순간문제

수학에서 순간 문제는 순간의 순서에 대해 μ를 측정하는 매핑을 뒤집으려 한 결과로 발생한다.

${\displaystyle m_{n}=\int _{-\infit }^{}\x^{n}\,d\mu(x)\,}$

좀 더 일반적으로, 사람들은 고려할 수 있다.

${\displaystyle m_{n}=\int _{-\nft }^{\m_{n}(x)\,d\mu(x)\,}$

임의의_n 함수 M에 대해.

소개

고전적 설정에서 μ는 실선의 측정값이며, M은 순서 {xⁿ : n = 0, 1, 2, ...}. 이 형태에서 확률론에서 질문이 나타나며, 특정한 평균, 분산 등을 갖는 확률측정이 있는지, 그리고 그것이 고유한지를 묻는다.

고전적 모멘트 문제로는 μ의 지원을 전체 실선으로 허용하는 햄버거 모멘트 문제, [0, + +]의 경우 스틸트제스 모멘트 문제, [0, +∞]의 경우 하우스도르프 모멘트 문제 등 세 가지가 있는데, 일반성의 손실 없이 [0, 1]로 간주할 수 있다.

존재

숫자 m의_n 시퀀스는 특정 긍정의 조건이 충족되는 경우에만 측정 μ의 모멘트의 시퀀스, 즉 Hankel 행렬 H_n,

${\displaystyle (H_{n})_{ij}=m_{i+j}\...}$

양성 반수치수여야 한다.This is because a positive-semidefinite Hankel matrix corresponds to a linear functional ${\displaystyle \Lambda }$ such that ${\displaystyle \Lambda (x^{n})=m_{n}}$ and ${\displaystyle \Lambda (f^{2})\geq 0}$ (non-negative for sum of squares of polynomials).$\lambda {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Lambda }$을(를) R${\displaystyle }$[ x ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$까지 확장할 수 있다고$$ 가정하고$,$ 일변량일변수의 경우 항상 음이 아닌 다항식을 제곱합으로 작성할 수 있다.따라서 선형 기능 ${\displaystyle \Lambda }$은(는) 일변량 사례의 모든 비음성 다항식에 대해 양성이다$$.By Haviland's theorem, the linear functional has a measure form, that is ${\displaystyle \Lambda (x^{n})=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}d\mu }$. A condition of similar form is necessary and sufficient for the existence of a measure ${\displaystyle \mu }$ supported on a given interval [a, b].

이러한 결과를 증명하는 한 가지 방법은 다항식을 보내는 선형 함수$$ ${\displaystyle \varphi }$을(를) 고려하는 것이다.

${\displaystyle P(x)=\sum _{k}a_{k}x^{k}}}$

로

${\displaystyle \sum _{k}a_{k}m_{k}.}$

m이_kn [a, b]에서 지원되는 측정 μ의 모멘트라면, 명백하게

${\displaystyle \phi }$( ${\displaystyle P}$) ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \varphi(P)\geq 0}([$a, b]에 음수가 아닌 모든 다항식 P에 대해$$.

(1)

반대로 (1)이 버티면 M을 적용할 수 있다. Riesz 확장 정리 및 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$을(를) 콤팩트한 지지대 C₀([a, b])로 연속함수의 공간에 대한 기능까지$$ 확장하여 다음과 같이 한다.

${\displaystyle \phi }$(${\displaystyle f}$) ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle {}_{}}$$${\$displaystyle \varphi$ ($f$${\displaystyle )\backslash }$$geq$ 0$},$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle f\in C_{0}([a,b]),\;f\geq 0.}$

(2)

리에즈 표현 정리(Riesz presentation organization)에 의해, (2)는 다음과 같은 [a, b]에 대해 지지되는 측정 μ가 존재한다면 이를 보유한다.

$\displaystyle \varphi(f)=\int f\,d\mu }$

ƒ₀ C([a, b])마다

따라서 측정 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$의 존재는 (1)과 동일하다$$.[a, b]의 양다항식 표현 정리를 사용하면 (1)을 한켈 행렬의 조건으로 재구성할 수 있다.

자세한 내용은 쇼하트 & 타마르킨 1943 및 크레인 & 누델만 1977을 참조하십시오.

고유성(또는 결정성)

하우스도르프 모멘트 문제에서 μ의 고유성은 [0, 1]의 연속함수의 공간에서 다항식이 균일한 규범에 따라 밀도 있다고 기술한 Weierstrass 근사정리로부터 나타난다.무한정 문제에서, 독특함은 더 섬세한 질문이다; 칼레만의 상태, 크린의 상태, 그리고 악히저(1965)를 보라.

변형

중요한 변동은 (유한 k의 경우) 고정된 첫 번째 k 모멘트로 측정의 특성을 연구하는 잘린 모멘트 문제다.잘린 모멘트 문제에 대한 결과는 극단적 문제, 최적화 및 확률 이론에서의 정리를 제한하는 수많은 응용을 가지고 있다.참고 항목:체비셰프-마르코프-스티엘트제스 불평등과 크레인과 누델만 1977년.

참고 항목

• 슈틸트제스 순간 문제
• 햄버거 모멘트 문제
• 하우스도르프 모멘트 문제
• 모멘트(수학)
• 칼레만 상태
• 행클 매트릭스

참조

• Shohat, James Alexander; Tamarkin, Jacob D. (1943). The Problem of Moments. New York: American mathematical society.
• Akhiezer, Naum I. (1965). The classical moment problem and some related questions in analysis. New York: Hafner Publishing Co. (N. Kemmer에 의해 러시아어로 번역됨)
• Krein, M. G.; Nudelman, A. A. (1977). The Markov moment problem and extremal problems. Ideas and problems of P. L. Chebyshev and A. A. Markov and their further development. Vol. Translations of Mathematical Monographs, Vol. 50. American Mathematical Society, Providence, R.I. (D에 의해 러시아에서 번역됨.루비시)
• Schmüdgen, Konrad (2017). The moment problem. Springer International Publishing.