수정된 노드 분석

전기공학에서 수정 노드 분석^[1] 또는 MNA는 회로의 노드 전압(기존 노드 분석에서와 같이)뿐만 아니라 일부 분기 전류도 결정하는 노드 분석의 확장입니다.수정된 노드 분석은 노드 분석(예: 전압 제어 전압 소스)에서 전압 정의 구성요소를 나타내는 어려움을 완화하기 위한 형식주의로 개발되었다.그것은 그런 형식주의 중 하나이다.희박한 탁상 ^[2]공식과 같은 다른 공식은 동일하게 일반적이며 행렬 변환을 통해 관련된다.

방법

MNA는 소자의 분기 구성 방정식 또는 BCE, 즉 전압 전류 특성 및 키르히호프의 회로 법칙을 사용합니다.이 방법은 보통 4단계로 이루어지지만 다음 ^[3]3단계로 줄일 수 있습니다.

순서 1

회로의 KCL 방정식을 작성합니다.전기회로의 각 노드에서 노드에 들어오고 나가는 전류를 기록합니다.그러나 MNA 방법에서는 독립 전압원의 전류가 "플러스"에서 "마이너스"로 취해진다(그림 1 참조).또한 각 방정식의 오른쪽은 항상 0과 같으므로 노드에 들어오는 분기 전류에는 음의 부호가, 나가는 분기 전류에는 양의 부호가 부여됩니다.

순서 2

회로의 노드 전압 측면에서 BCE를 사용하여 가능한 한 많은 분기 전류를 제거합니다.노드 전압의 관점에서 BCE를 쓰는 것으로, 1개의 스텝을 절약할 수 있습니다.BCE가 분기 전압의 관점에서 작성된 경우, 한 단계 더, 즉 노드 전압의 분기 전압을 교체해야 합니다.이 문서에서는 노드 전압의 이름을 붙이는 데 문자 "e"가 사용되고 분기 전압의 이름을 붙이는 데 문자 "v"가 사용됩니다.

순서 3

마지막으로 사용하지 않는 방정식을 적습니다.

예

그림에는 RC 직렬 회로가 나와 있으며 표에는 선형 저항기와 선형 캐패시터의 BCE가 나와 있습니다.저항기의 경우 R $(\displaystyle$ R $R$ $대신$ $(\displaystyle$ G $)$ i $G$ , G $G=1/R$ / R $(\displaystyle$ G= $1/R$ 이 사용됩니다. 이제 위의 설명대로 진행합니다.

그림 1: RC 회로

요소	분기 방정식
저항기	$I_{R}=GV_{R}$
콘덴서	$I_{C}=C{\frac {dV_{C}}{dt}$

순서 1

이 $e_{1}$ 에서는 $e_{1}$ e1({ $displaystyle e_{$ 1 $e_{1}$ })과 $e_{2}$ ({ $displaystyle e_{$ 2 $e_{2}$ 의 2개의 노드가 있습니다. $i_{V_{s}}$ , $iV_{V_{$ $s$ $i_{V_{s}}$ $i_{R}$ displaystyle $i_{$ R $i_{R}$ }) 및 $i_{C}$ ({ $displaystyle i_{C$ 의 3개의 전류가 있습니다.

노드 e1에서 KCL은 다음을 산출합니다.

$i_{V_{s}}+i_{R}=0$

노드 e2:

$\displaystyle -i_{R}+i_{C}=0}$

순서 2

표에 기재된 BCE와 함께 다음 사항을 확인합니다.

$V_{s}=e_{1}$

$V_{R}=e_{1}-e_{2}$

$V_{C}=e_{2$

결과는 다음과 같습니다.

$\displaystyle G(e_{1}-e_{2})+i_{V_{S}}=0}$

$C{\frac {de_{2}}{dt}}+G(e_{2}-e_{1})=0$

순서 3

이 시점에서는 두 개의 방정식이 있지만 세 개의 미지수가 있다는 점에 유의하십시오.빠진 방정식은 이 사실에서 비롯된다

$e_{1}=V_{s}$

그리고 마지막으로 3개의 방정식과 3개의 미지수가 있습니다. 그 결과, 해결 가능한 선형 시스템이 만들어집니다.

수정된 노드 분석 및 DAE

$\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}e_{1}&e_{2}&i_{V_{S}}\end{pmatrix}}^{T}$ x $\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}e_{1}&e_{2}&i_{V_{S}}\end{pmatrix}}^{T}$ ( $\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}e_{1}&e_{2}&i_{V_{S}}\end{pmatrix}}^{T}$ $\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}e_{1}&e_{2}&i_{V_{S}}\end{pmatrix}}^{T}$ e $\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}e_{1}&e_{2}&i_{V_{S}}\end{pmatrix}}^{T}$ $\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}e_{1}&e_{2}&i_{V_{S}}\end{pmatrix}}^{T}$ $\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}e_{1}&e_{2}&i_{V_{S}}\end{pmatrix}}^{T}$ S ) $\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}e_{1}&e_{2}&i_{V_{S}}\end{pmatrix}}^{T}$ {\ $displaystyle \mathbf {x}$ = $be$ begin ${pmatrix$ } $e_{1}&e_{2$ }& $i_{V_$ {S $}\end{pmatrix}^{$ T $}}$ 을 $\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}e_{1}&e_{2}&i_{V_{S}}\end{pmatrix}}^{T}$ (를) 정의하면 위의 방정식을 $Ex'(t)+Ax(t)=f,$ x $Ex'(t)+Ax(t)=f,$ δ ( $Ex'(t)+Ax(t)=f,$ ) + $Ex'(t)+Ax(t)=f,$ x ( $Ex'(t)+Ax(t)=f,$ ) $f$ , { $display style$ Ex ' ( $t$ ) + $Ax$ ( t ) $=$ f , } 의 $Ex'(t)+Ax(t)=f,$ 으로 표시할 수 $있습니다$ .

여기서 A=(G− G1− GG0100){\displaystyle A={\begin{pmatrix}G&, -G&, 1\\-G&, G&, 0\\1&, 0&, 0\end{pmatrix}}}, E=(0000C0000){\displaystyle E={\begin{pmatrix}0&, 0&, 0\\0&amp을 말한다.C&, 0\\0&, 0&, 0\end{pmatrix}}}와 f)(00V신규)T{\displaystyle f={\begi. $n{pmatrix}0&0&V_{s}\end{pmatrix}^$ ${T$

E{\ $displaystyle$ E $}$ 는 $E$ 단수이므로 $선형$ 미분 대수 방정식(DAE)입니다.패시브 RLC 컴포넌트만 사용되는 ^[4]^{[full citation needed]}한 Modified Nodal Analysis에서 발생하는 이러한 DAE의 차별화 지수는 2 이하임을 증명할 수 있습니다.연산 증폭기와 같은 활성 구성 요소를 사용하는 경우, 미분 지수가 임의로 ^[5]높을 수 있습니다.

평활하지 않은 분석

DAE는 개별 구성요소에 대해 부드러운 특성을 가정합니다. 예를 들어 쇼클리 방정식을 통해 DAE를 사용하는 MNA에서 다이오드를 모델링/표현할 수 있지만 곡선의 급격한 지수 전방 및 파괴 전도 영역이 단지 수직선인 경우에는 보다 단순한(더 이상적인) 모델을 사용할 수 없습니다.후자의 방정식을 사용한 회로 분석(MNA 포함)은 실제로 DAE를 사용하는 것보다 더 많이 관여하며 미분포함 ^[6]^[7]이론에 의존하는 비평활 동적 시스템(NSDS) 분석의 주제이다.

레퍼런스

^ Ho, Ruehli, and Brennan (April 1974). "The Modified Nodal Approach to Network Analysis". Proc. 1974 Int. Symposium on Circuits and Systems, San Francisco. pp. 505–509. doi:10.1109/TCS.1975.1084079.{{cite conference}}: CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)
^ Hachtel, G., Brayton, R, and Gustavson, F. (January 1971). "The Sparse Tableau Approach to Network Analysis and Design". IEEE Transactions on Circuit Theory. 18 (1): 101–113. doi:10.1109/TCT.1971.1083223.{{cite journal}}: CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)
^ 청, 중관.관.CSE245 강의 노트: 컴퓨터 지원 회선 시뮬레이션 및 검증2006년 봄.강의 1.
^ 티셴도르프 C.회로 시뮬레이션에서의 DAE 토폴로지 인덱스.
^ K. E. Brenan; S. L. Campbell; L. R. Petzold (1996). Numerical Solution of Initial-value Problems in Differential-algebraic Equations. SIAM. pp. 173–177. ISBN 978-1-61197-122-4.
^ Vincent Acary; Olivier Bonnefon; Bernard Brogliato (2010). Nonsmooth Modeling and Simulation for Switched Circuits. Springer Science & Business Media. pp. 3–4 (for the diode example). ISBN 978-90-481-9681-4.
^ Markus Kunze (2000). Non-Smooth Dynamical Systems. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-67993-6.

외부 링크

"Modified Nodal Analysis (DC algorithm description in Qucs technical documentation)". Retrieved 22 December 2012.

[1] Ho, Ruehli, and Brennan (April 1974). "The Modified Nodal Approach to Network Analysis". Proc. 1974 Int. Symposium on Circuits and Systems, San Francisco. pp. 505–509. doi:10.1109/TCS.1975.1084079.{{cite conference}}: CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)

[2] Hachtel, G., Brayton, R, and Gustavson, F. (January 1971). "The Sparse Tableau Approach to Network Analysis and Design". IEEE Transactions on Circuit Theory. 18 (1): 101–113. doi:10.1109/TCT.1971.1083223.{{cite journal}}: CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)

[3] 청, 중관.관.CSE245 강의 노트: 컴퓨터 지원 회선 시뮬레이션 및 검증2006년 봄.강의 1.

[4] 티셴도르프 C.회로 시뮬레이션에서의 DAE 토폴로지 인덱스.

[BrenanCampbell1996-5] K. E. Brenan; S. L. Campbell; L. R. Petzold (1996). Numerical Solution of Initial-value Problems in Differential-algebraic Equations. SIAM. pp. 173–177. ISBN 978-1-61197-122-4.

[AcaryBonnefon2010-6] Vincent Acary; Olivier Bonnefon; Bernard Brogliato (2010). Nonsmooth Modeling and Simulation for Switched Circuits. Springer Science & Business Media. pp. 3–4 (for the diode example). ISBN 978-90-481-9681-4.

[Kunze2000-7] Markus Kunze (2000). Non-Smooth Dynamical Systems. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-67993-6.

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