모달 μ-미적분

이론 전산학에서 모달 μ-계산(Lμ, L_μ, 때로는 μ-계산만, 이것이 더 일반적인 의미를 가질 수 있지만)은 최소한의 고정점 연산자 μ와 가장 큰 고정점 연산자 μ를 더하여 명제적 모달 논리(양식이 많은)의 확장이다. 따라서 고정점 논리학이다.

(proposal, modal) μ 미적분은 다나 스콧과 자코 드 바커에서 유래하며, ^[1]덱스터 코젠에^[2] 의해 오늘날 가장 많이 사용되는 버전으로 더욱 발전되었다.라벨로 표시된 전환 시스템의 속성을 설명하고 이러한 속성을 검증하기 위해 사용된다.많은 시간 로직들은 CTL*과 그 널리 사용되는 조각들, 즉 선형 시간 로직과 계산 트리 로직을 포함하여 μ-미적분으로 인코딩될 수 있다.^[3]

대수학적 관점은 그것을 기능적 구성과 최소 및 최대 고정점 연산자로 구성된 연산자와 함께 완전한 격자 위에 있는 단조함수의 대수라고 보는 것이다. 이 관점에서 모달 μ 미적분은 동력 집합 대수의 격자 위에 있다.^[4]μ-미적분의 게임 의미론은 완벽한 정보를 가진 2인용 게임, 특히 무한 패리티 게임과 관련이 있다.^[5]

구문

P(제안)와 A(작동)를 두 개의 유한한 기호 집합으로 하고 Var를 셀 수 있을 정도로 무한 변수의 집합으로 한다.(proposal, modal) μ- 미적분학의 공식 세트는 다음과 같이 정의된다.

• 각 명제와 각 변수는 공식이다.
• $\varphi {\displaystyle }${\$displaystyle \pi }$ 및$$ $\psi {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $\pi$ $\phi$ \$pi$\properties }이$($가) 공식인$$$$ 경우, $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \wedge }$ ∧ ∧ ${\displaystyle \psi }$ψ \ \ \ \pi \ \ \ \$$\}
• $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$이(가) 공식이라면$$ $\neg {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \varphi }${\$displaystyle \neg \pi }$은 공식이다$$.
• $【\displaystyle \$$pi$ $}$이(가) 공식이고$$ ${\displaystyle$ a$}$이(가) 작업인$$ 경우$,{\displaystyle }$ [ ${\displaystyle ]}$ 【 】 】 $[\displaystyle [a]\$$pi$$}}$이$($가) 공식인$$ 경우, (이(가) 공식: ${\displaystylease$ $a}$ 상자$$ \daystylease $stylean$ $\$$pylease$ stylean \pylease$$ styalong \$pylease{\displaystyle }$ a} 또는 반드시 \pylease $a$$} \$
• ▼ ${\displaystyle \pi }$이(가) 공식이고 $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z}$ 변수인$$ 경우 ${\displaystyle \mathrm{then}}$ $Z{\displaystyle }$ .${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \nu Z.$$\phi }$은(는) $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$에서 Z ${\displaystyle Z}$이(가) 발생할 때마다 양성으로 발생한다는$$ 것을 전제로 한 공식이다$$.

(자유 변수와 바인딩 변수의 개념은 평소와 같으며, 여기서 $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu}$은(는) 바인딩 연산자뿐입니다.)

위의 정의에 따라 우리는 다음과 같이 구문을 풍부하게 할 수 있다.

• ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \vee }$ ${$ {\$displaystyle \pi \lor$\lor \$psi }$의 뜻${\displaystyle \mathrm{}}$¬ (${\displaystyle \mathrm{}}$¬ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \mathrm{)}}$) )$${\$displaystyle \neg (\neg \phi \land \neg )}$
• ${\displaystyle ⟨}$ ⟩ $\$ {\$displaystyle$ \$langle$a\$langle \phi$ $$$}($$일부$: ${\displaystyle a}$ 다이아몬드$$ $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle$$\phi$$})$ 또는$$ $\neg {\displaystyle \mathrm{}}$[$$ ][${\displaystyle a}$$]\$$displaystystystyle \ne$\${\displaystyle \mathrm{nepi}}$ $}$을 $의미$하는 ${\$$nepi }.$
• ${\displaystyle \mu Z.$$\phi }$은(는) $\neg {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle Z}$ .${\displaystyle \mathrm{}\varphi }$[ Z ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \neg \nu Z$를 의미한다$.$$\neg \phi [Z:=\neg Z]}$, where ${\displaystyle \phi [Z:=\neg Z]}$ means substituting ${\displaystyle \neg Z}$ for ${\displaystyle Z}$ in all free occurrences of ${\displaystyle Z}$ in ${\displaystyle \phi }$.

처음 두 공식은 고전 명제 미적분학에서 나온 익숙한 공식과 각각 최소 다모달 논리 K이다.

표기법 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle Z}$ .${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mu Z.$$\phi }($및 그 이중)는 람다 미적분학에서 영감을 받은 것이다. 목적은 "최소화"(및 각각 "최대화")가 변수 $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z}$에 있는$$$expression$ ${\displaystyle$ Z$}$의 최소(각각각각 최대화) 고정점을 나타내기 위함이다. 여기서 람다 미적분학 ${\displaystyle \lambda }$ Z. $\$ {\\\\$displaysty$$\lambda Z.$$\phi }$은(는) 바운드 $변수{\displaystyle }$ Z ${\displaystyle Z}$에 공식 $formula{\displaystyle }$ ${\displaystyle \phi }$이(가) 있는 함수로서$$ 자세한 내용은 아래의 변위적 의미론을 참조하십시오$.$^[6]

변절 의미론

(proposal) μ- 미적분 모델은 다음과 같이$$ 라벨이 표시된 전환 시스템$({\displaystyle S}$, R${\displaystyle }$, ${\displaystyle V}$) ${\디스플레이$ 스타일$(S,R,V)$으로 제공된다.

• ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$은(는) 상태 집합이다.
• ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$이(가) $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 이진$$ 관계 ${\displaystyle a}$에 매핑됨$;$
• ${\$$P\to 2^{S}$는 각 $명제{\displaystyle }$ p${\displaystyle p}$ P$${\$displaystyle p\in$ P$}$를 명제가 참인 주 집합에$$ 매핑한다$.$

$\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$의 Z {\$displaystyle Z}$ $변수$에 대한$$ $해석{\displaystyle }$ i ${\$$displaystyle$i}($S, R, V)${\displaystyle i$}$과${\displaystyle }$[${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle ]{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ :${\displaystyle {}_{}\varphi }$→ ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ $[\$$[\cdot ]\!]$$_{i}:\phi \to$ 2$^{S}}$는 다음 규칙에 의해 정의된 함수다.

• ${\displaystyle [\![p]\!]$$_{i}=V(p)}$;
• ${\displaystyle [\![Z]\!]_$${i}=i(Z)}$;
• ${\$$[\phi \wedge \!]$$_{i}=[\!$$[\phi ]\!]$$_{i}\cap [\!$$[\\\!]$$_{i}}$;
• $displaystyle [\!$$[\neg \phi ]\!]$$_{i}=S\smallsetminus [\!$$[\phi ]\!]$$_{i}}$;
• $}$$[[a]\phi ]\!]$$_{i}=\{s\in S\mid \forall t\in S, (s,t)\R_{a}\오른쪽 화살표 t\in[\!$$[\phi ]\!]$$_{i}\}}$;
• ${\displaystyle [\!$$[\nu Z.\phi ]\!]$$_{i}=\bigcup \{T\subseteq S\mid T\subseteq [\![\phi ]\!]$$_{i[Z:=$${\displaystyle T}$$]\}\backslash \}\backslash \}\}$ 여기서 $i{\displaystyle }$[ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle :=}$ T ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle i[Z:$$=T]}$은(는) $다른{\displaystyle }$ 모든$$ 곳에서 i ${\displaystyle i}$의 매핑을 보존하면서$$ $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z}$을(를) T ${\displaystytle T}$에 매핑한다$$.

이중성에 의해 다른 기본 공식의 해석은 다음과 같다.

• ${\$$[\phi \vee \be \\!]$$_{i}=[\!$$[\phi ]\!]$$_{i}\컵 [\!$$[\\\!]$$_{i}}$;
• ${\displaystyle [\\langle a\ranglephi ]\!]$$_{i}=\{s\in S\mid \exists t\in S, (s,t)\in R_{a}\wedge t\in [\!$$[\phi ]\!]$$_{i}\}}$;
• $[\displaystyle [\]![\mu Z.\phi ]\!]_{i}=\빅캡 \{T\subseteq S\mid [\![\phi ]\!]_{i[Z:=T]}\subseteq T\}}}$

덜 형식적으로, 이는 주어진 전환 시스템${\displaystyle (S}$ ,${\displaystyle R}$ ,${\displaystyle V}$ )에 대해 다음과 같은 것을 의미한다$.R,V$

• ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$은(는) 상태 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle (p}$) ${\displaystyle V(p$
• ${\displaystyle }$$\varphi {\displaystyle }$ $displaystyle \pi$\phi \$phi$\phi $\$property $}$과($와{\displaystyle }$) ${\displaysty \phi$ \property $}$이(가) 모두 유지되는 모든$$ 상태;
• ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\$$displaystyle \neg \phi }$이(가) holds {\$displaystyle \pi }$이(가) 유지되지$$ 않는 모든 상태를 유지함$$
• ${\displaystyle }$[$$${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a]\pi }$이(가) $상태{\displaystyle }$ $s$ {\$displaystyle s}$을(를) 벗어날$때$마다 {\$displaystyle$ $a}$ -pi가$$ $상태$$$s {\$displaystyle \pi}$을(를$)$ 유지하는 ${\displaystyle \mathrm{경우}}$$$$$.
• ${\displaystyle ⟨}$ $\varphi {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \$$langle a\langle \pi$}이(가) 상태 s ${\$displaystyle $s}$에서 $선행하는$$$$${\$displaystyle$ s}이$$(가$$) 있으면$$ 상태 $s{\displaystyle }$ ${\$$displaystysty$ s$}$에서 $유지됨$
• ${\displaystyle \nu Z.$$\phi }$ holds in any state in any set ${\displaystyle T}$ such that, when the variable ${\displaystyle Z}$ is set to ${\displaystyle T}$, then ${\displaystyle \phi }$ holds for all of ${\displaystyle T}$. (From the Knaster–Tarski theorem it follows that ${\displaystyle [\!$$[\nu Z.\phi ]\!]$$_{$${\displaystyle i}$$}}$는 [ [${\displaystyle }[{\displaystyle }$ ${\displaystyle ]{}_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$[ ${\displaystyle Z_{}}$ ${\displaystyle {:=}_{}}$ T ${\displaystyle {]}_{}}$ ${\$$[\phi ]\!]$$_{i[Z:=T$ ${\displaystyle {그리고}_{}}{\displaystyle }$[${\displaystyle \mathrm{\mu Z}}$ .${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle ]{}_{}}$ i ${\$$[\mu Z.\phi ]\!]$$_{i}}$ 가장 덜 고정된 지점)

[${\displaystyle ]}$ ] ${\displaystyle [a]\pi }$과(${\displaystyle \mathrm{와<img\; alt="[a]\backslash phi\; "\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/ba73788449173f02e3657e11c6c58e7eeac9fbee"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:3.909ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="279">}}$) ⟨ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle \pi$}의 해석은 사실 동적 논리에서 나온 "일반적인" 해석이다$$.또한, 레슬리 램포트의 비공식 분류에서 연산자 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu$}은(^[7]는) livity("결국 좋은 일이 일어나게 된다")로 해석할$$ 수 있으며, $\mu {\displaystyle }${\$displaysty \nu}$은(는) 안전("나쁜 일이 일어나지 않는다")로$$ 해석할 수 있다.

예

• ${\displaystyle \nu Z.$$\phi \wedge [a]Z}$은(는) "${\displaystyle }$ a-path에 걸쳐 ${\displaystyle \pi }$이(가$$) 참"으로 해석된다$$.^[7]${\displaystyle }$ {\$displaystyle \pi }$은(는) a {\$displaystyle \pi }$을(를) 내포하고$$$$ a-label을 처리한 후에도 그대로 유지되는 (가장 $취약$한$)$ 문장 Z {\$displaystystyle Z}$으로 자명하게 정의될 수 있다는 생각이다.^[8]
• ${\displaystyle \mu Z.$$\phi \vee \langle a\rangle Z}$은(^[9]는) $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi}$이(가) 유지되는 상태로 변환되는 경로를 따라 존재하는 것으로 해석된다$$.
• 시스템이 교착 상태에 빠지지 않는 특성은, 즉, 변환이 없는 상태가 없고, 나아가 그러한 상태에 대한 경로가 존재하지 않는다는 것을 공식으로^[9] 표현한다.
  $$\displaystyle \nu Z.\left(\bigvee _{a\in A}\langle a\langle a\langle \wedge \bigwedge _{a\in A}[a]Z\right)}}$$

  

의사결정 문제

모달 μ-미적분 공식의 만족도는 EXPTIME-완전이다.^[10]선형 시간적 논리의 경우,^[11] 선형 모달 μ- 미적분의 모델 검사, 만족도 및 유효성 문제는 PSPACE-완전하다.^[12]

참고 항목

• 유한 모형 이론
• 교대무모달 μ-미적분

메모들

참조

• Clarke, Jr., Edmund M.; Orna Grumberg; Doron A. Peled (1999). Model Checking. Cambridge, Massachusetts, USA: MIT press. ISBN 0-262-03270-8., 제7장 μ-미적분 모델 확인, 페이지 97–108
• Stirling, Colin. (2001). Modal and Temporal Properties of Processes. New York, Berlin, Heidelberg: Springer Verlag. ISBN 0-387-98717-7., 제5장 모달 μ-미적분, 페이지 103–128
• André Arnold; Damian Niwiński (2001). Rudiments of μ-Calculus. Elsevier. ISBN 978-0-444-50620-7., 제6장, 파워셋 알제브라의 μ-미적분, 페이지 141–153은 모달 μ-미적분에 관한 것이다.
• Yde Venema (2008) 모달 μ-분산 강의, 논리, 언어 및 정보 분야의 제18회 유럽 여름 학교에서 발표되었다.
• Bradfield, Julian & Stirling, Colin (2006). "Modal mu-calculi". In P. Blackburn; J. van Benthem & F. Wolter (eds.). The Handbook of Modal Logic. Elsevier. pp. 721–756.
• Emerson, E. Allen (1996). "Model Checking and the Mu-calculus". Descriptive Complexity and Finite Models. American Mathematical Society. pp. 185–214. ISBN 0-8218-0517-7.
• Kozen, Dexter (1983). "Results on the Propositional μ-Calculus". Theoretical Computer Science. 27 (3): 333–354. doi:10.1016/0304-3975(82)90125-6.

외부 링크

• 소피 핀치나트, 로직, 오토마타 & 게임즈 비디오 녹화 '09년 ANU 로직 서머 스쿨에서 강의한 내용