최소 회전면

Minimal surface of revolution
두 개의 평행한 원형 와이어 루프 사이에 비누 필름을 늘리면 회전하는 카테노이드 최소 표면이 생성됩니다.

수학에서, 최소 회전면 또는 최소 회전면은 반평면의 두 지점에서 정의되는 회전면이며, 그 경계가 표면의 회전축이다.이 곡선은 하프플레인에 있고 두 점을 연결하는 곡선에 의해 생성됩니다. 이렇게 생성할 수 있는 모든 표면 중에서 [1]표면적을 최소화하는 것이 바로 이 곡선입니다.변이 계산의 기본적인 문제는 이 최소 [1]회전면을 생성하는 두 점 사이의 곡선을 찾는 것입니다.

최소 표면과의 관계

최소 회전면은 최소 [1]표면의 하위 유형입니다.최소 표면은 최소 면적의 표면이 아니라 평균 곡률이 [2]0인 표면으로 정의됩니다.평균 곡률 0은 최소 면적의 표면에 필요한 조건이기 때문에 모든 최소 회전 표면이 최소 표면이지만 모든 최소 표면이 최소 회전 표면인 것은 아닙니다.점이 축을 중심으로 회전할 때 원을 형성하기 때문에 최소 회전면을 찾는 것은 두 개의 원형 와이어 [1]프레임을 통과하는 최소 표면을 찾는 것과 같습니다.최소 회전면을 물리적으로 실현하는 것은 두 개의 평행한 원형 와이어 사이에 늘어뜨린 비누막입니다.비누막은 자연스럽게 표면적이 [3][4]가장 작은 형태를 취합니다.

카티노이드 용액

카티노이드

두 점과 회전축을 포함하는 반평면에 데카르트 좌표가 주어지고 회전축이 좌표계의 x축으로 만들어지면 점들을 연결하는 곡선은 함수의 그래프로 해석될 수 있다.주어진 두 점의 데카르트 좌표가(, y){ ,(2, 2){인 경우, 음이 아닌 미분 가능 f {\ f에 의해 생성된 표면의 면적은 수학적으로 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

그리고 혁명의 최소 표면이 없다는 문제가 되는 한 f(x2))반드시 이런 적분,(x1)조의 경계 조건에)y 1{\displaystyle f(x_{1})=y_{1}}과목 y 2{\displaystyle f(x_{2})=y_{2}}이 경우 .[5], 최적의 곡선을 최소화하는 기능을 찾는. 있다현수막[1][5]회전축은 현수막의 다이렉트릭스이며, 따라서 회전의 최소 표면은 카테노이드가 [1][6][7]될 것이다.

골드슈미트 용액

불연속 함수에 기초한 솔루션을 정의할 수도 있습니다.특히, 두 점의 일부 배치의 경우 최적 솔루션은 두 점에서는 0이 아닌 불연속 함수에 의해 생성되며, 다른 모든 점에서는 0이 된다.이 함수는 회전축을 따라 축퇴선 세그먼트로 연결된 두 개의 원형 디스크(각 점당 하나씩)로 구성된 회전 표면을 유도합니다.solution[5][8]독일의 수학자 칼 볼프강 벤자민 Goldschmidt,[4]그의 1831년 종이"Determinatio minimaerotationesuperficiei curvae 데이터duo puncta jungentis 경의 datum axem ortae"에서 그것을 그의 발견이라고 발표했다 후에("surface-minimal 회전 곡선의 결정 a약 2에 합류한 포인트가 주어진 이것은 골드로 알려져 있주어진("xis of origin")[9]

위에 주어진 비누막의 물리적 유추를 계속하기 위해, 이러한 Goldschmidt 용액은 원형 와이어가 [4]늘어나면서 비누막이 깨지는 사례로 시각화될 수 있다.그러나 물리적 비누 필름에서는 연결선 세그먼트가 존재하지 않습니다.또한 비누막이 이렇게 늘어나면 카티노이드 용액이 여전히 가능하지만 골드슈미트 용액보다 면적이 큰 거리 범위가 있으므로 비누막이 국소 최소값이 아닌 국소 최소값인 구성으로 늘어나도 된다.이 범위보다 큰 거리에서는 카테노이드를 정의하는 현수막이 x축을 교차하여 자기 교차 표면으로 이어지므로 골드슈미트 해만이 가능하다.[10]

레퍼런스

  1. ^ a b c d e f Weisstein, Eric W. "Minimal Surface of Revolution". Mathworld. Wolfram Research. Retrieved 2012-08-29.
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Minimal Surface". Mathworld. Wolfram Research. Retrieved 2012-08-29.
  3. ^ Olver, Peter J. (2012). "Chapter 21: The Calculus of Variations". Applied Mathematics Lecture Notes (PDF). Retrieved 2012-08-29.
  4. ^ a b c Nahin, Paul J. (2011). When Least Is Best: How Mathematicians Discovered Many Clever Ways to Make Things as Small (or as Large) as Possible. Princeton University Press. pp. 265–6. So what happens to the soap film after it breaks [...]? This discontinuous behavior is called the Goldschmidt solution, after the German mathematician C. W. B. Goldschmidt (1807-51) who discovered it (on paper) in 1831.
  5. ^ a b c Sagan, Hans (1992), "2.6 The problem of minimal surfaces of revolution", Introduction to the Calculus of Variations, Courier Dover Publications, pp. 62–66, ISBN 9780486673660
  6. ^ Colding, Tobias Holck; Minicozzi II, William P. (2011). "Chapter 1: The Beginning of the Theory". A Course in Minimal Surfaces (PDF). Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society. Retrieved 2012-08-29.
  7. ^ Meeks III, William H.; Pérez, Joaquín (2012). "Chapter 2.5: Some interesting examples of complete minimal surfaces.". A Survey on Classical Minimal Surface Theory (PDF). University Lectures Series. Vol. 60. American Mathematical Society. Retrieved 2012-08-29.
  8. ^ Weisstein, Eric W. "Goldschmidt Solution". Mathworld. Wolfram Research. Retrieved 2012-08-29.
  9. ^ "Bibliographic Information: Determinatio superficiei minimae rotatione curvae data duo puncta jungentis circa datum axem ortae". Google Books. Retrieved 2012-08-27.
  10. ^ 를 클릭합니다Isenberg, Cyril (1992), The Science of Soap Films and Soap Bubbles, Courier Dover Publications, p. 165, ISBN 9780486269603.