단동형성

추상대수학이나 보편대수의 맥락에서 단형주의는 주입식 동형성이다.X에서 Y까지의 단형성은 ${\displaystyle \mathrm{흔히}}$ X ${\displaystyle \hookrightarrow }$ Y ${\displaystyle$ X$\hookrightarrow Y}$라는 표기법으로 표시된다$.$

카테고리 이론의 보다 일반적인 설정에서 단모형(단모형 또는 단모형이라고도 함)은 좌취소형 형태론이다.즉, 모든 물체 Z와 모든 형태론₁ g, g: Z → X에₂ 대해 화살표 f : X → Y,

${\displaystyle f\back g_{1}=f\backg_{2}\reason g_{1}=g_{2}.}$

단성형은 주입함수의 범주형 일반화("일대일 함수"라고도 함)이다. 일부 범주에서는 개념이 일치하지만, 단성형은 아래 예와 같이 보다 일반적이다.null

단동형성의 범주형 이중은 경동형, 즉 C 범주의 단동형성은 이중 범주 C의^op 경동형이다.모든 부분은 단동형이고, 모든 수축은 경동형이다.null

반전성과의 관계

좌역전성형(L)은 반드시 단조로움: l이 f에 대한 좌역비인 경우(${\displaystyle l}$은 형태론이고 $l{\displaystyle }$ ${\displaystyle \circ }$ f${\displaystyle }$= ${\displaystyle {id}_{}}$ X ${\$=\$operatorname {id} _{X})$와 같이 f는 단조로움이다.$$

${\displaystyle f\circle g_{1}=f\circle g_{2}\Rightarrow l\circircle g_{1}=l\circircle g_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2}.}$

좌회전형 형태론을 분할형 모노 또는 단면이라고 한다.null

그러나 단성형은 좌회전할 필요가 없다.예를 들어, 그들 중 모든 그룹과 집단의 동형상 범주에서 H가 G의 부분군이라면, 포함 f : H → G는 항상 단형상이지만, H가 G에 정상적인 보어를 가지고 있는 경우에만 F는 범주에서 왼쪽 역형을 가진다.

형태론 f : X → Y는 유도지도_∗ f : Hom(Z, X) → Hom(Z, X) → 모든 형태론 h : Z → X에 대해 f_∗(h) = f ∘ h로 정의되는 경우에만 단일하다.null

예

콘크리트 범주의 기본적인 기능이 주입적인 모든 형태주의는 단형성이다. 다시 말해, 형태학이 실제로 집합 사이의 함수라면, 일대일 함수인 어떤 형태주의는 범주형적 의미에서의 단형주의가 될 수밖에 없다.세트의 범주에서 역도 또한 포함되므로, 단모형은 정확히 주입형 형태론이다.그 반대는 또한 하나의 발전기에 자유로운 물체가 존재하기 때문에 가장 자연적으로 발생하는 알헤브라의 범주에 속한다.특히 모든 집단의 범주, 모든 반지의 범주, 그리고 어떤 아벨의 범주에서도 사실이다.null

그러나, 일반적으로 모든 단형성이 다른 범주에 주입되어야 한다는 것은 사실이 아니다. 즉, 형태론이 세트 사이에 함수인 설정이 있지만, 주입되지 않는 함수를 가질 수 있지만, 범주적 의미에서는 단형성이다.예를 들어, Div of divalable (abelian) groups and group homorphisms의 범주에는 주입되지 않는 단형성이 있다. 예를 들어, Q는 추가의 이성, Z는 정수(또한 추가의 집단으로 간주됨), Q/Z는 해당 지수군이다.예를 들어 모든 정수가 0으로 매핑되는 것처럼, 이것은 주입 지도가 아니다.그럼에도 불구하고, 그것은 이 범주의 단형주의다.이것은 우리가 이제 증명할 시사 q h h = 0 h h = 0에서 따온 것이다.만약 h : G → Q, 여기서 G는 어떤 분할할 수 있는 그룹이고, q h h = 0, h(x) ∈ Z, x x g G. 이제 약간의 x ∈ G. 일반성을 잃지 않고 h(x) ≥ 0(그렇지 않으면 -x를 선택)으로 가정할 수도 있다.그런 다음, n = h(x) + 1을 허용하면 G는 분할할 수 있는 그룹이기 때문에, x = ny, h(x) = n h(y)와 같은 y ∈ G가 존재한다.이것으로부터, 그리고 0 h h(x) < h(x) + 1 = n을 따른다.

${\displaystyle 0\leq {\frac {h(x)}{h(x)+1}=h(y)1}$

h(y) ∈ Z이기 때문에 h(y) = 0을 따르며, 따라서 h(x) = 0 = h(-x), x x g G를 따르게 된다.이것은 원하는 대로 h = 0이라고 말한다.null

그 함축에서 q가 단형주의라는 사실로 넘어가려면, 어떤 형태론 f에 대해 q ∘ f = q ∘ g, g : G → Q, 여기서 G는 어느 정도 분리될 수 있는 집단이라고 가정한다.그런 다음 q ∘ (f - g) = 0, 여기서 (f - g) : x ↦ f(x) - g(x)(f - g)(0) = 0, (f - g)(x + y) = (f - g)(x) + (f - g) + (y)이기 때문에 (f - g) ∈ Hom(G, Q)을 따른다.방금 증명된 함축으로부터, q ∘ (f - g) = 0 f f - g = 0 ⇒ x g G, f(x) = g g f = g.그러므로 q는 주장대로 단형주의다.null

특성.

• 토포에서는 모든 모노가 이퀄라이저(equalizer)이고, 모노믹과 서사시 둘 다인 지도는 이소모르피즘이다.
• 모든 이형성들은 단성적이다.

관련개념

규칙적인 단형주의, 극단적 단형주의, 즉각적인 단형주의, 강한 단형주의, 분열된 단형주의 등의 유용한 개념도 있다.null

• 단성형은 어떤 쌍의 평행 형태에 대한 등가제일 경우 규칙적이라고 한다.
• 단모형 $[\displaystyle \mu }$은 각^[1] 표현 $\mu {\displaystyle }$ =${\displaystyle \phi }$ ε ${\displaystyle \epsilon }$ ε$${ { $\mu =\varphi \circle \varpilon$ $\}\}$이(가$)$ 경구형이고$$, 여기서 $\epsilon {\displaystyle }$ ${\displaystysty \varpsilon$$}$은 자동으로$$ 비구형이다.
• A monomorphism ${\displaystyle \mu }$ is said to be immediate if in each representation ${\displaystyle \mu =\mu '\circ \varepsilon }$, where ${\displaystyle \mu '}$ is a monomorphism and ${\displaystyle \varepsilon }$ is an epimorphism, the morphism ${\displaystyle \varepsilon }$ is automatic이형동체를 결부시키다
• 
  단성형 ${\displaystyle \mu }$: ${\displaystyle C}$→ D ${\displaystyle \mu :C\to D}$ 어떤^[1][2] 경성형 $ep{\displaystyle }$: ${\displaystyle A}$→ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \varepsilon$:$A\to B}$ 및$$ 모든 형태변수 $\alpha {\displaystyle }$: ${\displaystyle A}$→ C ${\displaystyle \alpha$:$A\to C}$ 및$$ $\beta {\displaystyle }$: ${\displaystyle B}$→ D ${\displaystyle \beta$:$\beta {\displaystyle }$ $to$ =$$${\displaystyle \mu }$ α α $displaystyle \beta \circle \varepsilon =\mu \circle \alpha },$$\Delta$ : B → ${\displaystyle \delta$:$B$$\to C}$ ${\displaystyle \Delta }$α =${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \delta$\circle $\delta =\alpha }$ 및$$ $\mu {\displaystyle \Delta }$ =${\displaystyle \beta }$ Δ = $\displaystyle \mu \circ \delta =\bta$ $\}.$
• A monomorphism ${\displaystyle \mu }$ is said to be split if there exists a morphism ${\displaystyle \varepsilon }$ such that ${\displaystyle \varepsilon \circ \mu =1}$ (in this case ${\displaystyle \varepsilon }$ is called a left-sided inverse for ${\displaystyle \mu }$).

용어.

단형주의와 인식주의라는 동반 용어는 원래 니콜라스 부르바키에 의해 도입되었다. 부르바키는 주입 함수의 속기로 단형주의를 사용한다.초기 범주 이론가들은 범주의 맥락에 맞는 주입성의 정확한 일반화는 위에 주어진 취소 속성이라고 믿었다.단성 지도에 대해서는 이것이 꼭 맞는 것은 아니지만, 매우 밀접하기 때문에 이것은 경시모형의 경우와는 달리 거의 문제를 일으키지 않았다.선더스 맥 레인은 그가 말하는 '단성'과 '단성'이라는 단성(단성)을 구별하려고 시도했는데, 그 지도는 세트의 기본 지도가 주입식인 콘크리트 범주의 지도였다.이런 구별은 결코 일반화되지 않았다.null

단동형성의 또 다른 이름은 확장이지만, 다른 용어도 있다.null

참고 항목

• 임베딩
• 노달 분해
• 서브 오브젝트

메모들

참조

• Bergman, George (2015). An Invitation to General Algebra and Universal Constructions. Springer. ISBN 978-3-319-11478-1.
• Borceux, Francis (1994). Handbook of Categorical Algebra. Volume 1: Basic Category Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0521061193.
• "Monomorphism", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Van Oosten, Jaap (1995). "Basic Category Theory" (PDF). Brics Lecture Series. BRICS, Computer Science Department, University of Aarhus. ISSN 1395-2048.
• Tsalenko, M.S.; Shulgeifer, E.G. (1974). Foundations of category theory. Nauka. ISBN 5-02-014427-4.

외부 링크

• nLab에서의 단동형성
• nLab의 강력한 단형성