스톤-바이어스트라스 정리

수학적 분석에서 Weierstrass 근사 정리는 닫힌 구간[ $a,$ $b]$ 에 정의된 모든 연속 함수가 다항식 함수에 의해 원하는 만큼 가깝게 균일하게 근사될 수 있다고 말합니다. 다항식은 가장 간단한 함수 중 하나이고, 컴퓨터가 다항식을 직접 평가할 수 있기 때문에 이 정리는 특히 다항식 보간에서 실용적이고 이론적인 관련성을 모두 가지고 있습니다. 이 결과의 원래 버전은 1885년 칼 바이어스트라스에 의해 바이어스트라스 변환을 사용하여 확립되었습니다.

마셜 H. 스톤은 정리를^[1] 상당히 일반화하고 증명을 단순화했습니다.^[2] 그의 결과는 스톤-바이어스트라스 정리로 알려져 있습니다. 스톤-바이어스트라스 정리는 바이어스트라스 근사 정리를 두 가지 방향으로 일반화합니다: 실수 구간 [ $a,$ b $]$ 대신 임의의 콤팩트 하우스도르프 $공간$ X가 고려되며, 다항 함수의 대수 $대신$ X{\ $displaystyle$ X $}$ 의 다양한 다른 연속 함수 계열로 충분함을 보여줍니다 $X$ . 아래에 자세히 나와 있는 것처럼. 스톤-바이어스트라스 정리는 콤팩트 하우스도르프 공간에 대한 연속 함수 대수 연구에서 중요한 결과입니다.

또한 스톤-바이어스트라스 정리를 비콤팩트 타이코노프 공간에 대한 일반화, 즉 타이코노프 공간에 대한 모든 연속 함수는 스톤-바이어스트라스 정리에 나타나는 유형의 대수에 의해 콤팩트 집합에서 균일하게 근사되고 아래에 설명됩니다.

Weierstrass의 원래 정리의 다른 일반화는 복소평면의 특정 부분집합에 정의된 함수로 일반화하는 Mergeyan의 정리입니다.

바이어슈트라스 근사정리

위어스트라스가 원래 발견한 근사 정리의 문장은 다음과 같습니다.

Weierstrass 근사 정리 — $f$ 가 실수 구간 [ $a,$ $b]$ 에 정의된 연속 실수 값 함수라고 가정합니다. 모든ε > 0에 대하여 [a, b $]$ 의 $모든$ x에 $대하여$ $f$ ( $x)$ - p( $x$ ) < ε $또는$ 이와 동등하게 $최댓값$ 인 f - p < ε를 갖는 다항식 p가 존재합니다.

번스타인 다항식을 이용한 이 정리의 구성적인 증명은 그 페이지에 요약되어 있습니다.

적용들

Weierstrass 근사 정리의 결과로 공간 $C[a,$ b $]$ 가 분리 가능하다는 것을 보여줄 수 있습니다: 다항식 함수는 밀도가 높고 각 다항식 함수는 유리 계수를 가진 다항식으로 균일하게 근사될 수 있으며 유리 계수를 가진 다항식은 셀 수 없이 많습니다. $C[a,$ $b]$ 는 가법적이고 분리 가능하므로 $C[a,$ $b]$ 는 최대 $2$ 의^ℵ₀ 가법적 성질을 갖습니다. (주: 이 카디널리티 결과는 또한 실수 위의 연속 함수가 유리수에 대한 제한에 의해 고유하게 결정된다는 사실에 기인합니다.

돌-위어스트라스 정리, 실수 버전

$[a,$ $b$ ]에 대한 연속 실수 값 함수들의 $집합$ C[ $a,$ $b$ $]$ 는 최상위 규범 f = $sup$ $f$ (x)와 함께 바나흐 대수, 즉 연관 대수 및 모든 $f$ , $g$ 에 대해 $fg$ ≤ $f$ · $g$ 가 되는 바나흐 공간입니다. 모든 다항 함수의 집합은 $C[a,$ b $]$ 의 부분대수(즉, $함수$ 의 곱셈으로 닫힌 C $[a,$ $b]$ 의 벡터 부분 공간)를 형성하며, Weierstrass 근사 정리의 내용은 이 부분대수가 C $[a,$ b]에서 $조밀$ 하다는 것입니다 $.$

스톤은 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 $X$ 에서 시작하여 X에 대한 실수 값 연속 함수의 대수 $C(X,$ $R)$ 를 균일 수렴의 토폴로지로 고려합니다. 그는 밀도가 높은 $C(X,$ R $)$ 의 하위 대수를 찾고자 합니다. 부분대수가 만족해야 하는 중요한 성질은 점을 분리하는 것임이 밝혀졌습니다: $X$ 에 정의된 함수 $집합$ A는 만약 $X$ 의 서로 다른 두 점 $x$ 와 $y$ 에 $대하여$ $A$ 에 p $(x)$ ≠ p(y)인 함수 $p$ 가 존재한다면 점을 분리한다고 합니다. 이제 우리는 다음과 같이 말할 수 있습니다.

스톤–위어스트라스 정리(실수)— $X$ 가 콤팩트 하우스도르프 공간이고 $A$ 가 0이 아닌 상수 $함수$ 를 포함하는 C $(X,$ R $)$ 의 부분 대수라고 가정하자. $그러면$ 점들을 분리하는 경우에만 $A$ 는C( $X$ , R $)$ 에서 조밀합니다.

이것은 [ $a,$ $b]$ 의 다항식들이 상수들과 분리점들을 $포함$ 하는 C $[a,$ $b]$ 의 부분대수를 형성하기 때문에 위어스트라스의 원래 진술을 의미합니다.

로컬 콤팩트 버전

돌-위어스트라스 정리의 버전은 $X$ 가 국소적으로만 콤팩트한 경우에도 참입니다. C( $X,$ R $)$ 를 무한대에서 사라지는 X 위의 실수 값 연속 $함수$ 의 공간이라 하자. 즉, 모든ε > 0에 대하여, X \ K 위에 f <ε $하는$ $콤팩트$ $집합$ K ⊂ $X$ 가 존재한다면, 연속 함수 $f$ 는 $C(X,$ R $)$ 안에 있습니다. 다시, $C 0 (X,$ $R)$ 는 최상위 규범을 갖는 바나흐 대수입니다. $C(X,$ $R)$ 의 아대수 $A$ 는 $A$ 의 모든 원소가 동시에 사라지는 것이 아니라면 어디에서도 사라지지 않는다고 합니다. 즉, $X$ 에 있는 $모든$ x에 $대하여$ , F $(x)$ 가 0을 ≠ $하는$ $f$ 가 A에 존재합니다. 이 정리는 다음과 같이 일반화됩니다.

돌-위어스트라스 정리(국소 콤팩트 공간) - $X$ 가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이고 $A$ 가 $C 0 (X,$ R)의 부분대수라고 가정하자 $.$ 그러면 $A$ 는 점을 분리하고 어디에서도 사라지는 $경우$ 에만₀ C $($ X $,$ R $)$ 의 밀도가 높습니다.

$이$ 버전은 X가 콤팩트한 경우 이전 버전을 분명히 의미합니다. 그 경우 $C(X,$ $R)$ = C $(X,$ R)이기 때문입니다 $.$ 또한 Stone-Weier strass의 일반적인 버전은 로컬 컴팩트성에 대한 가정을 약화시킵니다.^[3]

적용들

스톤-바이어스트라스 정리는 바이어스트라스의 결과를 넘어서는 다음 두 가지 진술을 증명하는 데 사용될 수 있습니다.

$f$ 가 집합 [ $a$ $,$ $b] \times$ [ $c,$ $d]$ 와ε > 0 에 정의된 연속 실수 함수이면 [ $a,$ b $]$ 의 모든 x $와$ [c, d] 의 y 에 $대해$ f (x, y) - p $(x$ , y) < ε와 $같은$ 두 변수에 다항 $함수$ p 가 존재합니다.
$X$ 와 $Y$ 가 두 개의 콤팩트 하우스도르프 $공간$ 이고 $f :$ X × $Y$ → R은 연속 함수이며, 모든 ε > 0에 대하여 n > 0이 존재하고 연속 함수 f, ..., x에 f, ..., y에 대하여 f - σ fg < ε이 되도록 연속 함수 g, ..., g가 존재합니다.

이 정리는 다음과 같은 분석에 많은 다른 응용이 있습니다.

푸리에 급수: 함수 $e (x)$ = $e$ , $n$ ∈ Z의 선형 조합의 집합은 C $([0,$ 1 $]/{$ 0, 1})에서 조밀하며 $,$ 여기서 [0, 1] $구간$ 의 끝점을 식별하여 원을 얻습니다. 이것의 중요한 결과는 $[0, 1]$ 에 제곱 적분 가능 함수의 공간 $L 2 ([0,$ 1 $])$ 의 정규 기저가_n 존재한다는 것입니다.

돌-위어스트라스 정리, 복소 버전

조금 더 일반적인 것은 다음 정리로, 콤팩트 $공간$ X ${\displaystyle$ X $}$ 의 복소수 연속 함수의 $C(X,\mathbb {C} )$ 대수 C $C(X,\mathbb {C} )$ C $C(X,\mathbb {C} )$ $C(X,\mathbb {C})$ 를 $X$ 다시 균일 수렴 위상과 함께 고려합니다. 이것은 점별 복소 결합에 의해 주어진 * 연산을 갖는 C*-대수입니다.

스톤–위어스트라스 정리(복소수) — $X$ ${\displaystyle$ X $}$ 를 $X$ 콤팩트 하우스도르프 공간이라 하고, $S$ {\ $displaystyle$ S $}$ 를 $S$ C $C(X,\mathbb {C} )$ ( $C(X,\mathbb {C} )$ $C(X,\mathbb {C} )$ {\ $displaystyle C(X,\mathbb {C})}$ 의 분리 부분 집합이라 합니다 $C(X,\mathbb {C} )$ $그러면$ S ${\displaystyle$ S $}$ 에 의해 생성된 복소 단위 *-대수는 $C(X,\mathbb {C} )$ ( $C(X,\mathbb {C} )$ $C(X,\mathbb {C} )$ $C (X,\mathbb {C})$ 에서 조밀합니다 $S$ $C(X,\mathbb {C} )$

$S {\displaystyle$ S $}$ 에서 생성된 복소 단위 *-대수는 $상수$ 함수 $1$ 을 던져서 S $S$ 의 요소들에서 얻을 수 있는 모든 함수들로 구성되어 $S$ 있습니다. 이 함수들을 곱하기, 합하기, 또는 복소 스칼라로 곱하기, 그리고 무한 반복하기를 반복합니다 $S$ .

이 정리는 복소값 함수의 그물이 주어진 $f_{n}\to f$ f → $f$ {\ $displaystyle$ f_{ $n$ to f $}$ 에 균일하게 근사하면 해당 함수의 실수 부분은 해당 함수의 실수 부분에 균일하게 근사하기 때문에 실제 버전을 의미합니다. $\operatorname {Re} f_{n}\to \operatorname {Re} f$ $\operatorname {Re} f_{n}\to \operatorname {Re} f$ $\operatorname {Re} f_{n}\to \operatorname {Re} f$ $\operatorname {Re} f_{n}\to \operatorname {Re} f$ $Re$ $S\subset C(X,\mathbb {R} )\subset C(X,\mathbb {C} ),$ f {\ $displaystyle \operatorname {Re$ } f_{n}\를 $operatorname$ {Re} $\operatorname {Re} f_{n}\to \operatorname {Re} f$ }로 $⊂하며$ $S\subset C(X,\mathbb {R} )\subset C(X,\mathbb {C} ),$ $S\subset C(X,\mathbb {R} )\subset C(X,\mathbb {C} ),$ 집합의 $S\subset C(X,\mathbb {R} )\subset C(X,\mathbb {C} ),$ $\operatorname {Re} f_{n}\to \operatorname {Re} f$ $S\subset C(X,\mathbb {R} )\subset C(X,\mathbb {C} ),$ S ⊂ $S\subset C(X,\mathbb {R} )\subset C(X,\mathbb {C} ),$ C $S\subset C(X,\mathbb {R} )\subset C(X,\mathbb {C} ),$ X $,$ $\operatorname {Re} f_{n}\to \operatorname {Re} f$ $bset$ C (X $, C$ ), {\ $displaystyle$ S $\subset$ C ( $X,\mathbb$ {R $\operatorname {Re} f_{n}\to \operatorname {Re} f$ bset C(X,\mathbb {C}), $}$ 생성된 복소 단위(자가접합) 대수의 실수 부분을 취하는 $S\subset C(X,\mathbb {R} )\subset C(X,\mathbb {C} ),$ 것은 생성된 실수 단위 대수와 일치합니다.

실제 경우와 마찬가지로, 이 정리의 유사체는 국소적으로 작은 하우스도르프 공간에 대해 참입니다.

스톤-바이어스트라스 정리, 4차 버전

홀러데이(1957)에 이어, 다시 균일 수렴의 위상과 함께 콤팩트 공간 $X$ 에 대한 4차 이온 값 연속 함수의 대수 $C(X,$ H $)$ 를 고려합니다.

${\textstyle q=a+ib+jc+kd}$ ${\textstyle q=a+ib+jc+kd}$ 가 $q$ = ${\textstyle q=a+ib+jc+kd}$ a + $ib$ + j c + kd {\textstyle q = a+ib + ${\textstyle q=a+ib+jc+kd}$ jc + kd} 형태로 쓰여 있는 경우

스칼라 부분 $a$ 는 실수 ${\frac {q-iqi-jqj-kqk}{4}}$ - ${\frac {q-iqi-jqj-kqk}{4}}$ - ${\frac {q-iqi-jqj-kqk}{4}}$ - ${\frac {q-iqi-jqj-kqk}{4}}$ ${\frac {q-iqi-jqj-kqk}{4}}$ j ${\frac {q-iqi-jqj-kqk}{4}}$ - ${\frac {q-iqi-jqj-kqk}{4}}$ ${\frac {q-iqi-jqj-kqk}{4}}$ k 4 ${\$ 입니다 ${\frac {q-iqi-jqj-kqk}{4}}$

저도 마찬가지예요.

$-qi$ 의 스칼라 부분은 $실수$ - ${\frac {-qi-iq+jqk-kqj}{4}}$ - ${\frac {-qi-iq+jqk-kqj}{4}}$ + ${\frac {-qi-iq+jqk-kqj}{4}}$ ${\frac {-qi-iq+jqk-kqj}{4}}$ k ${\frac {-qi-iq+jqk-kqj}{4}}$ - k ${\frac {-qi-iq+jqk-kqj}{4}}$ ${\frac {-qi-iq+jqk-kqj}{4}}$ ${\frac {-qi-iq+jqk-kqj}{4}}$ ${\$ 입니다 ${\frac {-qi-iq+jqk-kqj}{4}}$
$-qj$ 의 스칼라 부분은 $실수$ - ${\frac {-qj-iqk-jq+kqi}{4}}$ - ${\frac {-qj-iqk-jq+kqi}{4}}$ ${\frac {-qj-iqk-jq+kqi}{4}}$ - j ${\frac {-qj-iqk-jq+kqi}{4}}$ + ${\frac {-qj-iqk-jq+kqi}{4}}$ ${\frac {-qj-iqk-jq+kqi}{4}}$ ${\frac {-qj-iqk-jq+kqi}{4}}$ ${\$ 입니다 ${\frac {-qj-iqk-jq+kqi}{4}}$
$-qk$ 의 스칼라 부분은 $실수$ - ${\frac {-qk+iqj-jqk-kq}{4}}$ ${\frac {-qk+iqj-jqk-kq}{4}}$ + ${\frac {-qk+iqj-jqk-kq}{4}}$ ${\frac {-qk+iqj-jqk-kq}{4}}$ - ${\frac {-qk+iqj-jqk-kq}{4}}$ ${\frac {-qk+iqj-jqk-kq}{4}}$ ${\frac {-qk+iqj-jqk-kq}{4}}$ - ${\frac {-qk+iqj-jqk-kq}{4}}$ ${\frac {-qk+iqj-jqk-kq}{4}}$ ${\frac {-qk+iqj-jqk-kq}{4}}$ ${\$ 입니다 ${\frac {-qk+iqj-jqk-kq}{4}}$

그렇다면 다음과 같이 말할 수 있습니다.

스톤-위어스트라스 정리 (4차수) - $X$ 가 콤팩트 하우스도르프 공간이고 $A$ 가 0이 아닌 상수 $함수$ 를 포함하는 C $(X,$ H $)$ 의 부분 대수라고 가정합니다. 그러면 점들을 분리하는 $경우$ 에만 $A$ 는C( $X$ , H $)$ 에서 조밀합니다.

스톤-바이어스트라스 정리, C*-대수 버전

콤팩트 하우스도르프 공간 $X$ ${\displaystyle$ X $}$ 의 $X$ 복소수 연속 함수 공간. $C(X,\mathbb {C} )$ $C(X,\mathbb {C} )$ $C(X,\mathbb {C})$ 는 $C(X,\mathbb {C} )$ 단가환 C*-대수 ${\mathfrak {A}}$ ${\$ 의 표준 예입니다 ${\mathfrak {A}}$ 공간 X는 약-* 위상을 갖는 ${\mathfrak {A}}$ ${\$ 의 순수 상태 공간으로 볼 수 있습니다. 위의 단서에 따라, 미해결 상태로 남아 있는 스톤-위어스트라스 정리의 비상호적 확장은 다음과 같습니다.

Conjecture — If a unital C*-algebra ${\mathfrak {A}}$ has a C*-subalgebra ${\mathfrak {B}}$ which separates the pure states of ${\mathfrak {A}}$ , then ${\mathfrak {A}}={\mathfrak {B}}$ .

1960년에 짐 글림은 위 추측의 약한 버전을 증명했습니다.

돌-위어스트라스 정리(^[4]C*-대수) - 단일체 C*-대수 A ${\$ 가 ${\mathfrak {A}}$ ${\$ { $B$ $}}$ 의 순수 상태 공간(즉, 순수 상태의 약한-* 폐쇄)을 분리하는 ${\mathfrak {B}}$ C*-하위 대수 ${\mathfrak {B}}$ ${\$ mathfrak {B}}를 ${\mathfrak {A}}$ 가지면 ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {A}}={\mathfrak {B}}$ A = ${\$ displaystyle {\mathfrak {A}} = {\mathfrak {B}}입니다.

격자판

$X$ 를 콤팩트 하우스도르프 공간이라 하자. $그$ 정리에 대한 스톤의 원래 증명은 C $(X,$ $R$ )의 격자 개념을 사용했습니다 $.$ 임의의 두 원소 $f,$ $g$ ∈ L에 대하여 $함수 max$ {f $, g}, min$ {f, g}도 L에 $속한다면$ $C(X,$ $R)$ 의 부분 집합 $L$ 을 격자라고 합니다. 스톤-위어스트라스 정리의 격자 버전은 다음과 같습니다.

latt $라이스$ – X가 적어도 두 점을 가진 콤팩트 하우스도르프 공간이고, $L$ 이 C( $X,$ R)의 $격자$ 라고 가정하고, 임의의 두 개의 다른 원소 $x$ , $y$ 와 임의의 두 실수 $a$ , $b$ 에 대하여 f ( $x$ ) = $a$ , f ( $y$ )= b인 원소 $f$ ∈L이 존재한다고 가정합니다. 그러면 L은 C $($ X, R)에서 $조밀$ 합니다.

위의 Stone-Weierstrass 버전은 격자 특성이 $f$ 의 절대값을 사용하여 공식화될 수 있음을 $깨닫고$ 나면 이 버전에서 증명할 수 있으며, f의 다항식으로 근사화될 수 있습니다. 이 정리의 변형은 $최대$ 로 닫힌 C $(X,$ R $)$ 의 선형 부분 공간에 적용됩니다.^[5]

돌-위어스트라스 정리(최대-닫힘) - $X$ 가 콤팩트 하우스도르프 $공간$ 이고, $B$ 가C( $X$ , R $)$ 의 함수족이라고 가정하자.

$B$ 는 포인트를 구분합니다.
$B$ 는 상수 함수 1을 포함합니다.
$만약$ $f$ 가∈ $B이면$ $모든$ 상수에 대해 a ∈ R에 대한 af ∈ B입니다.
$f$ , $g$ ∈ $B이면$ f + g $,$ max{ f, $g$ } ∈ B입니다.

$그러면$ B는 C $(X,$ R)에서 조밀합니다 $.$

보다 정확한 정보를 확인할 수 있습니다.

X

가 적어도 두 점을 가진 콤팩트 하우스도르프 공간이고

L

이

C(X,

R)의 격자라고 가정하자

.

함수

φ ∈

C(X, R)는 X의 서로 다른 점 x와 y의 각 쌍에 대하여 그리고 각 ε > 0에 대하여 f (x) - φ (x) < ε 및 f (y) - φ (y) < ε의 일부 f ∈ L이 존재하는 경우에만 L의 폐쇄에 속합니다.

비숍 정리

스톤-바이어스트라스 정리의 또 다른 일반화는 에렛 비숍에 의한 것입니다. 비숍 정리는 다음과 같습니다.^[6]

비숍 정리 - $A$ 가 콤팩트 하우스도르프 공간 $X$ 에서 연속 복소수 함수의 복소 바나흐 대수 $C(X,$ $C)$ 의 닫힌 부분대수라고 하자. $S$ ⊂ X에 $대해서$ 는 A= { $g$ : g ∈ A}라고 적습니다. $f$ ∈ C(X, C)가 다음과 같은 성질을 가진다고 가정합니다.

f \in

A의 모든

실수

함수가 일정하도록 모든 최대

집합

S

⊂ X에 대하여 A.

$그럼$ f ∈ A.

글릭스버그(Glicksberg, 1962)는 본질적인 방법으로 크라인-밀만 정리를 사용한 비숍 정리와 한-바나흐 정리(Louis de Branges, 1959)의 과정을 간략하게 증명합니다. See also Rudin (1973, §5.7).

나흐빈 정리

Nachbin의 정리는 매끄러운 다양체에서 복잡한 값의 매끄러운 함수의 대수에 대한 Stone-Weierstrass 정리에 대한 유사점을 제공합니다.^[7] Nachbin의 정리는 다음과 같습니다.^[8]

나흐빈의 정리 - 유한 차원 매끄러운 다양체 $M$ 위의 매끄러운 함수들의 $대수 \infty$ C $(M)$ 의 부분대수라고 $하자$ . $A$ 가 $M$ 의 점들을 분리하고 $M$ 의 접선 벡터들도 분리한다고 가정하자: 각각의 점 m ∈ M과 m의 접선 공간에서 접선 벡터 v에 대하여, df(x)(v)≠이 0이 되도록 f ∈ A가 존재합니다. 그러면 A는 C(M)에서 조밀합니다.

편집이력

1885년에는 실제 변수의 임의 함수에 분석적 표현을 제공할 수 있는 가능성을 On이라는 제목의 논문의 영어 버전으로도 발표되었습니다.^[9]^[10]^[11]^[12]^[13] 수학자 야밀레 퀸타나(Yamilet Quintana)에 따르면, 위어스트라스(Weierstrass)는 "어떤 분석함수도 멱급수로 표현될 수 있다고 의심했다"고 합니다.^[13]^[12]

참고 항목

뮌츠-사즈 정리
번스타인 다항식
룬지 현상은 어떤 미세한 간격의 x = x에 대하여 f( $x)$ = P( $x)$ 와 같은 다항식 $P$ 를 찾는 것이 균일하게 근사하는 다항식을 찾는 나쁜 방법임을 보여줍니다. 예를 들어 Rudin(1976), p. 160, eq. (51) ff.에서 설명된 더 나은 접근법은 적절하게 선택된 다항식 커널 계열과 $f$ 의 컨볼루션을 취하여 $f$ 에 균일하게 근사하는 다항식 $P$ 를 구성하는 것입니다.
복소함수의 다항식 근사에 관한 머지얀의 정리.

메모들

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참고문헌

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역사적 저작물

독일어로 된 바이에르스트라스의 역사 출판물은 베를린 브란덴부르크 미술관의 디지털 온라인 아카이브에서 자유롭게 이용할 수 있습니다.

K. Weierstrass (1885). 위베르 디 애널리티스체 다르스텔바르케 소제너는 Kürlicher Functioneneiner reellen Veränderlichen. 쾨니글리히 프레우 ß리스헨 아카데미에 비센샤프텐 주 베를린, 1885 (II).
Erste Mitteilung (1부) pp. 633–639, Zweite Mitteilung (2부) pp. 789–805.

외부 링크

"Stone–Weierstrass theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

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