는 환원된 분수의 분모가 기저의 인자가 아닌 소인자를 포함한다면 유한 길이 l의 무한 반복 시퀀스를 가진다.만약 q가 기저값과 같은 감소 분모의 최대 인수라면, l은 q가 b - 1을 나누도록 가장^l 작은 지수이다.카마이클 함수 δ(q)의 제수인 잔차 b mod q의 곱셈 순서_q 오더(b)이다. 즉, q보다 작다.축소된 분수가 기저값과 소인수를 공유하는 경우 반복 시퀀스는 유한 길이의 과도현상이 선행됩니다.반복 시퀀스

$\displaystyle \left(0).{\overline {A_{1}A_{2}\ldots A_{\ell }}\right)_{b}$

분수를 나타내다

${{displaystyle {(A_{1}A_{2}\ldots A_{\ell}}_{b}}{b^{l}-1}}.}$

• 무리수는 유한 길이의 무한 반복 시퀀스가 아닌 무한 길이의 표현을 가진다.

예를 들어 십이진수에서 1/2 = 0.6, 1/3 = 0.4, 1/4 = 0.3 및 1/6 = 0.2497은 모두 끝납니다. 반면 0.2497은 0.26A35의 십진수 확장이 십이진수에서 0.26A35와 달리 주기 길이 4로 반복됩니다.

b가 정수 베이스이고 k가 정수일 경우

${{displaystyle {frac {1}{b}}+{\frac {(b-k)^{1}{b^{2}}+{\frac {(b-k)^2}}+{\frac {(b-k)^{3}}+{\cdots {b^{4}}+{\frac {\frac}{(b-k})}$

예를 들어 1/7의 십이진수는 다음과 같습니다.

1/7 = (1/10 + 5/10² + 21/10³ + A5/10⁴ + 441/10⁵ + 1985/10⁶ + ...)_base12

10은_base12base12 12_base10, 10은²_base12base10 144, 21은_base12base10 25, A5는_base12 125입니다_base10.

양의 염기에 대한 알고리즘

합리적인 0 < p/q < 1 (및 베이스 b n_>1 N)의 경우 길이와 함께 반복을 생성하는 알고리즘은 다음과 같습니다.

기능. b_adic(b,p,q) // b ≥ 2, 0 < p < q   정적인 숫자 = "0123..."; // 값이 b-1인 자리까지 시작한다.   s = "";  // 자리수 문자열   포스 = 0; // 모든 위치가 기수점까지 오른쪽입니다.   하는 동안에 것은 아니다. 정의되어 있다(일어나다[p]) 하다     일어나다[p] = 포스; // 나머지 p가 있는 플레이스의 위치     bp = b*p;     z = 바닥.(bp/q); // z(단위) 인덱스: 0 µ z † b-1 p = b*p - z*q; // 0 ≤ p < q    한다면 p = 0 그리고나서 L = 0; 돌아가다 (s); 끝. 한다면     s = s . 서브스트링(숫자, z, 1); // 숫자 문자 추가     포스 += 1;   끝. 하는 동안에   L = 포스 - 일어나다[p]; // 반복의 길이(< q)   // 반복 자릿수를 빈쿨럼으로 표시합니다.   위해서 i 부터 일어나다[p] 로. 포스-1 하다     서브스트링(s, i, 1) = 오버라인(서브스트링(s, i, 1));   끝. 위해서   돌아가다 (s); 끝. 기능. 

첫 번째 강조 표시된 선은 숫자 z를 계산합니다.

다음 라인은 분모인 나눗셈 모듈의 새로운 나머지 pµ를 계산합니다. 바닥 함수의 결과 floor우리는 가지고 있다.

$\displaystyle \frac {bp} {q} - 1 ; \ ; < \ ; z = \ lfloor \ ;\leq \ ;\frac {bp} {q} \;\lfloor \;\leq \;\frac {bp} {q},$

따라서

$\displaystyle bp-q <zq\displays \displays \displays \displays \p':=bp-zq <q}$

그리고.

$\displaystyle zq\leq bp\display\display 0\leq bp-zq=:p',}$

이 모든 잔여물 p가 q보다 작은 음이 아닌 정수이기 때문에, 그것들은 유한한 수 밖에 없을 수 있습니다.while루프. 이러한 반복은 연관 배열에 의해 감지됩니다. occurs새 숫자 z는 노란색 선에 형성되며 여기서 p는 유일하게 일정하지 않습니다.반복 끝의 길이 L은 나머지 숫자와 같습니다(섹션 '모든 유리수는 끝 또는 반복 소수입니다' 참조).

암호화 응용 프로그램

반복 소수점(10진수 시퀀스라고도 함)에서는 암호화 ^[11]및 오류 정정 코딩 애플리케이션이 발견되었습니다.이러한 응용 프로그램에서는 일반적으로 2진수 시퀀스를 발생시키는 소수점 반복이 사용됩니다.1/p의 최대 길이 이진 시퀀스(2가 p의 원시 루트인 경우)는 다음과 같습니다.^[12]

${\displaystyle a(i)=2^{i}{\bmod {p}}{\bmod {2}}$

p - 1 주기의 이러한 수열에는 p - 1/2의 이동에 대해 음의 피크가 -1인 자기 상관 함수가 있습니다.이들 시퀀스의 랜덤성은 다이하드 ^[13]테스트에 의해 조사되었습니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 소수점 표현
• 완전 렙텐드 프라임
• 미디의 정리
• 기생수
• 후행 제로
• 유니크 프라임
• 0.999..., 1과 같은 반복 소수점
• 비둘기구멍 원리

레퍼런스 및 비고

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Repeating Decimal". MathWorld.