수정된 위그너 분포 함수

참고: Wigner 분배 기능은 WDF가 아닌 WD로 약칭됨(Wigner 분배 기능에서 사용됨)

수정된 위그너 분포 함수는 교차 단자를 줄이거나 제거한 위그너 분포 함수(WD)의 변형이다.

위그너 분포(WD)는 1932년 유진 위그너에 의해 고전적 통계 역학에 대한 수정을 위해 처음 제안되었다.분석 신호를 위한 위그너 분배 함수 또는 위그너-빌 분배(WVD)도 시간 주파수 분석에 사용된다.위그너 분포는 얼룩진 스펙트로그램(SP)에 비해 자동 용어 로컬라이제이션이 우수하다.그러나 다중 주파수 구성요소를 가진 신호에 적용하면 2차적 특성 때문에 교차 항이 나타난다.교차 용어를 줄이기 위한 몇 가지 방법이 제안되었다.예를 들어 1994년 L. 스탄코비치는 현재 대부분 S-method라고 불리는 새로운 기법을 제안하여 교차 용어를 줄이거나 제거하였다.S-method의 개념은 WD의 윈도우 버전인 Spectrogram과 PWD(Pseudi Wigner Distribution, PWD)의 조합이다.

원래의 WD, 스펙트로그램 및 수정된 WD는 모두 코헨의 이선형 시간 주파수 표현 등급에 속한다.

${\displaystyle C_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(\theta ,\nu )\Pi (t-\theta ,f-\nu )\,d\theta \,d\nu \quad =[W_{x}\,\ast \,\Pi ](t,f)}$

여기서 $\pi {\displaystyle \mathrm{}(t}$, f${\displaystyle }$) ${\$은 코헨의 커널 함수로서, 종종 로우패스 함수로서, 일반적으로 원래 위그너 표현에서 간섭을 차단하는 역할을 한다.

수학적 정의

• 위그너 분포

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infit }^{}x(t+\tau /2)x^{*(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau f}\,d\tau }}}}$

코헨의 커널 함수: ${\displaystyle \delta }$ (${\displaystyle }$t${\displaystyle }$, f${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle 0_{}}$, ${\displaystyle 0_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle f}$) ${\displaystyle \Pi (t,f)=\delta _{(0,0)}(t,f)}}$

• 스펙트로그램

${\displaystyle SP_{x}(t,f)=ST_{x}(t,f) ^{2}=ST_{x}(t,f)\,ST_{x}^{*}(t,f)}$

여기서 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$는 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 짧은 시간 푸리에 변환이다$.$

${\displaystyle ST_{x}(t,f)=\int _{-\infit }^{\x(\tau )w^{*(t-\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau }}$

코헨의 커널 함수 : ${\displaystyle \pi }$( t${\displaystyle }$, ${\displaystyle f}$)${\displaystyle }$= W ${\displaystyle h_{}}$( ${\displaystyle t}$, f${\displaystyle }$) ${\displaystyle \Pi (t,f)=$창$$ $기능$자체의 $WD$인 W_{h$}(t,f)}$위그너 분배 기능의 콘볼루션 특성을 적용하면 이를 확인할 수 있다.

스펙트로그램은 양의 2차분포이므로 간섭을 발생시킬 수 없다.

• 수정된 양식 I

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int_{-B}^{B}w(\tau)x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau f}\,d\tau }}}$

단, 단, 창 크기 B보다 큰 2개의 성분 시간차 문제를 해결할 수 있다.

• 수정 양식 II

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int_{-B}^{B}w(\eta )X(f+\eta /2)X^{*}(f-\eta /2)e^{j2\pi t\eta }\,d\eta }$

• 수정된 양식 III(Pseudo L-Wigner 분포)

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau )x^{L}(r+\tau /2L){\overline {x^{*L}(t-\tau /2L)}}e^{-j2\pi \tau f}\,d\tau }$

여기서 L은 0보다 큰 정수임

증가 L은 교차 항의 영향을 줄일 수 있다(그러나 완전히 제거할 수는 없다).

예를 들어, L=2의 경우 지배적인 제3항은 4로 나눈다(12dB에 해당한다).

이것은 위그너 분배에 비해 현저한 개선을 제공한다.

L-와이어 분포의 특성:

1. L-위그너 분포는 항상 실제적이다.
2. 신호가 시간 이동 $x{\displaystyle }$ (${\displaystyle }$t${\displaystyle }$- ${\displaystyle \mathrm{t}}$ ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle x(t-t0$인 경우, ${\displaystyle \mathrm{LWD}}$도 시간 이동, ${\displaystyle \mathrm{LWD}}$: W ${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}{t}_{}}$- ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 0}$, f )${\displaystyle LWD:$$W_{x}(t-t0,f)}$
3. 변조된 신호 $x{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (j}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle$ x$(t)\exp(j\omega _{0}t)$의 LWD는 주파수$$ ${\displaystyle \mathrm{LWD}}$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$( t${\displaystyle }$, ${\displaystyle f}$- ${\displaystyle \mathrm{f}}$ 0${\displaystyle }$) ${\displaysty LWD:$$W_{x}(t,f-f0)}$
4. Is the signal ${\displaystyle x(t)}$is time limited, i.e.,${\displaystyle x(t)=0}$ ${\displaystyle for\left\vert t\right\vert >T,}$ then the L-Wigner distribution is time limited, ${\displaystyle LWD:$$W_{x}(t,f)=$$}$ $f$ t> T ${\displaystyle for\좌측\vert t\우측\vert >T}$
5. If the signal ${\displaystyle x(t)}$is band limited with ${\displaystyle f_{m}}$(${\displaystyle F(f)=0}$${\displaystyle for\left\vert f\right\vert >f_{m}}$), then ${\displaystyle LWD:$$W_{x}(t,f)}$은(는$)$ 주파수 $영역$에서도 f m {\$displaystyle$ f_{$m}$에 의해 제한된다$$.
6. 주파수에 대한 L-Wigner 분포의 적분은 일반 신호 전력: $\int {\displaystyle {}_{}^{}}$ -${\displaystyle {}_{\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle W_{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}}$( ${\displaystyle t}$ )${\displaystyle d}$= ${\displaystyle x^{}}$( ${\displaystyle t^{}}$) ${\displaystyle 2^{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle L^{}}$ ${\$ x$(t)\rivert\{{2$$.$$L}$
7. $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle D}$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$( ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle f}$) ${\displaystyle LWD:$시간 및 주파수에 따른$$ $W_{x}(t$$,$f)}은(는) 2 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$ ${\displaystyle h^{}}$ {\displaystyle $2L^{th}}$의 2$$$$ $L{\displaystyle \mathrm{}}$ t ${\displaystyle h^{}}$ ${\$$displaystyle 2L$$^{th$$}}}}$ 전원과 $동일하다.$

${\displaystyle \int _{-\infit _{-\infit }^{-\infit }W_{x}(t,f)ddf=\int _{-\inft }^{-\infty }^{\inft}}\ret(t)\right\vert ^{2L}dt=\lVert x(t)\rVert _{2L}^{2L}}$

1. 시간 경과에 따른 필수 요소는 다음과 같다.

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)dt=\left\vert F_{L}(f)\right\vert ^{2}=\left\vert \underbrace {F(L_{f})*F(L_{f})*\cdots *F(L_{f})} _{Ltimes}\right\vert ^{2}}$

1. $L$${\displaystyle (L}$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$)의$$큰 값 {\$displaystyle$ L$(L\rightarrow$ \$infit )}$ L $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$( t${\displaystyle }$, ${\displaystyle f}$) ${\displaystyle LWD:$$W_{x}(t,f)}$, 분포가 본질적 우월성에 도달하는 지점$($${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$) ${\displaystyle(t_{m},f_{m}})$의 지점과 비교:

${\displaystyle \lim _{L\to \infit }(W_{x})(t,f)/W_{x}(t_{m},f_{m}))={\cH00{case}0,&#{\text{{f\neq f_{m}{\text{{\text}{\neq t_{m}{\}{\text}{{f=f_{m}},&#text}{}}}}}}}}}, }}}}}}}}}}}$

• 수정된 양식 IV(폴리놈 위그너 분포 함수)

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-B}^{B}[\textstyle \prod _{l=1}^{q/2}\displaystyle x(t+d_{l}\tau )x^{*}(t-d_{-l}\tau )]e^{-j2\pi \tau f}\,d\tau }$

$q{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle q=2}$및 $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ = ${\displaystyle d_{}}$- ${\displaystyle \mathrm{l}{}_{}}$= 0.5 ${\displaystyle d_{l}=d_{-l}=0.5}$이면 원래의 위그너 분포 함수가 된다$.$

지수함수의 위상 순서가$q{\displaystyle }$/ 2${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$보다 크지 않을 때 교차 항을 피할 수 있다$(\displaystyle q/2+1$}

그러나 두 성분 사이의 교차 항은 제거할 수 없다.

${\displaystyle d_{}}$ ${\displaystyle l_{}}$ ${\$이(가) 올바르게 선택되어야 한다$$.

${\displaystyle \textstyle \prod _{l=1}^{q/2}\displaystyle x(t+d_{l}\tau )x^{*}(t-d_{-l}\tau )=\exp {\big (}j2\pi \textstyle \sum _{n=1}^{q/2+1}na_{n}t^{n-1}\tau \displaystyle {\big )}}$

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infit }^{\infit }}\exp {\bigl (}-j2\pi)(f-\sum _{n=1}^{q/2+1}na_{n-1}}t^{n-1}}\tau}d\tau}d\tau }}}d\tau }}}}}}}}}d\tau }.$

${\displaystyle \cong \sum {\bigl (}f-\sum _{n=1}^{q/2+1}na_{n}t^{n-1}{\bigr )}}}}}}}}}$

$x{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle j}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{n}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$/ 2${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$+ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ a ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\displaystyle t^{}}$) ${\${\$bigl$(}$j2\pi \sum _{n=$1}^{$q/2+$1}$a_{n$}t$^{n}{n$}{n}{\$bigr )}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

when ${\displaystyle q=2}$ , ${\displaystyle x(t+d_{l}\tau )x^{*}(t-d_{-l}\tau )=\exp {\bigl (}j2\pi \sum _{n=1}^{q/2+1}na_{n}t^{n-1}\tau {\bigr )}}$

${\displaystyle a_{2}(t+d_{l}\tau )^{2}+a_{1}(t+d_{l}\tau )-a_{2}(t-d_{-l}\tau )^{2}-a_{1}(t-d_{-l}\tau )=2a_{2}t\tau +a_{1}\tau }$

${\displaystyle \Longrightarrow d_{l}+d_{-l}=1,d_{l}-d_{-l}=0}$

${\displaystyle \Longrightarrow d_{l}=d_{-l}=1/2}$

• 유사 위그너 분포

${\displaystyle PW_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau /2)w^{*}(-\tau /2)x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}\,d\tau }$

코헨의$$ 커널 함수 : ${\displaystyle \pi }$( ${\displaystyle t}$, f${\displaystyle }$) =${\displaystyle {\Delta \mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle W_{}}$ ${\displaystyle h{}_{}}$( t${\displaystyle }$, ${\displaystyle f}$) ${\displaystyle \Pi (t,f)=\delta _{0}(t)\,W_{h}(t,f)}.$

사이비 위그너는 STFT의 "스펙트랄-상관"의 푸리에 변환으로도 쓰일 수 있다는 점에 유의한다.

${\displaystyle PW_{x}(t,f)=\int _{-\infit }^{\infit }ST_{x}(t,f+\nu /2)ST_{x}^{*}(t,f-\nu /2)e^{j2\pi \nu \,t}\,d\nu }$

• 평활화된 유사 위그너 분포:

사이비 위그너에서 시간 윈도잉은 주파수 방향 평활화 역할을 한다.따라서 주파수 방향으로 진동하는 위그너 분포 간섭 성분을 억제한다.시간 방향 평활은 로우패스 함수 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$을(를) 가진 PWD의 시간 변환에 의해 구현될 수 있다.$$

${\displaystyle SPW_{x}(t,f)=[q\,\ast \,PW_{x}(.,f)](t)=\int _{-\infty }^{\infty }q(t-u)\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau /2)w^{*}(-\tau /2)x(u+\tau /2)x^{*}(u-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}\,d\tau \,du}$

코헨의 커널 함수: $\pi {\displaystyle \mathrm{}}$( ${\displaystyle t}$, f${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle q}$(${\displaystyle t}$ ) W${\displaystyle }$(${\displaystyle }$f )$${\$displaystyle \Pi (t,f)=q(t)\,W(f)}$ $여기$서 W$$${\displaystyle W$}은$$ 창 w {\$displaysty w}$의 푸리에 변환이다$.$

따라서 평활화된 사이비 위그너 분포에 해당하는 커널은 분리 가능한 형태를 가진다.SPWD와 S-Method가 모두 시간영역에서 WD를 평활하더라도 일반적으로 동등하지 않다는 점에 유의한다.

• S-method

${\displaystyle SM(t,f)=\int _{-\infit }^{\\infit }ST_{x}(t,f+\nu /2)ST_{x}^{*}(t,f-\nu /2)G(\nu )e^{j2\pi \nu \,t}\,d\nu }}$

코헨의 커널 함수 : ${\displaystyle \pi }$( t${\displaystyle }$, ${\displaystyle f}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle g}$ (${\displaystyle }$t${\displaystyle }$) ${\displaystyle W{}_{}}$ ${\displaystyle h_{}}$( ${\displaystyle t}$, f${\displaystyle }$) ${\displaystyle \Pi (t,f)=g(t)\,W_{h}(t,f)}$

S-method는 Fourier 변환 $G{\displaystyle }$( ${\displaystyle f}$) ${\displaystyle$ $g(t$$)}$의 로우패스 윈도우 설정 함수 $g{\displaystyle }$ (${\displaystyle t}$) ${\$displaystyle $g(t$$)}$로 PWD의 적분 범위를 제한한다$.$이는 주파수 축을 따라 잘 집중된 자동 단자를 흐리지 않고 교차 단기를 제거하는 결과를 낳는다.The S-method strikes a balance in smoothing between the pseudo-Wigner distribution ${\displaystyle PW_{x}}$ [${\displaystyle g(t)=1}$] and the power spectrogram ${\displaystyle SP_{x}}$ [${\displaystyle g(t)=\delta _{0}(t)}$].

원본 1994 논문에서 스탄코비치는 짧은 시간 푸리에 변환의 변조된 버전으로 S-methode를 정의한다.

${\displaystyle SM(t,f)=\int_{-\infit }^{{\note{ST}}{\tilde{ST}}{{x}^{*}(t,f-\nu )P(\nu )\dnu }}$

어디에

${\displaystyle {\tilde {ST}}_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau )w^{*}(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau \quad =ST_{x}(t,f)\,e^{j2\pi ft}}$

이 경우에도 우리는 여전히

$\displaystyle \Pi(t,f)=p(2t)\,W_{h}(t,f)}$

참고 항목

• 시간 빈도 표현
• 위그너 분포 함수
• 이선형 시간-빈도 분포
• 단시간 푸리에 변환
• 가보르 변환

참조

• P. 곤살베스와 R.Baraniuk, "Pseudo Affine Wigner 분포 : 정의와 커널 제형", IEEE 신호 처리 거래, vol. 46, no. 6, 1998년 6월
• L. Stankovic, "시간-주파수 분석을 위한 방법", IEEE 신호 처리 거래, vol. 42, 1번, 1994년 1월
• L. J. 스탄코비치, S. 스탄코비치, E.Fakultet, "시간 주파수 분포를 이용한 순간 주파수 표현 분석-일반화된 Wigner 분포," IEEE Trans. on Signal Processing, 페이지 549-552, vol. 43, 번호 2, 1995년 2월 2일.