자유 객체

수학에서 자유물체의 개념은 추상대수의 기본 개념 중 하나이다. 모든 종류의 대수 구조와 관련이 있다는 의미에서 보편적 대수학의 한 부분이다. 그것은 또한 범주 이론의 관점에서 공식화 되어있지만, 이것은 아직 더 추상적인 용어로 되어있다. 예를 들어 자유 그룹, 텐서 알제브라스 또는 자유 격자가 있다. 비공식적으로, 집합 A 위에 있는 자유 물체는 A에 대한 "일반적인" 대수 구조라고 생각할 수 있다: 자유 물체의 요소들 사이에 있는 유일한 방정식은 대수 구조의 정의 공리에서 오는 방정식이다.

정의

자유 객체는 벡터 공간에서 기본 개념의 범주에 대한 직접적인 일반화다. 벡터 공간 사이의 선형 함수 u : E₁ → E는₂ 벡터 공간 E에₁ 기초하여 그 값에 의해 전적으로 결정된다. 다음 정의는 이것을 어떤 범주로도 번역한다.

콘크리트 카테고리는 세트 카테고리인 세트에 충실한 펑터를 갖춘 카테고리다. C를 충실한 functor F : C → Set와 함께 콘크리트 범주가 되게 한다. X를 세트(즉, X는 세트, 여기서는 베이스를 말한다)로 하고, A를 C의 객체로 하고, i : X → F(A)를 세트 X와 F(A) 사이의 주입 지도로 한다(논리적 삽입이라고 한다). 그 다음에 A는 다음과 같은 보편적 특성을 만족하는 경우에만 X에 있는 자유물이라고 한다(i)이라고 한다.

C의 어떤 물체 B와 세트 f : X → F(B) 사이의 지도에 대해, f = F(g) ∘ i와 같은 독특한 형태론 g : A → B가 존재한다. 즉, 다음 도표는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{array}{c}X{\xrightarrow {\quad i\quad }F(A)\\{f}\{f}\}\searrow \quad \\\quad{quarrow}}}$

이렇게 해서 세트 X로부터 자유로운 물체 A를 만드는 자유형 플럭터는 건망증이 심한 플럭터에 맞추어 좌회전하게 된다.

예

자유 객체의 생성은 두 단계로 진행된다. 연관법에 부합하는 알헤브라의 경우, 첫 번째 단계는 알파벳에서 형성되는 모든 가능한 단어의 모음을 고려하는 것이다. 그런 다음, 한 세트의 동등성 관계를 단어에 부과한다. 여기서 그 관계는 당면한 대수적 대상의 정의적 관계다. 그러면 자유 객체는 동등성 등급 집합으로 구성된다.

예를 들어, 두 개의 발전기에서 자유 집단을 구성하는 것을 고려한다. One starts with an alphabet consisting of the five letters ${\displaystyle \{e,a,b,a^{-1},b^{-1}\}}$. In the first step, there is not yet any assigned meaning to the "letters" ${\displaystyle a^{-1}}$ or ${\displaystyle b^{-1}}$; these will be given later, in the second step. Thus, one could equally well start with the alphabet in five letters that is ${\displaystyle S=\{a,b,c,d,e\}}$. In this example, the set of all words or strings ${\displaystyle W(S)}$ will include strings such as aebecede and abdc, and so on, of arbitrary finite length, with the letters arranged in 가능한 모든 질서

다음 단계에서는 일련의 동등성 관계를 부과한다. 집단의 등가관계는 신분별 곱셈관계, $g{\displaystyle }$= ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle g}$= g = ${\displaystyle g}$ = g ${\displaystyle ge=e=g$ invers의 ${\displaystyle {\mathrm{곱셈관계}:}^{}}$ g${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1{}^{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{g}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$ g =$$e {\$displaysty gg^{-1}=g^{-1g=$e$\}.$ 위의 문자열에 이러한 관계를 적용하면 얻을 수 있다.

${\displaystyle aebecede=aba^{-1}b^{-1}}$

${\displaystyle {\mathrm{여기}}^{}}$서 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$은${\displaystyle {(}^{}}$는) - 1 ${\$ a$^{-1$의 스탠드인 것으로 $이해$되었으며$,$ d {\$displaystyle$ d}은(는${\displaystyle {)}^{}}$ b$$- 1 {\$displaystyle b$1}의$$ 스탠드인 반면 $e{\displaystyle }$ ${\displaystystyled}$은 ID 요소인 것으로 파악되었다. 비슷하게, 사람은 가지고 있다.

${\displaystyle abdc=abb^{-1}a^{-1}e.}$

$~{\displaystyle }$ ${\displaystyle \sim }$을(를) 기준으로 동등성 관계 또는 합치를 나타냄으로써$,$ 자유 객체는 단어의 동등성 클래스의 모음입니다. 따라서, 이 예제에서 두 발전기의 자유 그룹은 지수다.

${\displaystyle F_{2}=W(S)/\sim .}$

This is often written as ${\displaystyle F_{2}=W(S)/E}$ where ${\displaystyle W(S)=\{a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\,\vert \;a_{k}\in S\,;\,n\in \mathbb {N} \}}$ is the set of all words, and ${\displaystyle E=\{a_1{a}_2\dots a_{n}e=a_1{a}_2\dots {}_{}}$${\displaystyle E=\{a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\,\vert \;e=a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\,;\,a_{k}\in S\,;\,n\in \mathbb {N} \}}$ is the equivalence class of the identity, after the relations defining a group are imposed.

더 간단한 예는 자유 모노이드 입니다. 집합 X에 있는 자유 모노이드(free monoid)는 X를 알파벳으로 사용하는 모든 유한 문자열의 단면이며, 문자열의 연산 결합이다. 정체는 빈 끈이다. 본질적으로, 자유 모노이드란 단순히 모든 단어의 집합이며, 동등성 관계가 부과되지 않는다. 이 예는 클레인 스타에 관한 글에서 더 자세히 설명된다.

일반사례

일반적인 경우 대수적 관계는 연관될 필요가 없으며, 이 경우 출발점은 모든 단어의 집합이 아니라 괄호로 구두점을 찍은 문자열로, 문자의 비연관적 그룹을 나타내기 위해 사용된다. 이러한 문자열은 2진수 나무나 자유 마그마로 균등하게 표현될 수 있다. 나무의 잎은 알파벳에서 나온 문자들이다.

대수적 관계는 나무의 잎에 일반적인 아리스타나 미세한 관계가 될 수 있다. 가능한 모든 괄호화된 문자열의 집합에서 출발하기보다는 헤르브란트 우주로부터 출발하는 것이 더 편리할 수 있다. 자유 객체의 내용을 적절하게 기술하거나 열거하는 것은 문제의 특정 대수적 객체에 따라 쉬울 수도 있고 어려울 수도 있다. 예를 들어, 두 개의 발전기에서 자유 그룹이 쉽게 설명된다. 대조적으로, 두 개 이상의 발전기에 있는 자유 헤잉 알헤브라의 구조에 대해서는 거의 또는 아무것도 알려져 있지 않다.^[1] 두 개의 다른 문자열이 동일한 동등성 등급에 속하는지 여부를 결정하는 문제를 단어 문제라고 한다.

예를 들어, 자유 객체는 구문으로부터의 구조처럼 보인다. 구문의 주요 용도는 설명되고 자유 객체로 특징지어질 수 있다고 말함으로써 어느 정도 그 구문을 역전시킬 수 있다. 이는 명백히 무거운 '구문'을 설명 가능하게 한다(그리고 더 기억에 남는다).^{[clarification needed]}

자유유니버설 알헤브라스

이 구간은 확장이 필요하다. 추가하면 도움이 된다. (2008년 6월)

Let ${\displaystyle S}$ be any set, and let ${\displaystyle \mathbf {A} }$ be an algebraic structure of type ${\displaystyle \rho }$ generated by ${\displaystyle S}$. Let the underlying set of this algebraic structure ${\displaystyle \mathbf {A} }$, sometimes called its universe, be ${\displaystyle$$A}$, 그리고 $let{\displaystyle }$: S${\displaystyle }$→ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \psi$:$S\to$ A$}$은(는) 함수가 된다$$. We say that ${\displaystyle (A,\psi )}$ (or informally just ${\displaystyle \mathbf {A} }$) is a free algebra (of type ${\displaystyle \rho }$) on the set ${\displaystyle S}$ of free generators if, for every algebra ${\displaystyle \mathbf {B} }$ of type ${\displaystyle \rho }$ and every 함수 $\tau {\displaystyle }$: ${\displaystyle S}$→ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \tau$:$S{\displaystyle \mathbf{}}$$\$$to$ B$\},$ $여기$서 B {\displaystyle $B$$}$은(는) B ${\$displaystyle$\mathbf {$B}의 우주로$,$ 고유한 동형상 $ism{\displaystyle }$: ${\displaystyle A}$→ B ${\displaystyle \sigma$:${\displaystyle \backslash }$ $to{\displaystyle }$ } =${\displaystyle \tau }$. ${\displaystyle \sigma \circus \psi =\tau .}$과 같은 $A\$to $B}$

프리 펑터

자유 객체에 대한 가장 일반적인 설정은 범주 이론에 있는데, 여기서 하나는 망각적인 자유 객체에 대한 왼쪽 부호인 자유 객체를 정의한다.

대수적 구조의 범주 C를 고려하라; 그 물체는 어떤 법칙을 준수하면서 집합+작용으로 생각할 수 있다. 이 범주에는 ${\displaystyle Functor\mathbf{}}$ $U{\displaystyle }$: C${\displaystyle }$→ S ${\displaystyle \mathbf{e}}$ ${\displaystyle \mathbf{t}}$ ${\$ U$:\mathbf {C} \to$\mathbf ${Set}}$\to \$mathbf$ {Set}}이(가) 있으며, 이는 C의 개체와 기능을 집합 범주인 Set에 매핑하는 망각 Functor가 있다. 건망증이 심한 감독은 매우 간단하다. 그것은 단지 모든 작전을 무시하는 것이다.

자유 펑터 F는 U에 대한 왼쪽 맞춤이다. 즉, $F{\displaystyle }$: S ${\displaystyle e\mathbf{}}$ ${\displaystyle \mathbf{t}}$→ ${\displaystyle C\mathbf{}}$ ${\$ F$:\mathbf {Set} \to \mathbf {$C$} \$to \mathbf {C}}은 Set에서 C 범주의 해당 자유 객체 F(X)로 설정한다. 세트 X는 자유 객체 F(X)의 "제너레이터"의 집합으로 생각할 수 있다.

자유형 functor가 좌편향되려면 Set-morphism${\displaystyle }$ism: ${\displaystyle X}$→ U${\displaystyle }$(${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (}$ X $displaystyle \eta :X\to U(F(F)\,\},\}.$ 보다 분명히 F는 C에서 이형성까지이며, 다음과 같은 보편적 속성으로 특징지어진다$.$

A가 C에서 대수학이고, g : X → U(A)가 함수(세트 범주의 형태론)일 때마다, U(h) ∘ η = g가 되는 독특한 C-모르프 h : F(X) → A가 있다.

구체적으로, 이것은 그 세트의 자유로운 물체로 세트를 보낸다; 그것은 "근거의 반론"이다. 어용 표기법, $X{\displaystyle }$→ ${\displaystyle F}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle$X\$to$ F$(X)}$ $$(X는 집합이기 때문에 이러한 어용 표기법, F(X)는 대수법, 정확히는 $X{\displaystyle }$→ ${\displaystyle U}$($)} {\displaystyle$ X$\to$ U $(F)}).$

자연 변환${\displaystyle }transformation{\displaystyle }$ : ${\displaystyle {\mathrm{ID}}_{}}$ S ${\displaystyle {\mathbf{e}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{t}}_{}}$→ ${\displaystyle \mathrm{UF}}$ ${\displaystyle \eta :\operatorname {id}$ $\_{\displaystyle }$${\mathbf {Set} }\$$to$ ${\displaystyle \mathrm{UF}}$$}$과$($${\displaystyle 와}$) ${\displaystyle {함께\mathbf{}}_{}}$ 유닛이라고 부른다$$$.$$FU\to \operatorname {id} _{\mathbf{C$ T-algebra를 구성하면 모나드가 생성될 수 있다.

코프리 펑터는 건망증이 심한 펑터에 알맞은 것이다.

존재

적용되는 일반적인 존재의 이론이 있다. 가장 기본적인 것은 다음과 같은 것을 보장한다.

C가 다양할 때마다, 모든 X 세트에 대해 C에는 자유 물체 F(X)가 있다.

여기서, 다양성은 미세한 대수학 범주의 동의어로서, 따라서 관계 집합이 미세하고, 집합보다 모나치적이기 때문에 대수학임을 암시한다.

일반사례

다른 종류의 건망증은 또한 자유로운 물체와 같은 물체를 생기게 하는데, 그 물체들은 반드시 셋팅이 아니라 건망증이 있는 방범에게만 맡겨진다는 것이다.

예를 들어 벡터 공간의 텐서 대수구조는 대수구조를 무시하는 연관성 있는 알헤브라의 좌뇌 부호다. 따라서 종종 자유 대수라고도 불린다. 마찬가지로 대칭 대수학 및 외부 대수학도 벡터 공간에 자유 대칭 및 반대칭 알헤브라가 있다.

사용 가능한 개체 목록

특정 종류의 자유 객체는 다음을 포함한다.

• 자유 대수학
  • 자유 연상 대수학
  • 자유 정류 대수학
• 자유 범주
  • 자유 단면체 범주
• 자유 그룹
  • 자유 아벨 집단
  • 자유 부분 교환군
• 자유 클레인 대수학
• 자유 격자
  • 자유 부울 대수
  • 자유 유통 격자
  • 자유 헤이팅 대수학
  • 자유 모듈 격자
• 자유 리 대수
• 자유 마그마
• 자유 모듈, 특히 벡터 공간
• 자유 모노이드
  • 자유 정류 단면체
  • 자유 부분복제 단면체
• 프리 링
• 자유 세미그룹
• 자유 기수
  • 자유 교환식.
• 자유 이론
• 대수학 용어
• 별개의 공간

참고 항목

• 세트 생성 중

메모들