모듈형 람다 함수

수학에서 모듈형 람다함수 λ(^{[note 1]}τ)는 복잡한 상부 하프 평면에서 매우 대칭적인 홀로모르픽 함수다.응집군 γ(2)의 부분적 선형 작용에 따라 불변하며, 해당 인수의 함수 필드, 즉 모듈형 곡선 X(2)에 대한 Houptmodul이다.임의의 지점 τ에 걸쳐, 그 값은 타원 곡선 $C{\displaystyle \mathbb{}}$/ ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle 1}$ ,${\displaystyle \tau }$ ⟩ ${\displaystyle ⟩}$ { ${\displaystyle \mathb {C} /\langle 1,\tau \rangle }$에 의한 투영 선의 래미티드 더블 커버 지점의 교차 비율로 설명될 수 있다$.$ 여기서 지도는 [-1] 비자발적으로 정의된다.

$q{\displaystyle }$= e ${\displaystyle {\pi }^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle {\tau }^{}}$ ${\$이(가) nome인 q-확장:

${\displaystyle \lambda (\tau )=16q-128q^{2}+704q^{3}-3072q^{4}+11488q^{5}-38400q^{6}+\dots }$. OEIS: A115977

대칭 그룹 S3의 X(2)에 정식 작용으로, 그리고 적절하게 정상화 람다 함수 symmetrizing함으로써, 사람, 그리고 이것은 사실 클라인의 모듈형 j-invariant에 있는 상부 단면에 전체 모듈형 그룹 SL2⁡(Z){\displaystyle \operatorname{SL}_ᆬ(\mathbb{Z})}불변은 기능 인정을 받고 있다..

모듈형 특성

$function{\displaystyle }$ (${\displaystyle \tau }$ ) ${\displaystyle \lambda (\tau )}$ 함수는 다음에$$ 의해 생성된 그룹 아래에^[1] 불변함수임

$\displaystyle \tau \mapsto \tau +2\ ;\\\\\\\\\\\\\\\}\\mapsto {\frac {\tau}{1-2\}}}$

모듈 그룹의 생성자는 다음에 의해^[2] 작용한다.

${\displaystyle \tau \mapsto \tau +1\\\\\\\\ \frac {\flacda }{\pairda -1},}$

${\displaystyle \tau \mapsto -{\frac {1}{\tau }\\\\\\\ \mapsto 1-\mapda \.}$

따라서 $\lambda {\displaystyle }$ (${\displaystyle \tau }$ ) ${\displaystyle \lambda (\tau )}$에 대한 모듈 그룹의 작용은 조화 그룹의 작용으로$$, 다음과 같은 여섯 가지 값을 제공한다.^[3]

${\displaystyle \left\lbrace {\brace {1}{1-\braceda },{\frac {\practda -1}{\fractda },{\fractda {\properda },{\practda -1},{\1-\lbrace \brac \brac \brac \brace \braceza \brace \brace \braceza \brace \}}}$

다른 기능과의 관계

타원형 계수의 제곱,^[4] 즉 ${\displaystyle \lambda }$ (${\displaystyle )}$) = ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ (${\displaystyle \tau }$ ) ${\displaystyle \lambda (\tau )=k^{2}(\tau$ $)\}.$ 데데킨드 eta 함수 $terms{\displaystyle }$ ${\displaystyle (\tau }$ $){\displaysty$ style $\eta (\tau$ )와$$ tau $)$의 관점에서 보면,^[4]

${\displaystyle \lambda (\tau )={\Bigg (}{\frac {{\sqrt {2}}\,\eta ({\tfrac {\tau }{2}})\eta ^{2}(2\tau )}{\eta ^{3}(\tau )}}{\Bigg )}^{8}={\frac {16}{\left({\frac {\eta (\tau /2)}{\eta (2\tau )}}\right)^{8}+16}}={\frac {\theta _{2}^{4}(\tau )}{\theta _{3}^{4}(\tau )}}}$

그리고

${\displaystyle {\frac {1}{{\big (}\lambda (\tau ){\big )}^{1/4}}}-{\big (}\lambda (\tau ){\big )}^{1/4}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\eta ({\tfrac {\tau }{4}})}{\eta (\tau )}}\right)^{4}=2\,{\frac {\theta _{4}^{2}({\tfrac {\tau }{2}})}{\theta _{2}^{2}({\tfrac {\tau }{2}})}}}$

어디에^[5]

${\displaystyle \theta _{2}(\tau )=\sum _{n=-\nft }^{\nft }e^{\pi i\tau(n+1/2)^{2}}}$

${\displaystyle \theta _{3}(\tau )=\sum _{n=-\nft }^{\infit }e^{\pi i\tau n^{2}}:$

${\displaystyle \tau _{4}(\tau )=\sum _{n=-\nft }^{n1}e^{\pi i\tau n^{2}}$

Weierstrass의 타원함수의 반주기적인 관점에서$,{\displaystyle }$ [ ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$]$${\$displaystyle$[\$omega _${1$},\omega _{2}}}}$을(를) ${\displaystyle =}$ = ${\displaystyle \frac{{\Omega \mathrm{}}_{}}{}}$ 2$$ ${\displaystyle \frac{{1\mathrm{}}_{}}{}}${\$displaystyle$\tau ={\$frac {\omega _{2$

${\displaystyle e_{1}=\frac \reflac \\refted\frome_{1}:{1}{2}}:\recked \refac \preck \{3}=\refted e_{1}+}{2}}:\right}$

우리는^[4] 가지고 있다.

${\displaystyle \lambda ={\frac {e_{3}-e_{2}}:{e_{1}-e_{2}}:}\,}$

세 개의 반주기 값이 구별되므로, 이는 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$이(^[4]가) 0 또는 1 값을 사용하지 않음을$$ 보여준다.

j-invariant와의 관계는^[6][7]

${\displaystyle j(\tau )={\frac {256(1-\lambda (1-\lambda ))^{3}}{(\lambda (1-\lambda ))^{2}}}={\frac {256(1-\lambda +\lambda ^{2})^{3}}{\lambda ^{2}(1-\lambda )^{2}}}\ .}$

이는 범례 형식 ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$= ${\displaystyle x}$( x${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ )${\displaystyle }$(${\displaystyle }$x${\displaystyle }$- ${\displaystyle \lambda }$ )${\displaystyle y^{2}=x-1(x-1)(x-$\lambda )}의 타원형 곡선의 j-invariant이다$.$

모듈 방정식

The modular equation of degree ${\displaystyle p}$ (where ${\displaystyle p}$ is a prime number) is an algebraic equation in ${\displaystyle \lambda (p\tau )}$ and ${\displaystyle \lambda (\tau )}$. If ${\displaystyle \lambda (p\tau )=u^{8}}$ and ${\displ$$aystyle \lambda(\tau )=v^{8$ 도 $p{\displaystyle }$= 2,${\displaystyle 3}$,${\displaystyle 5}$,${\displaystyle 7}${\$displaystyle p=2,3,5,7}$의 모듈 방정식은 각각 다음과$$ 같다.^[8]

${\displaystyle(1+u^{4})^{2}v^{8}-4u^{4}=0,}$

${\displaystyle u^{4}-v^{4}+2uv(1-u^{2}v^{2}=0,}$

${\displaystyle u^{6}-v^{6}+5u^{2}(u^{2}-v^{2})+4uv(1-u^{4}v^{4}=0,}$

${\displaystyle(1-u^{8})(1-v^{8}-(1-uv)^{8}=0).}$

수량 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}($따라서 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $}$)은 상부 하프 평면 > 0 ${\displaystyle \operatorname {im} \tau >0}$:에서 홀로모르픽 함수로 생각할 수 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}v&, =\prod _{k=1}^{\infty}\tanh{\frac{(k-1/2)\pi 나는}{\tau}}={\sqrt{2}}e^{\pi i\tau /8}{\frac{\sum_{k\in \mathbb{Z}}e^{(2k^{2}+k)\pi i\tau}}{\sum_{k\in \mathbb{Z}}e^{k^{2}\pi i\tau}}}\\&, ={\cfrac{{\sqrt{2}}e^{\pi i\tau /8}}{1+{\cfrac{e^{\pi i\tau}}{1+e^{\pi)}+{\cfrac{e^{2\pi)}}{1+e^{2.\pi i\tau}+{\e^{3\pi i\tau }{1+e^{3\pi i\tau }}}}}}}}}}}}}}}$

$\lambda {\displaystyle }$( ${\displaystyle i}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle \lambda (i$${\displaystyle )=}$$1/2$}이기 때문에 모듈식 방정식을 사용하여 소수 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\lambda (pi$$)}$의 대수 값을 입력할 수 있다$.$^{[note 2]}$\lambda {\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle i}$) ${\displaystyle \lambda (ni)}$의 대수 값도 다음에서^{[9][note 3]} 주어진다$$.

${\displaystyle \lambda(ni)=\prod _{k=1}^{n/2}\prodname {sl}^{8}{\frac {(2k-1)\varpi }{2n}\pi(n\,{\text{ven})}}}}}}$

${\displaystyle \lambda (ni)={\frac {1}{2^{n}}}\prod _{k=1}^{n-1}\좌측(1-\parname {sl}^{2}{\frac {k\varpi }{n}\right)^{2}\n,{{n\text{n}}}}$

여기서 ${\displaystyle \mathrm{sl}}$ ${\displaystyle \slname {sl}$은$($는) 레미니스케이트 $사인$이고 {$${\$displaystyle \varpi$}은$$(는) 레미니스케이트 상수다.

람다별

람다 별의 정의 및 연산

이 함수 ∗()){\displaystyle\lambda ^{*}())}[10](어디 x∈ R+{\displaystylex\in \mathbb{R}^{+}})λ 타원 계수 k{k\displaystyle}의에 관한 완전한 타원이 K(k){K(k)\displaystyle}과 그것의 보완과 견줄 만한 K(1의 적분 값을 줍니다. k−${\displaystyle \sqrt{2^{}}}$) ${\displaystyle K({\sqrt {1-k^{2}}})$는 다음 식과 관련이 있다.

${\displaystyle {\frac {K\왼쪽[{\sqrt {1-\lambda ^{*(x)^{2}}}\오른쪽]}}{K[\lambda ^{*}(x)]}}}={\sqrt{x}}$

$){\displaystyle \lambda ^{*}(x)}$의 값은 다음과 같이 계산할 수 있다$$.

${\displaystyle \lambda ^{*(x)={\frac {\theta _{2}^{2}(i{\sqrt{x}})}{\theta _{3}^{2}(i{\sqrt{x}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \exda ^{*(x)=\왼쪽[\sum _{a=--\infit }^{\inflt }\exp[-(a+1/2)^{2}\pi {x}}\오른쪽]^{2}\왼쪽[\sum _{a=-\inforty }^{}^{a=-\inforty }}\expa^{2}\pi {\sqrt{x}}}\right]^{-2}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(x)=\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} [(a+1/2)\pi {\sqrt {x}}]\right]\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} (a\pi {\sqrt {x}})\right]^{-1}}$

${\$와 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$의 기능은 다음과 같이$$ 서로 관련되어 있다.

${\displaystyle \lambda ^{*(x)={\sqrt{\sqrt{x}}}}}}$

람다-별의 속성

${\$ 양수 이성수의 값은$$ 양수 대수 수:

${\displaystyle \lambda ^{*}(x\in \mathb {Q} ^{+})\in \mathb {A} ^{+}.}$

${\displaystyle K(\lambda ^{*}(x))}$ and ${\displaystyle E(\lambda ^{*}(x))}$ (the complete elliptic integral of the second kind) can be expressed in closed form in terms of the gamma function for any ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} ^{+}}$, as Selberg and Chowla proved in 1949.^[11][12]

다음 식은 모든 n${\displaystyle }n{\displaystyle }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$에 유효함$:$

${\displaystyle {\sqrt{n}}=\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} \{n}K\왼쪽[\lambda ^}{*}\왼쪽({\frac {1}{n}\오른쪽);\lambda ^{*}\왼쪽 사진\frac {1}{n}\오른쪽)\오른쪽]}$

여기서$$ ${\displaystyle \mathrm{dn}}$ ${\dnstyle \operatorname$ {$dn}은($는) 계수 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$이(가) 있는 자코비 타원 함수 델타 앰프시다$.$

${\$ 값$$ 하나를 알면 이 공식을 사용하여 $\lambda {\displaystyle {}^{}}$ 관련 λ${\$ 값을$$ 계산할 수 있다.^[9]

${\displaystyle \lambda ^{*}(n^{2}x)=\lambda ^{*}(x)^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} \left\{{\frac {2a-1}{n}}K[\lambda ^{*}(x)];\lambda ^{*}(x)\right\}^{2}}$

여기서 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$및$$ ${\displaystyle \mathrm{sn}}$ ${\displaystyle \operatorname {sn}$은$($는) 계수 k ${\$displaysty $k}$이(가) 있는 자코비 타원 함수 사인 증폭이다$.$

추가 관계:

${\displaystyle \exda ^{**(x)^{2}+\ippda ^{*}(1/x)^{2}=1}$

${\displaystyle [\displayda ^{*(x)+1][\displayda ^{*}(4/x)+1]=2}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(4x)={\frac {1-{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}}{1+{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}}}=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin[\lambda ^{*}(x)]\right\}^{2}}$

${\displaystyle \data ^{*(x)-\data ^{*(9x)=2[\data ^{*}}}}{*}}}*(x)\data ^{*}/4}{*}*(9x)^{3/4}}}$

${\displaystyle \left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/2}-\left[{\frac {2\lambda ^{*}(25x)}{1-\lambda ^{*}(25x)^{2}}}\right]^{1/2}=2\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\left[{\frac {2\lambda ^{*}(25x)}{1-\lambda ^{*}(25x)^{2}}}\right]^{1/12}+2\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\오른쪽]^{5/12}\왼쪽[{\frac {2\lambda ^{*}(25x)}{1-\lambda ^{*}{*}(25x)^{2}}\오른쪽]^{5/12}}}}$

${\displaystyle a^{8}+b^{8}-7a^{4}b^{4}=2{\sqrt {2}}ab+2{\sqrt {2}}a^{7}b^{7}\,\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\left(b=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(49x)}{1-\lambda ^{*}(49x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)}$

${\displaystyle a^{12}-c^{12}=2{\sqrt {2}}(ac+a^{3}c^{3})(1+3a^{2}c^{2}+a^{4}c^{4})(2+3a^{2}c^{2}+2a^{4}c^{4})\,\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\left(c=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(121x)}{1-\lambda ^{*}(121x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)}$

${\displaystyle (a^{2}-d^{2})(a^{4}+d^{4}-7a^{2}d^{2})[(a^{2}-d^{2})^{4}-a^{2}d^{2}(a^{2}+d^{2})^{2}]=8ad+8a^{13}d^{13}\,\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\left(d=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(169x)}{1-\lambda ^{*}(169x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)}$

라마누잔의 계급 불변제

라마누잔의 클래스 불변성 $G{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$ 및$$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\$은(는) 다음과 같이^[13] 정의된다$$.

${\displaystyle G_{n}=2^{-1/4}e^{\pi {\sqrt{n}/24}\prod_{k=0}^{\infit }\좌측(1+e^{-(2k+1)\pi{\sqrt{n}}}\오른쪽),}$

${\displaystyle g_{n}=2^{-1/4}e^{\pi {\sqrt{n}/24}\prod_{k=0}^{\infit }}\좌측(1-e^{-e^{-(2k+1)\pi{\sqrt{n}}}}\오른쪽),}$

여기서 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\$ $^\{+\}\}.$이러한 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에 대해 클래스 불변수는 대수적 숫자다$.$예를 들어,

${\displaystyle g_{58}={\sqrt{5+{\sqrt{29}}{2}}:},\frac g_{sqrt}={\sqrt{5}+2){\sqrt{10}}}}}}}}.}$

동급 불변자를 가진 신분은 다음과^[14] 같다.

${\displaystyle G_{n}=G_{1/n},\quad g_{n}={\frac {1}{1}{4/n}},\quad g_{4n}=2^{1/4}g_{n}G_{n}}}}}}}$

클래스 불변제는 베버 모듈형 함수 $f{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ {$f}$ 및 $f$ ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}}$ ${\$ {$f}_{$1}와 매우 밀접하게 관련되어 있다$.$람다 스타와 계급 불변제 사이의 관계는 다음과 같다.

${\displaystyle G_{n}=\sin\{2\arcsin[\lambda ^{*}(n)]\}^{-1/12}=1{\Big /}\left[{\sqrt[{12}]{2\lambda ^{*}(n)}}{\sqrt[{24}]{1-\lambda ^{*}(n)^{2}}}\right]}$

${\displaystyle g_{n}=\tan\{2\arctan[\boda ^{*}(n)]\}^{1/12}={\sqrt[{12}]{1-\boda ^{*}}}}/[1-\bda ^{*}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \lambda ^{*(n)}=\tan \left\{1}{1}{1}{1}:{n}^{n}^{-12}]\rig\}={\sqrt {g_{n}^{24}+1}-g_{n}^{12}}}:{12}}}}}}:{12}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

기타 출연

리틀 피카르 정리

람다 함수는 복합 평면의 전체 비정수 함수가 둘 이상의 값을 생략할 수 없다는 리틀 피카르 정리의 원래 증명에 사용된다.이 정리는 1879년 피카르에 의해 증명되었다.^[15]가능한 경우 f가 전체이고 값 0과 1을 사용하지 않는다고 가정합시다.λ은 홀오모르픽이므로 0,1,620에서 멀리 정의된 국부 홀오모르픽 역 Ω을 가지고 있다. 함수 z → Ω(f(z)을 고려한다.모노드로미 정리에 의해 이것은 홀로모르픽이며 복잡한 평면 C를 상부 절반 면에 매핑한다.이로부터 C에서 단위 원반까지의 홀로모르픽 함수를 구성하기 쉬운데, 리우빌의 정리에 의해 이 함수는 일정해야 한다.^[16]

문샤인

The function ${\displaystyle \tau \mapsto 16/\lambda (2\tau )-8}$ is the normalized Hauptmodul for the group ${\displaystyle \Gamma _{0}(4)}$, and its q-expansion ${\displaystyle q^{-1}+20q-62q^{3}+\dots }$, OEIS: A007248 where ${\disp$$레이스타일 q=e^{2\pi i\tau$ $\}\}\}$은 몬스터 정점대수에 작용하는 몬스터 그룹의 결합 등급 4C에 있는 원소의 등급별 캐릭터다.

각주

참조

메모들

기타

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61272-0, Zbl 0543.33001
• Chandrasekharan, K. (1985), Elliptic Functions, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 281, Springer-Verlag, pp. 108–121, ISBN 3-540-15295-4, Zbl 0575.33001
• Conway, John Horton; Norton, Simon (1979), "Monstrous moonshine", Bulletin of the London Mathematical Society, 11 (3): 308–339, doi:10.1112/blms/11.3.308, MR 0554399, Zbl 0424.20010
• Rankin, Robert A. (1977), Modular Forms and Functions, Cambridge University Press, ISBN 0-521-21212-X, Zbl 0376.10020
• Reinhardt, W. P.; Walker, P. L. (2010), "Elliptic Modular Function", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248

• Borwein, J. M.과 Borwein, P. B. Pi & AGM: 계산 복잡성에 관한 연구뉴욕: 와일리, 139쪽과 298쪽, 1987.

• 콘웨이, J. H., 노턴, S. P. "괴물 문샤인"런던 수학.Soc. 11, 308-339, 1979.

• 셀버그, A.와 차울라, S. "온 엡스타인의 제타 기능" J. 레이네 안젤라수학. 227, 86-110, 1967.

외부 링크

• 풍림에서 모듈식 람다 함수