FEM을 이용한 모달해석

구조 역학에서 모달 분석의 목적은 자유 진동 중 물체나 구조물의 자연 모드 형태와 주파수를 결정하는 것이다.FEM을 이용한 다른 계산과 마찬가지로 분석 대상 물체가 임의의 형태를 가질 수 있고 계산 결과가 허용될 수 있기 때문에 유한요소법(FEM)을 사용하여 이 분석을 수행하는 것이 일반적이다.모달 분석에서 발생하는 방정식의 유형은 eigensystem에서 볼 수 있는 것이다.시스템을 풀면서 발생하는 고유값과 고유 벡터의 물리적 해석은 주파수 및 해당 모드 형태를 나타낸다는 것이다.때때로, 원하는 유일한 모드는 가장 두드러진 모드가 되어 모든 고주파 모드를 지배할 수 있기 때문에 가장 낮은 주파수일 수 있다.

또한 물리적 물체를 테스트하여 자연 주파수와 모드 형태를 결정하는 것도 가능하다.이것을 실험 모달 분석이라고 한다.물리적 시험의 결과는 유한 요소 모델을 보정하여 기초적인 가정이 올바른지 판단할 수 있다(예를 들어, 정확한 재료 특성 및 경계 조건이 사용됨).

FEA 아이겐스시스템

Hoke의 법칙에 따르는 선형 탄성 물질과 관련된 가장 기본적인 문제에서, 행렬 방정식은 동적 3차원 스프링 질량 시스템의 형태를 취한다.동작의 일반화 방정식은 다음과 같이 주어진다.^[1]

${\dottyle [M][{\dot{U}}]+[C][{\dot {U}}]+[K][]U]=[F]}$

where ${\displaystyle [M]}$ is the mass matrix, ${\displaystyle [{\ddot {U}}]}$ is the 2nd time derivative of the displacement ${\displaystyle [U]}$ (i.e., the acceleration), ${\displaystyle [{\dot {U}}]}$ is the velocity, ${\displaystyle [C]}$ is a damping matrix, ${\displaystyle [K}$${\displaystyle ]}$ $[\displaystyle [K]}$은 강성 행렬이고$,{\displaystyle }$ [${\displaystyle F}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [F]}$은 힘 벡터다.0이 아닌 댐핑의 일반적인 문제는 2차 고유값 문제다.그러나 진동 모달 분석의 경우 일반적으로 댐핑은 무시되며, 왼쪽에는 1항과 3항만 남게 된다.

${\dapplaystyle [M][{\dot{U}}]+[K][U]=[0]}$

이것은 FEM을 사용하는 구조 엔지니어링에서 마주치는 일반적인 형태의 Eigensystem이다.그래서[U¨]{\displaystyle[{\ddot{U}}]}역행주 시 단위와λ{\lambda\displaystyle}은 고유치(제곱 λ[U]{\displaystyle \lambda[U]}, 예에 버금가는 조치 구조 조화 운동의free-vibration 해결책을 나타내려면., s − 2{\displaystyle assumed,[2] 있다. )$mathrm {s} ^{-2}}$ ),$$ 방정식은 다음과 같이 감소한다.^[3]

$[\displaystyle [M][U]\lambda + [K][]U]=[0]}$

이와 대조적으로, 정적 문제에 대한 방정식은 다음과 같다.

$[\displaystyle [K][]U]=[F]}$

시간 파생상품을 갖는 모든 조건이 0으로 설정될 때 예상한다.

선형대수와의 비교

선형대수학에서는 다음과 같이 표현되는 eigensystem의 표준 형태를 보는 것이 더 일반적이다.

${\displaystyle [A][x]=[x]\lambda }$

일반 방정식을${\displaystyle }$질량의 역행인 [${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$1$\}$를 $통해$ 곱하면 후자의 형태를 띠기 때문에 두 방정식은 동일하다고 볼 수 있다.^[4]낮은 모드를 원하기 때문에, 시스템 해결에는 강성의 역행인 [${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$에 곱한 것과 동등한 결과가 수반된다$.$ 역반복이라고 하는 과정이다$.{\displaystyle }$^[5]이 작업을 수행하면 결과 고유값인 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$이(가$)$ 원본 값과 관련된다.

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{\properda }}$

하지만 고유 벡터는 똑같아

참고 항목

• 유한요소법
• 구조역학에서의 유한요소법
• 모달 분석
• 지진해석
• 구조 다이내믹스
• 아이겐스시스템
• 아이겐모드
• 2차 고유값 문제

참조

외부 링크

• Frame3DD 오픈소스 3D 구조모달 분석 프로그램