모듈형 불변성 이론

Modular invariant theory

수학에서 집단의 모듈형 불변성은 양성의 벡터 공간(보통 집단의 순서를 나눈다)에 작용하는 유한집단의 불변성이다.모듈형 불변제 연구는 딕슨(2004)에 의해 1914년경에 시작되었다.

딕슨 불변성

G가 순서의 유한 필드 F에q 대한 유한 일반 선형 그룹 GLn(Fq)일 때, 자연적인 방법으로 링q F[X1, ...,Xn]에 작용하는 primary power q를 검출한 딕슨(1911)은 다음과 같이 완전한 불변성 세트를 발견했다.행렬의 결정 인자에 대해 [e1, ..., e]를n 쓰십시오. 이 행렬의 항목은 X이며qej
i, 여기서 e1, ..., e는n 음이 아닌 정수입니다.예를 들어, 순서 3의 무어 결정요소 [0,1,2]는

그 다음 GLn(Fq)의 요소 g의 작용에 따라 이러한 결정요인은 모두 det(g)로 곱되므로, 모두 SLn(Fq)의 불변제이며 비율[e1, ..., en]은 Dickson 불변제라 불리는 GLn(Fq)의 불변제다.딕슨은 불변성 Fq[X1, ...,Xn]GLn(Fq)의 전체 링이 i = 0, 1, ..., i - 1, i + 1, ..., n] / [0, 1, ..., n - 1]에 대한 다항식 대수임을 증명했다.스타인버그(1987)는 딕슨의 정리를 더 짧게 증명했다.

행렬[e1, ..., en]은 변수 X의q 모든 0이 아닌 선형 형태와i 유한 필드 F의 계수로 나눌 수 있다.특히 Moore 결정요소 [0, 1, ..., n - 1]은 1 + q + q2 + q + ...를 인수하는 그러한 선형 형태의 산물이다.+ qn – 1 현장 상공의 (n – 1)차원 투영 공간 대표이 인자는 Vandermonde 결정 인자를 선형 인자로 인자화하는 것과 유사하다.

참고 항목

참조

  • Dickson, Leonard Eugene (1911), "A Fundamental System of Invariants of the General Modular Linear Group with a Solution of the Form Problem", Transactions of the American Mathematical Society, 12 (1): 75–98, doi:10.2307/1988736, ISSN 0002-9947, JSTOR 1988736
  • Dickson, Leonard Eugene (2004) [1914], On invariants and the theory of numbers, Dover Phoenix editions, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-43828-3, MR 0201389
  • Rutherford, Daniel Edwin (2007) [1932], Modular invariants, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No. 27, Ramsay Press, ISBN 978-1-4067-3850-6, MR 0186665
  • Sanderson, Mildred (1913), "Formal Modular Invariants with Application to Binary Modular Covariants", Transactions of the American Mathematical Society, 14 (4): 489–500, doi:10.2307/1988702, ISSN 0002-9947, JSTOR 1988702
  • Steinberg, Robert (1987), "On Dickson's theorem on invariants" (PDF), Journal of the Faculty of Science. University of Tokyo. Section IA. Mathematics, 34 (3): 699–707, ISSN 0040-8980, MR 0927606, archived from the original (PDF) on 2012-03-05, retrieved 2010-12-02