이선형 시간-빈도 분포

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이선형 시간-주파수 분포 또는 2차 시간-주파수 분포는 신호 분석 및 신호 처리의 하위 영역인 시간-주파수 신호 처리 및 시계열 데이터의 통계 분석에서 발생한다. 어디 하나는 신호의 주파수 구성 시간이 지남에 따라 바뀔 수 있는 상태로 처리해야 그러한 방법;[1]이 sub-field time–frequency 신호 분석이라고 불릴 것이며, 이제 더 자주 time–frequency 신호 치즈 시료 채취기 signal-processing의 광범위에는 이 방법을 사용하여의 발전 때문에 처리라고 불린다 사용 사용된다.).

배경

신호 분석과 시계열 분석 모두에서 시계열을 분석하는 방법은 시간 또는 주파수 영역에 기본적으로 적용 가능한 별도의 방법론으로 개발되었다. 시간에 따라 주파수 분포와 크기가 달라지는 비스테이션 신호 분석에 특히 효과적인 시간-주파수 분석 기법에는 혼합 접근법이 필요하다. 이것들의 예는 음향신호들이다. "2차 시간-주파수 분포"(또는 이선 시간-주파수 분포) 등급은 시간-주파수 신호 분석에 사용된다. 이 세분류는 1966년 양자역학의 맥락에서 사용되었던 코헨의 계급분배기능과 제형이 유사하다. 이 분포 함수는 이선 변환을 이용하는 일반화된 시간-주파수 표현과 수학적으로 유사하다. 단시간 푸리에 변환(STFT)과 같은 다른 시간-주파수 분석 기법과 비교하여 이선-변환(또는 2차 시간-주파수 분포)은 대부분의 실제 신호에 대해 높은 선명도를 가지지 못할 수 있지만, 새로운 정의와 새로운 방법을 조사할 수 있는 대체 프레임워크를 제공한다. 다중 구성 요소 신호를 분석할 때 고유의 교차 오염이 발생하지만, 신중하게 선택한 윈도우 기능을 사용하면 분해능을 희생시키면서 간섭을 상당히 완화할 수 있다. 이러한 모든 이선 분포는 서로 상호 변환 가능하며, 시간-주파수 분석에서 분포 사이의 변환이다.

위그너-빌 분포

Wigner-Ville 분포는 2차적 형태로서, 다음과 같이 주어지는 국부적 시간 주파수 에너지를 측정한다.

${\displaystyle P_{V}f(u,\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f\left(u+{\tfrac {\tau }{2}}\right)f^{*}\left(u-{\tfrac {\tau }{2}}\right)e^{-i\tau \xi }\,d\tau }$

위그너-빌 분포는 에르미트어 대칭이 in에 있는 f(u + //2)·f*(u - //2)의 푸리에 변환인 만큼 실재하고 있다. 파르세발 공식(Parseval 공식)을 적용하여 주파수 통합으로 쓸 수도 있다.

${\displaystyle P_{V}f(u,\xi )={\frac {1}{2\pi }\int _{-\inflt }^{\f}{\f}\flt(\xi +{\tfrac {}}{2}}\오른쪽){\hat{f}^{*}\왼쪽(\xi -{\tfrac {}{\present }{2}}\오른쪽)e^{i\pair u}\,d\pair }}$

제안² 1. L(R)의 모든 f에 대한 제안

${\displaystyle \int _{-\infit _{{V}f(u,\xi )\,du= {\hat{f}(\xi ) ^{2}}$

${\displaystyle \int _{-\infit _{}^{{P_{V}f(u,\xi )\,d\xi =2\pi f(u) ^{2}}$

모얄 정리. L²(R)의 f 및 g에 대해,

${\displaystyle 2\pi \left \int_{-\nf(t)^{**(t)\,dt\right ^{2}=\iint {P_{V}f(u,\xi )P_{V}g(u,\xi )\,d\xi \xi }}}}}$

제안 2(시간 빈도 지원). f가 콤팩트한 지지를 가지고 있다면, 모든 all에 대해 u를 따라$$ $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{f}_{}}$ (${\displaystyle u}$ ,${\displaystyle \xi }$ $){\displaystyle P_{V}f(u,\xi )}$의 지원은 f의 지원과 동일하다. 마찬가지로,${\displaystyle \stackrel{}{}}f{\displaystyle \stackrel{}{}}$^$${\$displaystyle {\f}}$이(가) 콤팩트한 지지를 가지고$$ 있다면, 모든 u에 대해 for을 따라$$ $P{\displaystyle {}_{}}$ V ${\displaystyle {}_{}(u}$ ,${\displaystyle u}$ $V}f(u$$,\xi$ )의 지원은 f$^$ {f}의 지원과 동일하다$.$

발의안 제3호(즉시 빈도). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle a}$( t${\displaystyle }$) e ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle {\varphi }^{}}$( t${\displaystyle {}^{}}$) ${\$인 경우$$

${\displaystyle \phi '(u)={\frac {\int _{-\infty }^{\infty }\xi P_{V}f_{a}(u,\xi )d\xi }{\int _{-\infty }^{\infty }P_{V}f_{a}(u,\xi )d\xi }}}$

간섭

Let $f{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}{}_{}}$+ f ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$}}을 복합 신호로 한다$$. 그러면 우리는 글을 쓸 수 있다.

${\displaystyle P_{V}f=P_{V}f_{1}+P_{V}f_{V}{2}+P_{V}\좌측[f_{1},f_{2}\오른쪽]+P_{V}\왼쪽[f_{2},f_{1}\오른쪽]}$

어디에

${\displaystyle P_{V}[h,g](u,\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }h\left(u+{\tfrac {\tau }{2}}\right)g^{*}\left(u-{\tfrac {\tau }{2}}\right)e^{-i\tau \xi }d\tau }$

두 신호의 Wigner-Ville 교차 분포. 간섭 용어

${\displaystyle I[f_{1},f_{2}]=P_{V}[f_{1},f_{2}]+P_{V}[f_{2},f_{1}]}$

$({\displaystyle u}$, $){\displaystyle (u,\xi )}$ 평면의$$ 예기치 않은 위치(원점에 가까운 위치)에서 0이 아닌 값을 생성하는 실제 함수다. 실제 신호에 존재하는 간섭 용어는 분석 파트 f ${\displaystyle a_{}}$ (${\displaystyle {}_{}t}$) ${\displaystyle f_{a}(t)}$를 계산하여 피할 수 있다$.$

긍정 및 스무딩 커널

간섭 용어는 한계 적분들이 사라지기 때문에 진동적이며 커널이 θ인 $P{\displaystyle {}_{}}$ V ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle P_{V}f}$를 평활하면 부분적으로 제거할 수 있다.

${\displaystyle P_{\theta }f(u,\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }{\int _{-\infty }^{\infty }{P_{V}f(u',\xi ')}}\theta (u,u',\xi ,\xi ')\,du'\,d\xi '}$

이 분포의 시간 빈도 분해능은${\displaystyle }$(${\displaystyle u}$ ,${\displaystyle )}$ $){\displaystyle (u,\xi )}$의 부근에 있는 커널 θ의 확산에 따라 달라진다$.$ 간섭은 음의 값을 취하므로, 그 값을 부과함으로써 모든 간섭을 제거하도록 보장할 수 있다.

${\displaystyle P_{\theta }f(u,\xi )\geq 0,\qquad \forall (u,\xi )\in {{\mathbf {R}^{2}}:}$

분광그램과 스칼로그램은 양의 시간-주파수 에너지 분포의 예다. Let a linear transform ${\displaystyle Tf(\gamma )=\left\langle f,\phi _{\gamma }\right\rangle }$ be defined over a family of time-frequency atoms ${\displaystyle \left\{\phi _{\gamma }\right\}_{\gamma \in \Gamma }}$. For any ${\displaystyle (u,\xi )}$ there exists atom(${\displaystyle u_{}}$ ,$){\$의 시간 빈도를 중심으로$$ 한 고유 원자 ϕ$($u$){\displaystyle (u,\$xi $)\}.$ 그 결과 발생하는 시간 빈도 에너지 밀도는

${\displaystyle P_{T}f(u,\xi )=\왼쪽 \langle f,\phi_{\\gamma(u,\xi )}\rigle \rigle \right ^{2}}:$

모얄 공식으로 봤을 때론

${\displaystyle P_{T}f(u,\xi )={\frac {1}{2\pi }\int _{-\infit }^{\infit }{-\infit }^{{P_{V}f(u,\xi ')P_{V}\phi _{\gamma(u,\xi )}(u,\xi ')\,du'\,d\xi '}$

위그너-빌 분포의 시간 빈도 평균이다. 따라서 스무딩 커널은 다음과 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle \theta(u,u',\xi,\xi '={\frac {1}{2\pi }}}P_{V}\pi _{\gamma(u,\xi )}(u,\xi ')}}$

시간주파수 분해능 상실은${\displaystyle }$(${\displaystyle u}$, $u$ ,$u$ ,$$ξ${\displaystyle {}_{}}$)$$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ,${\displaystyle {}^{}}$ ) ${\displaystyle {}_{}}$u ′ , ξ${\displaystyle {)}^{}}$ ) ${\$$displaystyle$ $P_{V}\phi _{\gamma (u,\xi )},$$$$u$의 ${\displaystyle \mathrm{부근}}$에 분포하는 것에 따라$$ 달라진다$.$

예 1

유리창이 달린 퓨어 원자로 계산한 스펙트로그램,

${\displaystyle \phi _{\pi (u,\xi )}(t)=g(t-u)e^{i\xi t}}$

${\displaystyle \theta(u,u',\xi,\xi '={\frac {1}{2\pi }}\pi _{\pamma(u,\xi )},\xi '}={\frac {1}{2\pi }g(u'-u,\xi-xi\xi})=})$

스펙트로그램의 경우 위그너-빌 평균은 $따라서{\displaystyle {}_{}}$ P ${\displaystyle V_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle P_{V}g}$을(를) 가진 2차원 경련이다$.$g가 가우스 창이라면 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle V_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle P_{V}g}$는 2차원 가우스 창이다$$. 이는 가우스파가 충분히 넓은 P$$ ${\displaystyle V_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle P_{V}f}$를 평균하여 양의 에너지 밀도를 정의함을 증명한다. 임의의 커널 θ으로 $P{\displaystyle {}_{}}$ V ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle P_{V}f}$를 경련시켜 얻은 시간 빈도 분포의 일반 클래스를 코헨의 클래스라고 하며, 이하에서 논한다.

위그너 정리. 다음 시간 및 주파수 한계 집적도를 만족하는 양의 2차 에너지 분포 Pf는 없다.

${\displaystyle \int _{-\infit _{-\}^{\\pf(u,\xi )\,d\xi =2\pi f(u) ^{2}}$

${\displaystyle \int_{-\infit _{-\infit }^{}Pf(u,\xi )\,du= {\hat {f}(\xi ) ^{2}}:$

수학적 정의

코헨의 이선형(또는 2차) 시간 빈도 분포의 정의는 다음과 같다.

${\displaystyle C_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }A_{x}(\eta ,\tau )\Phi (\eta ,\tau )\exp(j2\pi (\eta t-\tau f))\,d\eta \,d\tau ,}$

where ${\displaystyle A_{x}(\eta ,\tau )}$ is the ambiguity function (AF), which will be discussed later; and ${\displaystyle \Phi (\eta ,\tau )}$ is Cohen's kernel function, which is often a low-pass function, and normally serves to mask out the interference. 원래 Wigner 표현에서 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \Phi \equiv$ 1$\}.$

등가 정의는 AF 대신 WD(Wigner distribution function)의 콘볼루션에 의존한다.

${\displaystyle C_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(\theta ,\nu )\Pi (t-\theta ,f-\nu )\,d\theta \,d\nu =[W_{x}\ast \Pi ](t,f)}$

여기서 커널 함수 $\pi {\displaystyle \mathrm{}}$( ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle f}$) ${\displaystyle \Pi (t,f)}$은 모호성 대신 시간 주파수 영역에 정의된다$$. 원래의 위그너 표현에서 $\pi {\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_{}}$( ${\displaystyle 0_{}}$, 0${\displaystyle {}_{}}$) ${\$ 두 커널의 관계는 WD와 AF의 관계, 즉 두 개의 연속적인 푸리에 변환(cf. diameter)과 같다.

${\displaystyle \Phi ={\mathcal{F}_{t}{\mathcal{F}^{-1}\Pi }$

즉

${\displaystyle \Phi(\eta ,\tau )=\int_{-\infit }^{-\infit }^{-\infit }^{\pi(t,f)\exp(-j2\ta -f\tau )\,d,f,}$

또는 동등하게

${\displaystyle \Pi(t,f)=\int_{-\nft }^{\not_{-\notty }^{\\nothy }\Phi(\eta,\tau f)\\\\data \,data.}$

모호함수

이선형(또는 2차) 시간-주파수 분포의 종류는 모호함수의 관점에서 가장 쉽게 이해할 수 있으며, 이에 대한 설명은 다음과 같다.

고정 프로세스의 경우$$ 잘 알려진 전력 스펙트럼 밀도 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}f}$) ${\displaystyle P_{x}(f)}$ 및$$ 신호 자동 상관 함수 R $x{\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle \tau }$) ${\displaystyle R_{x}(\tau )}$을 고려하십시오. 이들 기능 간의 관계는 다음과 같다.

${\displaystyle P_{x}(f)=\int _{-\nft }^{\\nft }{R_{x}(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau ,}$

${\displaystyle R_{x}(\tau )=\int _{-\inflt }^{}^{\nothy}{\tfrac {\2}}\오른쪽){*}\왼쪽(t-{\tfrac {}}{2}}\\오른쪽)\,dt.}$

비스테이션 ${\displaystyle \mathrm{신호}}$ $x{\displaystyle }$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle x(t)}$의 경우$,$ 이러한 관계는 시간 의존적 전력 스펙트럼 밀도를 사용하여 일반화할 수 있거나, 다음과 같이$$ $x{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle$ x$(t)}$의 유명한 Wigner 분포 함수를 동등하게 사용할 수 있다.

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infit }^{\R_{x}(t,\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau ,}$

${\displaystyle R_{x}(t,\tau )=x\좌(t+{\tfrac {}{2}}\우)x^{*}\좌(t-{\tfrac {}{\tau }{2}}\우)}$

자동상관함수의 푸리에 변환을 τ 대신 t에 대해 취하면 다음과 같이 애매함수를 얻게 된다.

${\displaystyle A_{x}(\eta ,\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\tfrac {\tau }{2}}\right)x^{*}\left(t-{\tfrac {\tau }{2}}\right)e^{j2\pi t\eta }\,dt.}$

위그너 분포함수, 자동상관함수 및 모호함수 사이의 관계는 다음 그림으로 설명할 수 있다.

이선형(또는 이선형) 시간-주파수 분포의 정의와 위너 분포 함수의 정의를 비교해 보면 후자가 $\phi {\displaystyle \mathrm{}(\eta }$,${\displaystyle \tau }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \Phi(\eta ,\tau )=1}.$또는 이선형(또는 이선형) 시간-주파수 분포의 특수한 경우임을 쉽게 알 수 있다.s 커널 함수 ${\displaystyle \phi }$ (${\displaystyle ,}$ , ${\displaystyle )}$ )${\displaystyle 1}$ 1 ${\displaystyle \Phi (\eta ,\tau )\neq 1}$을(를) 선택한$$ 경우 Wigner 배포 함수의 마스크된 버전. 적절하게 선택된 커널 함수는 위그너 분포 함수의 바람직하지 않은 교차 항을 유의하게 줄일 수 있다.

추가 커널 함수의 이점은 무엇인가? 다음 그림은 애매성 및 위그너 분포함수에서 다성분 신호의 자동항과 교차항의 분포를 나타낸다.

일반적으로 다중 구성요소 신호의 경우, 위그너 분포 함수 내에서 자동 기간과 교차 기간의 분포를 예측할 수 없으므로 교차 기간을 쉽게 제거할 수 없다. 그러나 그림에서 보듯이 애매함수의 경우 다요소 신호의 자동항은 본질적으로 ητ 평면에서 원점을 닫는 경향이 있을 것이며, 교차항은 원점으로부터 멀어지는 경향이 있을 것이다. 이 속성으로, ττ-도메인에서 적절한 저역-통과 커널 함수를 적용하면 의 크로스-term을 쉽게 걸러낼 수 있다. 다음은 교차항목이 어떻게 걸러지는지를 보여주는 예다.

커널 속성

$\theta {\displaystyle }$(${\displaystyle u}$ ,${\displaystyle \xi }$) ${\displaystyle \theta (u,\xi )}$의 푸리에 변환은$$

${\displaystyle {\tau }}}(\tau,\cHB )=\int _{-\infit }^{-\infit }^{-\infit }{-i(u\i+\xi \tau)}\,d\xi }$

다음 명제는 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\$이(가) 위그너-빌 분포와 같은 한계 에너지 특성을 만족시키도록$$ 하기 위해 필요하고 충분한 조건을 제시한다.

제안: 한계 에너지 특성

${\displaystyle \int _{-\infit _}^{P_{\\theta }f(u,\xi )\,d\xi =2\pi f(u) ^{2},}$

${\displaystyle \int _{-\infit _}^{P_{\\theta }f(u,\xi )\,du= {\hat{f}(\xi ) ^{2}}:$

다음과$$ $같은{\displaystyle }$ ${\displaystyle {경우}^{}}$에만 모든 f${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle L\mathbf{}}$2 ($$R ) {\$displaystyle f\$in $L^{$2}(\$mathbf {$R} )에 대해 만족됨

${\displaystyle \forall (\tau ,\gamma )\in \mathbf {R}^{2}:\qquad {\ta }}}(\tau ,0)={\hat {\ta }}(0,\gamma )=1}$

일부 시간 빈도 분포

위그너 분포 함수

앞서 언급한 위그너 분포 함수는 커널 함수 $\phi {\displaystyle \mathrm{}(\eta }$,${\displaystyle \tau }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \Phi(\eta ,\tau )=1}$을 가진 2차 시간주파수 분포(QTFD) 등급의 일원이다$.$ 위그너 분포의 정의는 다음과 같다.

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\tfrac {\tau }{2}}\right)x^{*}\left(t-{\tfrac {\tau }{2}}\right)e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau .}$

수정된 위그너 분포 함수

불협화음

스케일링 특성을 만족하는 시간 빈도 에너지 분포를 설계할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {s}}f\좌측({\tfrac {t}}}\우측)\긴 왼쪽 오른쪽 P_{V}f\좌측({\tfrac {u}{s}},si \우측)}}$

위그너-빌 분포가 그러하듯이 만약

${\displaystyle g(t)={\frac {1}{\\sqrt {s}f\좌측값\tfrac {t}{s}}오른쪽)}$

그때

${\displaystyle P_{\theta }g(u,\xi )=P_{\theta }f\left({\tfrac {u}{s}}},s\xi \right)=P_{\displaysty \g(오른쪽).}$

이것은 그것을 부과하는 것과 같다.

${\displaystyle \forall s\in \mathbf {R} ^{+}:\qquad \theta \left(su,{\tfrac {\xi}}}}\오른쪽)=\theta(u,\xi ),}$

그래서

$\displaystyle \theta(u,\xi )=\theta(u\xi,1)=\displaysty(u\xi )}$

Rihaczek과 Choi-Williams 분포는 부속 불변 코헨의 계급 분포의 예다.

최-윌리엄스 분포 함수

Choi-Williams 분포의 낟알은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \Phi(\eta ,\tau )=\exp(-\alpha(\eta \tau )^{2}),}$

여기서 α는 조절 가능한 매개변수다.

리하체크 분포 함수

리하체크 분포의 낟알은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \Phi(\eta ,\tau )=\exp \left(-i2\pi {\frac {\eta \tau }{2}}\오른쪽),}$

이 특정한 커널을 가지고 간단한 계산이 라는 것을 증명한다.

${\displaystyle C_{x}(t,f)=x(t){\hat{x}^{*(f)e^{i2\pi tf}}$

원뿔형 분포 함수

원뿔형 분포함수의 낟알은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \Phi(\eta ,\tau )={\frac {\sin(\pi \eta \tau )}{\pi \eta \}}}\pi \epi(-2\pi \alpha \tau ^{2}\오른쪽),}}$

여기서 α는 조절 가능한 매개변수다. 자세한 내용은 시간 빈도 분석에서 분포 간의 변환을 참조하십시오. 그러한 QTFD와 전체 목록은 예를 들어 코헨이 인용한 텍스트에서 찾을 수 있다.

비가역 공정의 스펙트럼

비정전 프로세스에 대한 시간 변동 주파수는 예상 Wigner-Ville 분포로부터 정의된다. 국지적으로 정지된 프로세스는 많은 물리적 시스템에서 나타나며, 시간적으로 천천히 변화하는 메커니즘에 의해 무작위 변동이 발생한다. 그러한 프로세스는 고정된 프로세스에 의해 국지적으로 대략적으로 추정할 수 있다. $X{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle X(t)}$을(를) 공분산을 갖는 실제 가치 제로 평균 공정으로 설정$$

$[\displaystyle R(t,s)=E[X(t)X]]}$

공분산 연산자 K는 다음에 의해$$ 결정론적 신호 f${\displaystyle {f\mathrm{}}^{}}$ L ${\displaystyle 2\mathbf{}{}^{}}$( R${\displaystyle }$) ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbf {R} )$에 대해 정의된다.

${\displaystyle Kf(t)=\int _{-\infit }^{\infit }R(t,s)f\,ds}$

국소 정지 공정의 경우 K의 고유 벡터는 위그너-빌 스펙트럼에 의해 충분히 근사치된다.

위그너-빌 스펙트럼

공분산 $R{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle R(t,s)}$의 속성은 $\tau {\displaystyle }$= t = ${\displaystyle t}$ -${\displaystyle }$s ${\displaystyle \tau =t-s}$ 및$$ ${\displaystyle u\frac{}{}}$= t${\displaystyle \frac{}{}}$+ ${\displaystyle \frac{s}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\$ {$t+s}{2$의 함수로 연구된다$$.$}}}$:

$(\displaystyle R(t,s)=R\left(u+{\tfrac {\tau }{2}},u-{\tfrac {}{\tau }오른쪽)=C(u,\tau )}$

공분산이 $\tau {\displaystyle }$= ${\displaystyle t}$- ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \tau =t-s}$에만 의존하는 경우 공정이 광범한 정지 상태임$:$

${\displaystyle Kf(t)=\int _{-\infit }^{\c(t-s)f\,ds=C*f(t)}$

고유 벡터는 복합 지수 $e{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\Omega }^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$ ${\$이며 해당 고유값은 전력 스펙트럼에 의해 주어진다.

${\displaystyle P_{X}(\omega )=\int_{-\infit }^{\c(\tau )e^{-i\omega \tau }\,d\tau }}}$

역학 이외의 공정의 경우, 마틴과 플랑드린은 시간 변화 스펙트럼을 도입했다.

${\displaystyle P_{X}(u,\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }C(u,\tau )e^{-i\xi \tau }\,d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }E\left[X\left(u+{\tfrac {\tau }{2}}\right)X\left(u-{\tfrac {\tau }{2}}\right)\right]e^{-i\xi \tau }\,d\tau }$

수렴 문제를 피하기 위해 $우리$는 X가${\displaystyle }$C(u ,${\displaystyle \tau }$) ${\displaystyle C(u,\tau )}$에 콤팩트한 지원을 so ${\displaystyle \tau }$에 가질$$ 수 있도록 콤팩트한 지원을 가지고 있다고 가정한다$.$ 위에서부터 우리는 쓸 수 있다.

${\displaystyle P_{X}(u,\xi )=E[P_{V}X(u,\xi )]}$

이는 시간 변화 스펙트럼이 프로세스 X의 위그너-빌 변환의 예상 값임을 증명한다. 여기서 위그너-빌레 확률적 적분은 평균 제곱 적분으로 해석된다.^[2]

${\displaystyle P_{V}(u,\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }\left\{X\left(u+{\tfrac {\tau }{2}}\right)X\left(u-{\tfrac {\tau }{2}}\right)\right\}e^{-i\xi \tau }\,d\tau }$

참조

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• B. Boashash, 편집자, "시간 빈도 신호 분석 및 처리 – 포괄적인 참조", Exvier Science, 2003.
• L. Cohen, "시간 빈도 분포—A Review," IEEE의 Procedures of the IEEE, vol. 77, no. 7, 페이지 941–981, 1989.
• S. 첸과 D. Chen, 공동 시간 빈도 분석: 방법 및 적용, 1996년 N.J. 프렌티스 홀 5장
• H. Choi와 W. J. Williams, "지수 커널을 사용하여 다중 요소 신호의 시간 주파수 표현 개선", IEEE. 트랜스. 음향, 음성, 신호 처리, vol. 37, no. 6, 페이지 862–871, 1989년 6월.
• Y. 자오, L. E. 아틀라스, R. J. 마크스, "비스테이션 신호의 일반화된 시간 주파수 표현을 위한 콘 형태 커널의 사용," IEEE Trans. 음향, 음성, 신호 처리, vol. 38, 7, 페이지 1084–1091, 1990년 7월.
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