단조 비교 정역학

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단조 비교 통계학은 외생 매개변수에 변화가 있을 때 내생 변수가 단조 변화를 겪는 조건(증가 또는 감소)에 초점을 맞춘 비교 통계학의 하위 분야이다.전통적으로 경제학에서의 비교 결과는 최적 솔루션의 내부성과 고유성뿐만 아니라 목적 함수의 오목함과 미분성을 요구하는 접근법인 암묵적 함수 정리를 사용하여 얻어진다.단조 비교 통계학의 방법에서는 일반적으로 이러한 가정이 배제된다.단조 비교 통계학을 뒷받침하는 주요 특성에 초점을 맞춥니다. 단조 비교 통계학은 내생 변수와 외생 매개 변수 간의 보완성의 한 형태입니다.대략적으로 말하면, 최대화 문제는 외인성 파라미터의 값이 높을수록 내인성 변수의 한계 복귀가 증가하면 상호보완성을 나타낸다.이를 통해 최적화 문제에 대한 솔루션 세트가 외인성 파라미터와 관련하여 증가하고 있음을 보증합니다.

기본 결과

동기

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}${\$style$ X$\subseteq \mathbb {R}$$let$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle \cdot }$ ;${\displaystyle s}$) : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$\$display f$( \ $cdot ;$$s$ ) :X$\rightarrow \mathbb${$R}$는$$s${\displaystyle s}$S \$display style$s \$in$ S$\}$에 의해 파라미터화된 함수 $패밀리$입니다$.{\displaystyle \mathrm{여기}}$서${\displaystyle }$(S$, s$S$)$는 부분적으로 순서가 지정된 세트(또는 포셋)입니다.${\displaystyle \mathrm{대응}}$ arg${\displaystyle \underset{}{max}}$ ${\displaystyle \underset{}{max}}$ x${\displaystyle \underset{}{x}}$ X${\displaystyle \underset{}{}}$ (${\displaystyle x}$ ;${\displaystyle s}$ $){$ $displaystyle \arg \max \limits$ _ ${x\in$ X$}f(x;s)}$는 s ${\displaystyle$ s$\}$와 $어떻게{\displaystyle }$ 다릅니까?

표준 비교 통계 접근법: $집합{\displaystyle }$ X$({$$displaystyle$$$X})가$$ 콤팩트 $간격$이고${\displaystyle }$f$({$displaystyle f$(\cdot;$$s$$))$가$$x({$displaystyle$x$\})$의 연속 미분 가능한 엄밀한 준동원 함수라고 가정합니다. 만약 x$($가 f${\displaystyle (\{}$$barx})$의 고유함수인 $경우{\displaystyle \stackrel{}{}}$. {$displaystyle$ f$(\cdot'$$s$$)\},$ x$s$${\displaystyle )}$ ${\displaystyle$ f$'(s)$ $0임을 나타내는 것$으로 충분합니다.이것에 의해${\displaystyle \stackrel{}{,}}$ x($)${\$displaystyle$ s$> s$$$에는, f$)$0 0$(s$$')$가 $표시$됩니다.$이것$에 의해, 최적치가 오른쪽(x${\displaystyle }$" ( ${\displaystyle {}^{}}$" )${\displaystyle x}$"${\displaystyle }$( s $)\$ $displaystyle {x}$ ( s )\$geq {x}$( s $))$로 이행하는 것이 $보증$됩니다.이 접근법에서는 f${\displaystyle }$( ${\displaystyle ;}$ ;${\displaystyle s}$) {$displaystyle$ f$(\cdot ; s$의 준동협성을 비롯한 다양한 가정을 합니다.

1차원 최적화 문제

고유한 최적 솔루션이 증가하는 것이 무엇을 의미하는지 분명하지만$,$ s\$displaystyle$$$s$\backslash$$arg$ \$max$ _${x\in$ X$}f(x;s)$의 ${\displaystyle \mathrm{대응}}$ arg$max$ ${\displaystyle \underset{}{max}}$ x${\displaystyle \underset{}{x}}$ ${\displaystyle \underset{}{}}$f(x;s$)$가 증가하는 것이 무엇을 의미하는지 명확하지 않습니다.문헌에서 채택한 표준 정의는 다음과 같다.

정의(강력한 설정 순서):^[1]Y$(\displaystyle$ Y$)$ 및$$ $(\$ Y$')$를 R$(\$의 서브셋으로 $합니다{\displaystyle }$.$세트{\displaystyle {}^{}}$ Y${\displaystyle {(\backslash }^{}}$$displaystyle$ Y$')$는 강한 세트 ${\displaystyle {}^{}}$(\$displaystyle$ Y$)$에서$$Y(\$displaystyle$ Y${\displaystyle ){}_{}}$를 $지배$합니다$.$$splaystyle$ Y$'$ 및$$ $x{\displaystyle }${{$display style$$$Y$\},$ Y${\displaystyle {}^{}}${\$display$ $style$ $Y$$}$의 $최대값{\displaystyle {}^{}}$$${${\displaystyle x}$}, x$$$},$ Y {\$display$ style Y'}, min $x$}, $},$ y${\displaystyle }${\display $style$ $Y$$\text{'}\}$의 최대값 ${$x $}$이 ${\displaystyle 있습니다}$.

특히 Y : ${\displaystyle =}$ { ${\displaystyle x}$ $}$ { $displaystyle$ Y : = \ { x \ $}$ 및$$ $Y{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ : $=$ { $x${ $displaystyle$ Y } { $displaystyle$$$Y }의$$ $경우{\displaystyle }$ $Y{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \ge {}_{}}$ ${\displaystyle S_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$Y \ $geq$_ { SSO $}$Y는 x style의 $경우$에만 표시됩니다${\displaystyle .}$때마다 그것 ′ 을∈ Xf({\displaystyle \arg \max_{Xx\in}(x잖니)}가 주고받은 편지 아그 ⁡ max)만약 아그 Xf∈ 최대 x⁡이 증가하고 있는 것(x;매우 ′)S≥ SO⁡ 최대 arg)∈ Xf(x잖니){\displaystyle \arg \max_{Xx\in}(x;s')\geq _{SSO}\arg \max _ᆱf(x잖니)};Ss{\displaystyle s'&gt다고 한다.;즉{S$}s$

외인성 변수와 내인성 변수 간의 상호보완성의 개념은 단일 교차 차이에 의해 공식적으로 포착된다.

정의(단일 교차 함수):만약 어떤 s′에 Ss{\displaystyle s'\geq_{S}s ≥}우리는 0⇒ϕ(s′)≥(>)0{\displaystyle \phi(>)\ 0\ \Rightarrow)\phi(s')\geq(>)\ 0(s)\geq(s)≥(>)ϕ다 ϕ:S→ R{\displaystyle \phi:S\rightarrow \mathbb{R}}. 그리고 ϕ{\displaystyle \phi}는 단일 횡단 기능자.}.

정의(단일 교차 차이):^[2]함수${\displaystyle \mathrm{패밀리}}${${\displaystyle }$f ( ${\displaystyle ;}$ ;${\displaystyle s}$ )${\displaystyle s_{}}$S \ $displaystyle$\ { $f$( \ $cdot ;$$s$ ) \$}$$\_{\displaystyle }$${s\in$S}},${\displaystyle f}$ :${\displaystyle X}$ ×${\displaystyle }$S →$R$ {\$displaystyle f:X\times S\to \mathbb$ {R$\}\},$ 모든${\displaystyle {}^{}}$x${\displaystyle {}^{}}$$x$ ${\displaystyle x}$ {\$displaystyle x'\geq$x}, 함수 ${\displaystyle \delta }$( $s{\displaystyle \mathrm{}}$)${\displaystyle f}$-${\displaystyle {}^{}}$)

증가함수는 1개의 교차함수이며, (의 정의에서는 x$$ {\$displaystyle$ x'$>$x }에 $대해{\displaystyle }$)${\displaystyle }\delta {\displaystyle \mathrm{}}$ (${\displaystyle }$${\displaystyle s}$$)$ \ $displaystyle$$$\ $delta ( s$ )가$$ 증가하고 있는 경우에는 {${\displaystyle }$f (${\displaystyle }$s${\displaystyle }$)${\displaystyle {}_{\}}}$ ${\displaystyle S_{}}$( \ $displaystyle$\ f ' \ $cdot )$라고 합니다$.{\displaystyle }$$}_$${s\in$S}}: 증가하는 차이에 따릅니다$.$증가하는 차이와 달리 단일 교차 차이는 순서형 속성입니다. 즉$,{\displaystyle }$ {${\displaystyle f}$ ( ${\displaystyle ;}$ ;${\displaystyle s}$ )${\displaystyle {}_{ss}}$S \ \ $displaystyle$\ { $f$( \ $cdot ;$$s$ ) \$}_{s\in$S$$}: ${\displaystyle \mathrm{단일}}$ 교차 차이에 따라${\displaystyle }${${\displaystyle g}$ (${\displaystyle ;}$ ; s${\displaystyle {}_{}}$)$S$ ( \ displaystyle \ ${g$ ( \$cdot$ ;$$s )\$}_{s\in$S${\displaystyle \}\}.}$ $여기$서${\displaystyle }$g (${\displaystyle x}$ ;${\displaystyle }$s ) ${\displaystyle =H}$(${\displaystyle }$x${\displaystyle }$; s )${\displaystyle }$= $s$ ( \ $displaystyle$$$g ( $x$; $s$ ) ${\displaystyle =}$$H$ ( $f ( x$ ;$$$s$ )$$${\displaystyle \}}$ $。$$xplaystyle$$H{\displaystyle }$$$( \$cdot$ ;$$s$$ ) $。$

정리 1:^[3] ${\displaystyle \mathrm{정의}{}_{}}$F Y (${\displaystyle }$s ) : ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \arg \underset{}{max}}$ ${\displaystyle \underset{}{최대}}$ x ${\displaystyle \underset{}{y}}$Y${\displaystyle \underset{}{}}$ (${\displaystyle x}$ ;${\displaystyle s}$ )$${ $displaystyle F_{Y}$ ($s):$$=\cisco \max$_${x\in$ Y$}f($x$;$s)}.${\displaystyle \mathrm{패밀리}}{\displaystyle }${${\displaystyle }$f ( ${\displaystyle ;}$ ;${\displaystyle s}$ )${\displaystyle {}_s}$ S$$ \ $displaystyle$ \ ${$f ( \ $cdot ;s )$ \$}_{s$\$in$$$S$$}}: $모든{\displaystyle Y}$에$대해$${\displaystyle {}_{}{}^{}}$$$Y${\displaystyle {}^{}}$( $s$${\displaystyle {}_{}}$ )≥ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle O_{}F}$Y ($s$ ){ $display$F _ { Y ($s$ )\ $geq$_ {$SOF$}가 $있는{\displaystyle {}_{}}$ 경우에만 단일 교차 차이에 따릅니다$.$

${\displaystyle 증명}$: s${\displaystyle {}^{}{we}_{}}$ $、$ \ $displaystyle s$ ' \ $geq$_ { $S$}${\displaystyle {}_{}}$ we we we ${\displaystyle {we}_{}}$ f${\displaystyle {}_{}Y}$($s$)$및{\displaystyle {}^{}}$ x${\displaystyle {we}_{}}$F Y ($$s${\displaystyle }$){ $displaystyle$ x$'\in$ F_${Y}$ ${\displaystyle (<img\; alt="x\text{'}\backslash in\; F\_\{\{Y\}\}(s\text{'})"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/1f5f71be264bfd495003070a2b0e6f003c0432b4"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:11.42ex;\; height:3.009ex;"\; papago-attr-id="163">}$ s )라고 $가정$합니다.{\displaystyle \min\{x',x\}\in F_ᆱ(s)}. 우리는 곳에만 x을 고려해 보라;)′{\displaystyle x>, x의}. 낙하 ∈ FY(s){\displaystylex\in F_{Y}(s)}, 우리는 보장하고 있는 ∈ FYx f(x잖니)≥ f()′니다.){\displaystyle f(x잖니)\geq f(x'이다;매우)},를 얻′{(s′)\displaystyle x\가 필요하다.에서F_ᆶ(s')}. 게다가, f(x잖니))f()′니다.){\displaystyle f(x잖니)=f(x'이다;매우)}도록)′ ∈ FY(s){\displaystyle x'\in F_{Y}(s)}. 아니면, f(x잖니)>(싱글을 건너고 차이에 의해)그 f(x;매우 ′)을 암시하듯이 이름()′니다.){\displaystyle f(x잖니)>, f(x'이다;매우)};f()′니다 ′). {\displa$ystyle$ f$(x;s')> f(x';s$ s의$x{\displaystyle {}^{}}$$({$$displaystyle$ s$\text{'})$의 최적성과 모순됩니다.단일 교차차이의 필요성을 표시하려면 Y$=$ {${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle x\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \}}${ $displaystyle$ Y:=\{$x$, \$bar$ {$x$ $displaystyle$로 $설정$합니다.Ss{\displaystyle s'\geq_{S}s ≥ 어떤 s′ 그리고 FY(s′)≥ SOFY(s){\displaystyle F_{Y}(s')\geq _ᆶF_ᆷ(s)}}을 보장한다면 f()¯니다.)≥(>)f(x잖니){\displaystyle f({\bar{x}}잖니)\geq(>)\ f(x잖니)}면,()¯니다 ′)≥(>)f(x;매우 ′)f. {\disp$laystyle$ f$({\bar {x};s')\geq(>)\f(x;s$ Q.E.D.

응용 프로그램(독점 출력 및 비용 변경):독점자는 이익${\displaystyle }$δ($x{\displaystyle \mathrm{}}$ ;${\displaystyle }$-${\displaystyle c}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle x\mathrm{Pi}(}$x ;-c) = ${\displaystyle c}$x {\${\displaystyle \mathrm{display}}$ $style$$\Pi (x;-c$) =$x$Pi (x) = x P(x)-cx$\}$ ($x{\displaystyle }$;-c) ${\displaystyle {}_{}}$ xP(x)-$cx$} (x + P${\displaystyle {}_{}}$를 최대화하기 위해 x${\displaystyle }$${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ X$$R$$+ subseteq \$subseteq$ {$R}$ 를 $선택$한다.$yle$ c$\geq$ 0$}$은 상수 한계 비용입니다.{${\displaystyle \mathrm{\pi }}$ ( ${\displaystyle ,}$ ,${\displaystyle }$-${\displaystyle c_{}}$ )${\displaystyle {\}}_{}}$ ($$-${\displaystyle {}_{}}$c )$style$ R - \$displaystyle$\ { \$Pi$ ( \$cdot$ , - c ) \ } _ { ( - c ) \$in$\ $mathbb$ { R } _ { - { -$$} $\}\}{\displaystyle }$는 단일 교차 차이에 따릅니다.{\displaystyle c'}가(− c′)≥(− c){\displaystyle(-c의)\geq(-c)}, 우리는)를 얻′P()′)− c′)′ 실제로′≥){\displaystyle x'\geq)}과 버릴 것이라고 생각되는 관세 감축′P어떤 x()′)− c)′어떤 c에 ≥(>))P())− c){\displaystyle x'P(x')-cx'\geq(>)\ xP())-cx},′. ≥( ) P () - cx \ \ $displaystyle$x '$P$ ( $x$) - $c$ ' \$geq$ (${\displaystyle }$> ) \ $x$P ( $x$) -$c$ ' $-$ $c$)와같이$$${\displaystyle }$출력의 한계비용이 증가함에 따라 이익 최대화 출력이 감소합니다

간격 우위 순서

단일 교차 차이는 모수에 대해 최적의 솔루션이 증가하기 위해 필요한 조건이 아닙니다.실제로 이 조건이 필요한 ${\displaystyle 것}$은 ${\displaystyle \underset{}{arg}\underset{}{x}}$ max x${\displaystyle \underset{}{y}}$ ${\displaystyle \underset{}{}f}$ (${\displaystyle }$x ;${\displaystyle s}$) \ $displaystyle$ \$arg$\ $max$ _ ${ x$ \ $in$ Y$\}$$f$$$ ($x$ ;$s$$$) ${\displaystyle \mathrm{s<img\; alt="\backslash arg\; \backslash max\; \_\{\{x\backslash in\; Y\}\}f(x;s)"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/2e026ff5eac1395cef44171e015630ca63dcf8b1"\; style="vertical-align:\; -2.171ex;\; width:14.879ex;\; height:4.176ex;"\; papago-attr-id="208">}}$ Y$are{\displaystyle }$ in in y in in$in{\displaystyle }$ in in in in in in in in in in in in in in in in $inetsetsetsetsetsetsetsetsets$ in inetsetsetsets in in inetsetsets in in in in inetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsets inetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsetsets in in in inets조건이 필요 없게 되었습니다.

정의(간격):^[4]$X{\displaystyle display\mathbb{}}$R { $display$ $style$$$X \$subseteq${$$R$$} ${\displaystyle 。}X{\displaystyle }$$display$ ${\displaystyle X}$ \ $subseteq$$X$displaydisplaydisplaydisplaydisplay$$$$display X$displaydisplaydisplaydisplaydisplay$ $Ystyle$에 x ${\$ {$$* * } $및{\displaystyle {}^{}}$ x$$display display$$display $displaydisplay$ displaydisplay $display$ display displaydisplay displaydisplay Ystyle에 $있는$ 경우 $X$의 $간격$입니다.${\displaystyle x^{}x{}^{}}$ x x${\displaystyle {}^{}}$x x x x${\displaystyle {}^{}}$x$$x x${*}\leq$ x\$leq x^{*}$도$$Y {\$displaystyle$ Y$\}$에 있습니다.

예를 들어 X $=$ {\$displaystyle$ X=\$mathbb {N$인 $경우{\displaystyle }$${\displaystyle }${${\displaystyle 1}$,$$ 3,$\}({displaystyle \$1$,$ 2,$4$\})은$$ X$({displaystyle$ \1, $2,$4$\backslash \}){\displaystyle }$의 간격이지만 {${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 2}$,$4}({displaystyle \$1, 2,$$4$\backslash \})$은${\displaystyle {}^{}}$를 나타냅니다${\displaystyle {.}^{}}$$x^{*}\leq$x\$leq$ x$^\{**\}\backslash \}.$

정의(간격 우위 순서):^[5]${\displaystyle \mathrm{패밀리}}{\displaystyle }${${\displaystyle }$f ( ${\displaystyle ;}$ ;${\displaystyle s}$ )${\displaystyle {}_s}$ S$$ \ $displaystyle$ \ ${$f ( \ $cdot ;s )$ \어떤 x″하는 경우}_{Ss\in}},)′{\displaystyle x">x'}과가 어떻게 되′≥ Ss{\displaystyle s'\geq_{S}s}, 그러한 모든 x이 f()″니다.)≥ f(x잖니){\displaystyle f(x"잖니)\geq f(x잖니)}, ∈[)′,)″]{\displaystyle x\in[x',x"]}간격이 지배 질서(IDO)를 준수하다, 우리는 f()″다. 잖니) ( ( ;s )f ( x】; s) ( ) f (、 )\ $displaystyle f$ ($x$ ' ; s )\ geq ( > $)\$f ($x$ ;$s$)\$rightarrow$\ f ($x$ ' ;$s$ )\$>$ \ f ( ) \ f (> )。

단일 교차 차이와 마찬가지로 IDO(Interval Adominance Order)는 순서형 속성입니다.IDO 패밀리의 ${\displaystyle 예}$로는 {f ${\displaystyle (}$ $\{{\displaystyle }$ ;${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {}_{}}$s${\displaystyle {}_{};}$ \ $displaystyle$\ {$f$( \ $cdot ;$$s$ )\$}_{s\in$S$$}: ${\displaystyle \mathrm{여기}}$서${\displaystyle }$arg$$ max x${\displaystyle \underset{}{}x\underset{}{}}$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$,$$s ){$displaystyle$\$arg \max _{x\in X}f(x,$s$)}$는 s $단위$로 $증가$합니다.이러한 패밀리는 단일 교차차이에 따를 필요가 없습니다$.$

$함수{\displaystyle }$f :${\displaystyle X}$ × ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ f$:X\times$ S$\to \mathbb {R}}$은 arg ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \underset{}{max}}$ x${\displaystyle \underset{}{{}^{}}}$ [ x${\displaystyle \underset{}{{}^{}}}$、 ${\displaystyle \underset{}{{}^{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{{}^{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{{]}^{}}}$(${\displaystyle x}$ ;${\displaystyle s}$) \ $displaystyle \ max$ _ ${x\in$[ $x^$ {*} , x^{*} } f $( x$} )가 비어 있지 않은 ${\displaystyle \mathrm{경우}}$ 정규입니다.,$x^{*}}$은$({\displaystyle }$는) 간격 {${\displaystyle x{}^{}x}$ X ${\displaystyle {\ast }^{}}$ x${\displaystyle {}^{}}$∗ x ${\displaystyle \ast }$ x$}$ { $displaystyle \ {x\$in X$\x^{*}\leq$x$^\{*\}\backslash \}$를 나타냅니다.

정리 2:^[6] ${\displaystyle F_{}Y}$ (${\displaystyle }$s ) : ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \arg \underset{}{\mu }}$ ${\displaystyle \underset{}{max}}$ x${\displaystyle \underset{}{\mu }}$ Y${\displaystyle \underset{}{}}$ (${\displaystyle x}$ ;${\displaystyle s}$ )$${ $displaystyle F_{Y}$ ($s):$$=\display$ \$max _{x\in Y}f(x;$s$)\}$${\displaystyle }$. ${\displaystyle {정규}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{함수}}$ 패밀리 ${\displaystyle \{f(}$ ${\displaystyle ;}$; s )${\displaystyle {}_{}}$∈ $S(\$displaystyle$\{f(\cdot ;$$s$)\$}_$${s\in$S}}: $모든{\displaystyle }$ 간격${\displaystyle }$Y$$$x$X \$display$ style$$ Y \$subseteq$X .$$all all all all all ${\displaystyle F}$ _ { $display$style F _ { $Y$$$$}$ ( s$$ )가 $증가$하는 경우에만 $간격{\displaystyle {}_{}}$ 우위 순서에 따릅니다$.$

증명:, s′≥ Ss{\displaystyle s'\geq_{S}s}, x추정하는′을 IDO의 충분성을 보여 주기 위해 ∈ FY(s){\displaystyle x'\in F_{Y}(s)}, 탭 ″ ∈ FY(s′){\displaystyle x"\in F_{Y}(s')}. 우리는 곳에만 x′하는 경우 생각해 볼 필요가^″{\displaystyle x'>, x"}그런데.defin$ition{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle ;}$ ;${\displaystyle s}$ ${\displaystyle )\ge f}$( ${\displaystyle x}$;$$s ){ $displaystyle$f ( $x ; s$ )\$geq$f ($x$ ; s$),$ ${\displaystyle {}^{}}$ x${\displaystyle [}$ [ ${\displaystyle {}^{}]\subset }$\ $displaystyle$x \$in [ x$ ' , x ' , x ' ) \ $subset$Y $。$게다가 IDO에 따라${\displaystyle }f{\displaystyle }$ ( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle )}$가 됩니다${\displaystyle .}$따라서, x′∈ FY(s′){\displaystyle x'\in F_{Y}(s')}이다. 게다가 그것이 f()′니다.))f()″니다.){\displaystyle f(x'이다;매우)=f(x"잖니)}. 그렇지 않으면 즉, 만약 f>()′니다.)이름()″니다.){\displaystyle f(x'이다;매우)>, f(x"잖니)}, 그때 IDO을 통해 우리는 f()′니다 ′)하다;f(x″ 맞먹어야 한다′.){)는}″ ∈ FY(s′){\displaystyle x"\in F_{Y}(s')x., 이러한 세계관은 간격[)″,)′] 그러한 모든 x∈의 F, f.()′니다.)≥ f(x잖니){\displaystyle f(x'이다;매우)\geq f(x잖니)}경우)″{\displaystyle[x",x의]}는 것이라 생각하 IDO의 필요성을 보여 주기 위해 거스르는 것Displaystyle f(x'이다;s')>, f(x';s')},. ,$]$ {$displaystyle$ x$\in [x',x'}$ 입니다$.$$즉{\displaystyle {}^{}}$, x "${\displaystyle \arg }$ "${\displaystyle \underset{}{max}}$ ${\displaystyle \underset{}{max}}$ x${\displaystyle \underset{}{}}$" [${\displaystyle \underset{}{}}$x " , ${\displaystyle \underset{}{{}^{}}}$"${\displaystyle \underset{}{{}^{}}}$]${\displaystyle \underset{}{}}$(${\displaystyle x}$ ;$$ ) \ $displaystyle x$ " \ $in$ \$arg$ \ $max _$ { x$$\$in$[ x ' , x ' , x ' ) $f$( $x$; s )$$。IDO 위반은 2가지 가능성이 있습니다.하나의 가능성은 f()″니다 ′)>f()′니다 ′){\displaystyle f(x';s')>, f(x'이다;s')}다. 이 경우 f(⋅니다 ′){\displaystyle f(\cdot의 ')}의 규칙성에 의해 ∈[)″,)′]f({\displaystyle \arg \max_{x\in[x",x의]}(x;s')},, 아그 ⁡ max)지만 c.지 않는다 사각형입니다onta$arg{\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle \underset{}{max<img\; alt="x\text{'}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/0ac74959896052e160a5953102e4bc3850fe93b2"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:2.014ex;\; height:2.509ex;"\; papago-attr-id="288">}}$${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle \underset{}{max}}$ x$$${\displaystyle \underset{}{[}}$ [ ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{、}}$ x ${\displaystyle \underset{}{]}}$ $f$ ${\displaystyle (x}$ ;$$s ){ $displaystyle$ $\ max$ _ ${ x$ \ $in [$ x ' , x ' , x ' ] $}f$( x $;$ s$$)이$$${\displaystyle \mathrm{증가}}$하므로,${\displaystyle }$f ( ${\displaystyle {}^{}}$;${\displaystyle {}^{}{}^{}}$)가 발생하는 $경우{\displaystyle }$ $IDO$ 위반 가능성이 있습니다${\displaystyle .}$X″니다.)<>f()′니다.){\displaystyle f(x"잖니)<, f(x'이다;매우)}다. 이런 경우, 집합이 아그 ⁡ max)∈[)″,)′]f({\displaystyle \arg \max_{x\in[x",x의]}(x;s')}-1로 arg ⁡ 최대 가능하지 않다 ″{\displaystyle x"},)∈[)″,)′]f(x잖니){\displaysty을 포함하고 있다.르 \a$rg \max$ $_$${x\in [x'$ ,$x' ]}f(x$;$s$$)$는$$s {$style$ s$}$에서 $증가$합니다(이 $경우$ x$$ ${\displaystyle x}$ x ${\displaystyle \underset{}{max}}$ x$max$ max$x$ [ x ; $f$ ( x ; $s$）$） 。$${\displaystyle \underset{}{}}$, ${\displaystyle \underset{}{{}^{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{]}\underset{}{}}$ (${\displaystyle x}$ ;${\displaystyle s}$ $){$ $displaystyle \ arg$ \ $max$_ { $x$ \ $in$ [ x ' , x ' , x ' ] }f$( x$ ;$s$ )$$} . Q.E.D.

다음 결과는 단일 교차 차이와 IDO에 유용한 충분한 조건을 제공합니다.

$제안{\displaystyle }$ 1:$$X(^[7]$style$ X$)$를 R$(\$$displaystyle$$\mathbb {R})$과 {f$$$(\cdot's)$의 간격이라고 합니다$.$}_{Ss\in}}연속 미분 가능 기능의 가족이 되는.(나는)만약에게나 s′Ss{\displaystyle s'\geq_{S}s ≥}, 많은 α>0{\displaystyle \alpha>0}가 f가 존재하′(x;매우 ′)≥ α f′(x잖니){\displaystyle f'(x;s')\geq \alpha f'(x잖니)}에 대한 모든 x∈ X{\displaystyle Xx\in}., 흙en${\displaystyle }${${\displaystyle f}$ ( ${\displaystyle ;}$ ;${\displaystyle s}$ )${\displaystyle {}_{}}$s$s$ S { $displaystyle$\ { f ( \ $cdot ;$s ) \$}_{s$\$in$$$S$$$}}$ 단일 교차 차이에 준거한다. (ii) $s$′$$ \ $displaystyle$s ' \$geq$_ { S$$$}$ s $any{\displaystyle }$ ${\displaystyle 、}$ ${\displaystyle X\mathbb{}}$→ $R$\ $display$ \ $alpha : X$ \$rightarrow$\ $mathbbb$ { R$}$ ${\displaystyle {}^{}}$ s ${\displaystyle s{}^{}}$s${\displaystyle {}^{}}$s s s s s s $that{\displaystyle {}^{}}$ ; that that ${\displaystyle \prime }$ ′ ′ s ;$(x;s)$ 모든$$ $x{\displaystyle }$ X { $displaystyle$x \ $in$ X$$$},$ 다음으로 { f (${\displaystyle (}$ ;${\displaystyle s_{}}$ )${\displaystyle s_{}}$S ( \ $displaystyle$\ { $f$( \ $cdot ;$$s$ ) \$}_$${s\in$S}}: IDO를 준수합니다$.$

응용 프로그램(최적 정지 문제):^[8]담당자는 매 순간 플러스 또는 마이너스인 $($ ($$t$)$의 이익을 얻을 수 있습니다.에이전트가 시간 $(\style x$에 정지하기로 결정하면 현재 누적 이익의 가치는 다음과 같습니다.

${{displaystyle V(x;-r)=\int _{0}^{x}e^{-rt}\pi(t)dt,}$

> { $displaystyle$ r > $0$}은 할인율입니다.V ${\displaystyle \prime }$ (${\displaystyle x}$; -${\displaystyle r}$ ) ${\displaystyle ={}^{}}$ - ${\displaystyle r^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$( (${\displaystyle x}$) { $displaystyle$ V ' ( x$;-r$ ) =$e^$ { - $rx$}\$pi ($x )$$}이므로 V$${\$displaystyle$ V$}$ 함수는$$ $많은{\displaystyle }$ 전환점을 가지며 할인율에 따라 변동하지 않습니다.우리는 만약 r′>r>0{\displaystyle r'>, r>0} 다음arg ⁡ max)≥ 0V(x;− r)≥ SO⁡ 최대 arg)≥ 0V(x;− r′){\displaystyle \arg \max_{0x\geq}(x;-r)\geq _{SSO}\arg \max _ᆰV(x;-r의)}. r다′은 최적 정지 시간 r{r\displaystyle}로, 말하자면, 감소하고 있다고 주장한다.<>r{\d$isplaystyle$ r' <$r$ 입니다.$다음$으로 V${\displaystyle {(}^{}}$ (${\displaystyle x}$; -${\displaystyle r^{}}$ ) ${\displaystyle ={}^{}}$ - r ${\displaystyle {}^{}}$( (${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle ={}^{}}$ ( ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$)${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ V$$ (${\displaystyle x}$; - ${\displaystyle {}^{}}$ ) ${\displaystyle （}$ x ; r ）$= e^{-rx}\pi (x)$=$e^{(r'-r$')$X'-r'$ ($x;-r$') 입니다.${\displaystyle \mathrm{\alpha <img\; alt="V\text{'}(x;-r)=e^\{\{-rx\}\}\backslash pi\; (x)=e^\{\{(r\text{'}-r)x\}\}V\text{'}(x;-r\text{'})."\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/6df152a6f66b8f1c40cacc5b01792cf63640123b"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:42.367ex;\; height:3.343ex;"\; papago-attr-id="333">}}$ (${\displaystyle }$x )${\displaystyle {=}^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ( r$$ -${\displaystyle r^{}}$)x { { $displaystyle \alpha$ ($x$ )= $e^{$ ($$ '-$r$)} (- ) <$0$ \ display$style$ \ {$V$ ( \$cdot$ ; r ) \ { - r } _ { - $0$ （ $0$ id ID } id that that $。$

다차원 최적화 문제

위의 결과는 다차원 설정으로 확장할 수 있습니다.( ${\displaystyle X}$,${\displaystyle {}_x}$X$$) { $displaystyle$( $X$, \ $geq$_ { $X$} )을$$ 격자로 합니다$.{\displaystyle }$$2개$의$x$({$displaystyle$ x$\},$$$x$({$X$\})$에 대해 x$($ 최소 상한 또는 결합)로 표현하고 x$({displaystyle$ x$'\vee$$$x$\})$로 표현합니다.

정의(강력한 세트 순서):^[9]$({\displaystyle }$X ,${\displaystyle {}_x}$X )$${ $displaystyle$( X , \ $geq$$_$ { $X$) $、$ $Y{\displaystyle }$ ($$\ $displaystyle$$$Y$$) 、 ${\displaystyle {}^{}}$$$$（$ \ $displaystyle$$$Y$$$$$$ ;${\displaystyle }$） $′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′$$$）${\displaystyle {}^{}}$′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′$Y스타일$의$$$x$$************************************************************************************************************************************************$

고차원의 강력한 세트 순서의 예.

• $X{\displaystyle }$ $=$ {\$display$ X=\$mathbb {R}$ $및$ Y : ${\displaystyle =}$ [$a$ ,${\displaystyle b}],$ $Y{\displaystyle {}^{}}$clearly : ${\displaystyle =}$ [${\displaystyle {}^{}}$$$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle ],}$ Y clearly : $=$ [ a , b $]{$ $display style$ Y' : = [ a , b '$$])를$$X { $displaystyle$${\displaystyle \}<img\; alt="X"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.98ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="415">}$로 명확하게 합니다$.{\displaystyle }$$\displaystyle \mathbb {R$$$은 격자입니다.따라서 앞의 $항$에서 설명한 바와 같이 A가$$$a$와${\displaystyle {}^{}b}$가$$b인 $경우$에만 ${\displaystyle Y_{}}$의${\displaystyle {}_S}$ ${\displaystyle {}_{}}$Y의 \$displaystyle$ Y$'\geq_$${$$SSO}$$Y$입니다$.$
• X $=$ $n$ {\$displaystyle X=\mathbb${R$$$} ^{n$}} 및${\displaystyle }$Y {\$displaystyle$Y$\},$ $Y{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \prime }$ $(\displaystyle$ Y$'\subset$ X$)$를 하이퍼 직각으로 $합니다{\displaystyle }$.즉$,$ $X$에는 $벡터$ a(\$displaystyle$ $),$ b$(\displaystyle$ b$),$ $a{\displaystyle }$$(\$ a$\text{'}),$ $(\$$$b$')$가 몇 가지 있습니다${\displaystyle .}Y{\displaystyle }$ : ${\displaystyle =}$ { $x$ ${\displaystyle X}$ x x${\displaystyle b}$ b$$ ( \ $displaystyle$ Y : = \ { x \ $in$X \$}$ ) $x$ b y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y$playstyle$ Y$':=\{x\in$ X$\a'\leq$ x$\leq$ b$\text{'}\backslash \}.$ 여기서 $"\displaystyle\geq"$는 R $(\$의 좌표적 순서입니다. $X, geq)$는 격자임을 주의해 주십시오.$또한{\displaystyle {}^{}}$ Y${\displaystyle {}^{}S}$${\displaystyle {}_O}$ \ $display style$ Y \ $geq$ _ { $SSO$} Y는$$ a$$\$display style$ a ' \ $geq$a )${\displaystyle \mathrm{및<img\; alt="a\text{'}\backslash geq\; a"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/8bc140d10b8c397df10a0069496add1abd43e90c"\; style="vertical-align:\; -0.505ex;\; width:6.243ex;\; height:2.676ex;"\; papago-attr-id="435">}}$b${\displaystyle }$\ $display style$b ' \ $geq$ b$\}$의 경우에 한합니다.
• $({\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$,${\displaystyle {}_x}$X )$${ $displaystyle ($ X , \ $geq$$_$ { X )$$$\}$ $display$ display${\displaystyle }$$、$ R \ $displaystyle$ \$mathbb${ R$$$}$의 서브셋을 지원하는 모든 확률 분포의 ${\displaystyle \mathrm{공간}}$이며, 1차 확률${\displaystyle {}_{}}$우위 ${\displaystyle {순서}_{}}$$display$ X $\$ \ ）$。$${\displaystyle .}$ Y : $=$${\displaystyle \mathrm{display}}$ (${\displaystyle }$[${\displaystyle a}$ , $b$${\displaystyle ]}$ )$${ $displaystyle$ Y : = \ $Delta$( [$a$ , $b$${\displaystyle {]}^{}}$)$$} 、 Y${\displaystyle {}^{}\mathrm{display}}$ : ${\displaystyle =}$ \ $Delta$( [ a , ${\displaystyle {}^{}}$ )$$${\displaystyle \}}$ $display$ [displaydisplay 、 [ $display$ $style$ b$]$를 지원하는 확률 분포 세트를 $나타냅니다{\displaystyle }$.$다음$으로${\displaystyle {}_X}$에$$대한 Y${\displaystyle {}_S}$ ${\displaystyle O_{}}$ \ $display style$$$Y \ $geq$_ { $X$} (${\displaystyle \mathrm{a<img\; alt="Y\text{'}\backslash geq\; \_\{SSO\}Y"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/c2b38f66fef818e30d5aa5138d5fa0d4426bb17f"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:11.063ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="458">}\backslash }$ $display style$ a' \ $geq$ a$$} $및$ $b{\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle {}^{}\backslash }$ $display style$ b ' \ $geq$ b$$$）$ 。

정의(Quasisupermodular 함수):^[10]( ${\displaystyle X}$,${\displaystyle {}_x}$X$$) { $displaystyle$( $X$, \ $geq$_ { $X$} )을$$ 격자로 합니다$.{\displaystyle }$$함수{\displaystyle }$f : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ f$:X\to$ \$mathbb {R}}$는 다음과 같은 경우 QSM(quasisupermodular)입니다.

$\displaystyle f(x)\geq (>)\f(x\wedge x')\\Rightarrow \f(x\vee x')\geq(>)\f(x').}$

$f$${\displaystyle }$( $x$ x ${\displaystyle )}$ ) -${\displaystyle }$f ( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle )}$ )${\displaystyle f}$f (${\displaystyle x}$ ) -${\displaystyle f}$ ( x ) - f ( $x$ x$$ )$$。{ $displaystyle$f$$($x$ ) - $f$ ( x ' ) - f ( x ' ) - f ( x ' )\ $geq$f ( x ' ) （$$x ) - f ( x \ $wedge$ x ' ) $」$의 $경우{\displaystyle }$$,$ f ( x \ $geq$ f ( x )는$$ 슈퍼 $모듈러$ 함수라고 불립니다.} 모든$$ 슈퍼 모듈 함수는 Quasisupermodular입니다$.$단교차이의 경우와 마찬가지로 초모듈성과는 달리 쿼시스페줄모듈성은 서수적 특성이다.$즉{\displaystyle }$, f$\displaystyle f가$quasisupermodular일$$ 경우 $g{\displaystyle :=}$ $†$ ${\displaystyle f}$\$displaystyle$ g$:$=$H\circ$f}, $여기$서 H$(\displaystyle$ H$$$)$는 엄격하게 증가하는 함수입니다$.$

정리 3:[11](X, X≥){\displaystyle(X,\geq_{X})}은 격자,(S, S≥)을 부분적으로 순서 집합{\displaystyle(S,\geq_{S})}자 및 Y{Y\displaystyle}, Y, 우리는 X{X\displaystyle}의 f:X×S→ R{\displaystyle f:X\times S\to \mathbb{R}}{\displaystyle Y'}하위 집합 ′.소굴${\displaystyle \mathrm{ote}}$${\displaystyle {}_{}}$arg${\displaystyle \underset{}{max}}$ ${\displaystyle \underset{}{max}}$ x${\displaystyle \underset{}{y}}$ Y${\displaystyle \underset{}{}}$ (${\displaystyle x}$ ;${\displaystyle s}$ $){$ $displaystyle \arg \max$ _${x\in$ Y$}f$$(x;s)}$ ( ${\displaystyle s}$) :\$displaystyle F_{Y}$ ($s$ 。${\displaystyle {\mathrm{다음}}_{}}$으로 ${\displaystyle {}^{}}$의 $s{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ge }^{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $S{\displaystyle {}^{}}$ ≥ S ${\displaystyle {}_{}}$ S ≥${\displaystyle {}_{}S}$ ≥ S$$、 S ≥ S ≥ S ${\displaystyle {、}^{}}$ \ $display style$$F$$${ Y '${\displaystyle }$${\displaystyle （{}_{}}$ $s$' )$$\ ${\displaystyle {geq}_{}}$$$$_$ { SSO } $F$$$_ { $Y$$$} ($s$ )

증명$:{\displaystyle }$ (${\displaystyle }$display )$${ $displaystyle$$$( \ $left$ arrow$$)$$。$display$、 $S{\displaystyle {}^{}{display}_{}}$ S$$ S $display$ S ' \ $style$$s$ ' \ $geq _$$${ $S$} 、${\displaystyle }$X${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {F{}^{}}_{}}$ Y$$$displaydisplay$$F_{Y}(s)$ $및$ Y${\displaystyle {}_{by}}$ ${\displaystyle {}_{}}$Y {$style$ Y$'\geq$ _{SSO$}Y$에서 f${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$ ;${\displaystyle }$s )${\displaystyle f}$f ( x${\displaystyle \mathrm{by}}$ x${\displaystyle }$; ${\displaystyle s}$) \ $display$f ($x$ ;$s$ ) \ $geq f$ ( x ; s )$$、 modity $。$Quasisperal 。${\displaystyle ){}^{}}$ ( x${\displaystyle }$" ; ${\displaystyle {}^{}}$)$$\ $displaystyle$f ( $x$" \ $vee$x ;$s$ ) \ $geq$f ($x$ " ; ${\displaystyle {}_{}}$ )$。$따라서 $x{\displaystyle {}^{}}$ " $x{\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle }$"${\displaystyle {F{}^{}}_{}}$ Y${\displaystyle {}_{}}$" ( $s )\$ $displaystyle$ $x$ " \ $vee$x " \ $in$ F$$${\displaystyle {}_{}}$ { $Y$" ( " )${\displaystyle <img\; alt="x\text{'}\backslash vee\; x\backslash in\; F\_\{\{Y\text{'}\}\}(s\text{'})"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/3bfa54e51cbbd616ddf37df792a8093f70ba0ea7"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:15.954ex;\; height:3.009ex;"\; papago-attr-id="517">}$。quasisupermodularity, f()′∨ x잖니)>이름()′니다.){\displaystyle f(x'\vee x잖니)>, f(x'이다;매우)},()′∨ x잖니 ′)한다면 싱글을 건너고 차이에 의해까지 그러면 조의(x잖니)>이름()′∧ x잖니){\displaystyle f(x잖니)>, f(x'\wedge x잖니)}. 이름()′니다 ′){\displaystyle f(x'\vee x;s')>, f(x'이다;s')}. 하지만톤그의 꼬여 하루에 500파운드$hat{\displaystyle {}^{}}$ x${\displaystyle {}^{}}$"${\displaystyle {F{}^{}}_{}}$ Y${\displaystyle {}_{}}$" ( $){$ $displaystyle$ x " \ $in F$_ { Y " （ $s$)$$。$따라서$ x${\displaystyle {}^{}}$"${\displaystyle {}_{}}$" \ $wedge$x " \ $in$ F$$ { $Y$} ( $s$ )$。$

${\displaystyle (}$) {$displaystyle$( \ $Rightarrow$ ) $。$$Y$set :$=$ { ${\displaystyle {}^{}}$ 、 ${\displaystyle x}$}${\displaystyle {}^{}}${ $displaystyle$ Y : \ { x '$$, $x$' , x ' \ ${\displaystyle {}^{}}$ x \$$$및$ Y : $=$ {$x$, $x$ ' \ $wed$ 를 $설정$합니다$.$그리고, Y′≥ SOY{\displaystyle Y'\geq_{SSO}Y}와 FY′(s)SOFY(s){\displaystyle F_{Y'}(s)\geq _ᆶF_ᆷ(s)}면 f≥(>)f()′∧ x잖니){\displaystyle f(x잖니)\geq(>)\ f(x'\wedge x잖니)}(x잖니)면,(()′∨ x잖니)≥(>)ff를 보장한다 ≥. )′니다.$)(\displaystyle$ f$(x'\vee$ x$;s)\$$geq$$(>)\f(x';s$ 단일 교차 차이도 유지됨을 $표시$하려면${\displaystyle }$Y :$=${ ${\displaystyle x\stackrel{}{}}$ , x$$} { $displaystyle$Y :$$$=$ \ {$$$x$ , { \ $bar$ { $x$$$$}$ \ }$$} $x{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ）$$${\displaystyle 。}$Ss{\displaystyle s'\geq_{S}s ≥ 어떤 s′ 그리고 FY(s′)≥ SOFY(s){\displaystyle F_{Y}(s')\geq _ᆶF_ᆷ(s)}}을 보장한다면 f()¯니다.)≥(>)f(x잖니){\displaystyle f({\bar{x}}잖니)\geq(>)\ f(x잖니)}면,()¯니다 ′)≥(>)f(x;매우 ′)f. {\disp$laystyle$ f$({\bar {x};s')\geq(>)\f(x;s$ Q.E.D.

응용 프로그램(복수 ^[12]상품 포함 생산):$(\displaystyle$ x$)$는 이익 극대화 회사의 입력 벡터${\displaystyle (}$R ${\displaystyle {}_{}^{}}$ $(\style$ \$mathbb {R} _{+}^$$l$$\}$의 서브래티스$$X(\$displaystyle$ X$)$에서 추출)이며${\displaystyle {}_{}^{}}$ p${\displaystyle {}_{}^{}}$+$$ \$displaystyle$ p$\in \mathb {R}$ _${{+}^{l}}})$의 $입력{\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$ 벡터 값이다.ue $함수$는 입력 $벡터$$$x를 수익에 매핑합니다($R{\displaystyle \mathbb{}}$ $\$}$$$）$ 。이 회사의 이익은${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle x}$(${\displaystyle x}$ ; p )${\displaystyle =V}$( x ) - ${\$ ${\displaystyle x}$( x ; p )$= V$( x ) - p \ $cdot$x$$。$x{\displaystyle {}^{}}$ $′$ \ $display$ $style$x '$,$ 、 x \ $display$ style x \ $in$X$$$\}$$$$x{\displaystyle }$ 、 x 、 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\in }^{}}$$$≥ ${\displaystyle \ge }$ \ $display style$ x \ $display$ x$$。$\displaystyle(-p$ 따라서${\displaystyle }${${\displaystyle \mathrm{\pi }}$ (${\displaystyle p}$ ;${\displaystyle }$p )${\displaystyle {}_{}}$}${\displaystyle {p{}_{}^{}}_{}}$R${\displaystyle {{}_{}^{}}_{}}$+ +$$ \ $displaystyle$ \ { \ $Pi$( \ $cdot ;$$p$ ) \$}_{p\in$ \$mathbb$ {$R}_{+}^{$l}}은$($는) 차이가 증가하므로 단일 교차 차이에 따릅니다.게다가 V$(\displaystyle$ V$)$가 슈퍼 모듈러인 $경우{\displaystyle }$${\displaystyle ,}$ $displaystyle \Pi(\cdot;p$도 슈퍼 모듈러입니다.${\displaystyle \mathrm{따라서}}$ 정리에 따라 arg${\displaystyle \underset{}{max}}$ ${\displaystyle \underset{}{max}}$ x${\displaystyle \underset{}{}\mathrm{}}$ X ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x}$ ;${\displaystyle p}$ )${\displaystyle {}_s}$ S ${\displaystyle O}$ arg${\displaystyle \underset{}{max}}$ ${\displaystyle \underset{}{max}}$ x ${\displaystyle \underset{}{}\mathrm{}}$ X ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x}$ ; ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle )}$ $){$ $display$style \ $arg$\ $max$ _ ${ x$ \ $in$ X } \$Pi$ ($x$ ;$p$ ) \ > \ $geQ$（ \ ） ${\displaystyle {\mathrm{SO}}_{}}$ $。$

제한적인 최적화 문제

일부 중요한 경제 적용에서, 제약 집합의 관련 변화는 강한 집합 순서에 대한 증가로서 쉽게 이해될 수 없으며, 따라서 정리 3을 쉽게 적용할 수 없다.예를 들어, 예산 제약에 따라 효용 $함수{\displaystyle u}$ : ${\displaystyle X\mathbb{}}$ $→$ R {\$displaystyle$u:$X\to$ \$mathbb {R}$을$($를) 최대화하는 소비자를 생각해 보자.가격으로 R에서 p{p\displaystyle}++n{\displaystyle \mathbb{R}_{++}^{n}}과 부를 w>0{\displaystyle w>0}그의 예산 집합은 B형(p, w)){)∈ Xp⋅ x≤ w}{\displaystyle B(p,w)=\{x\in X\)p\cdotx\leq w\}}과 그의 요구가(p, w){\displaystyle(p,w)}로 설정한 defini(것이다.tion)${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (p}$ ,${\displaystyle w}$ ) $=$ ${\displaystyle \arg \underset{}{max}}$ ${\displaystyle \underset{}{max}}$ x${\displaystyle \underset{}{b}}$ B${\displaystyle \underset{}{}}$(${\displaystyle \underset{}{p}}$ ,${\displaystyle \underset{}{w}}$ )${\displaystyle \underset{}{}}$ (${\displaystyle x}$ )$$\ $display$ D $( p$ , w )= \ $arg$\ $max$_ {$x$ \ $in$B ($p$ , $w ) u$ ($x$ )$$${\displaystyle 。}$소비자 수요의 기본 속성은 (수요가 고유한 경우) 각 재화의 수요가 증가하고 있음을 의미합니다.정리 3은 정규성 조건을 얻기 위해 쉽게 적용할 수 없습니다. 왜냐하면 $B{\displaystyle }$(${\displaystyle }$p , ${\displaystyle {}^{}}$)$display$${\displaystyle {}_S}$ ${\displaystyle O_{}}$${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle }$p ,${\displaystyle w}$ $)\display B ( p$, $w$)\$style$$$S$$ ( $when$ \ $display style$ w ' > $w$）$$。이 경우 다음 결과가 유지됩니다.

정리 4:^[13]${\displaystyle {}_{}^{}}$u : ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$+ + ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ {\$displaystyle$ u$:\mathbb {R} _{+}^{n}\rightarrow \mathbb {R}}$이 초모듈형이고 오목형이라고 $가정$합니다.그리고 그 요구 서류는 다음과 같은 의미에서:″를&w′{\displaystyle w">w'},)″ ∈ D(p, w″){\displaystyle x"\in D(p,w")}과 관세 감축′∈ D(p, w′){\displaystyle x'\in D(p,w의)}w다고 가정해 보자;다음은 z″ ∈ D(p, w″){\displaystyle z"\in D(p,w")}와 z′ ∈가 보통이다. D(p${\displaystyle ,}$ ${\$ )({$displaystyle$ z$'\in$ D$(p,w')})$는 $z{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$x ${\displaystyle ,}$ x " \ $displaystyle$ z " \ $geq$ x$$" } 및$$ x$$ z " \ $displaystyle$ x " \ $geq$z " $\}$ 。

u$\displaystyle$만의 초모듈성으로 $인해{\displaystyle }$x${\displaystyle \backslash }$$displaystyle$ x$}$ $및$ y\$displaystyle$y${\displaystyle \},<img\; alt="y"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:1.155ex;\; height:2.009ex;"\; papago-attr-id="621">u}$ (${\displaystyle x\mathrm{note}}$ y ${\displaystyle ),}$u (${\displaystyle x}$ ) -${\displaystyle u}$( ${\displaystyle x\mathrm{note}}$ y $)\displaystyle u(y)-u(x\ve$의 4가지 포인트에 대해 보증됩니다.$displaystyle$ x$\$$displaystyle$ x$\vee$y는$$${\displaystyle \mathrm{유클리드}}$ 공간에서 직사각형을 형성합니다(x${\displaystyle \mathrm{sense}y}$ - x$=$ - $y$ y - x \ $display style$ y - x$= y$ - x \ $vee$ y$）$$$${\displaystyle 、}$ $x{\displaystyle }$ - ${\displaystyle x}$${\$ ${\displaystyle y}$ - \ $display style$ x -$$$x$ \ $ve y$）$$。$\vee$ y$}$는 직교입니다).한편 초모듈성과 오목성을 함께 사용하면${\displaystyle }$u(${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$y - ${\displaystyle v}$v${\displaystyle }$) -${\displaystyle u}$(${\displaystyle y}$ )${\displaystyle }$-${\displaystyle u}$(${\displaystyle x}$ ) -${\displaystyle }$u(${\displaystyle xy}$y + ${\displaystyle v}$v ) .${\displaystyle }$($displaystyle$u($x\vee y-\lambda$ v) - $u(y)\geq$u($x\wed$y+$da$ b$)$가 $보증$됩니다.${\displaystyle \mathrm{\lambda <img\; alt="u(x\backslash vee\; y-\backslash lambda\; v)-u(y)\backslash geq\; u(x)-u(x\backslash wedge\; y+\backslash lambda\; v)."\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/3f13e782e8bcd34cf04527707481e168209d0793"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:45.249ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="628">}}$[${\displaystyle 0}$, $1$]{$$${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ \$displayda$\$in$[ 0 ,$1$] $。$$여기$서 ${\displaystyle v=x\vee }$ ${\displaystyle y}$- ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \lambda }$ x { $displaystyle v$= y - x \ $ve$y - x$$} 。이 경우, 결정적으로 $4개의$x { $displaystyle{\displaystyle }$ $x{\displaystyle }$$\},$ y - $display$ style$$x${\displaystyle ,<img\; alt="x"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.33ex;\; height:1.676ex;"\; papago-attr-id="632">}$$y+\lambda$ v$}$는 유클리드 공간에서 역방향 평행사변형을 형성한다.

불확실성 하에서의 단조 비교 통계학

$X{\displaystyle r\mathbb{}}$ R$$\ $display$X \ $subset$\ $mathbb${$R$$$$、{\displaystyle }$ {${\displaystyle f}$ ( ${\displaystyle ;}$ ;${\displaystyle s}$ )${\displaystyle {}_s}$ S$$\$display$ style \ { $f ($\ $cdot$ ; s ) \$}_{s\in$ S$$$}}$는 단일 교차 차이 또는 간격 우위 순서에 따르는 X$${\$displaystyle$ X$$$}$에 $정의$된 실수 함수 패밀리입니다$.$정리 1과 3은$$arg${\displaystyle \underset{}{max}}$ ${\displaystyle \underset{}{max}}$ x${\displaystyle \underset{}{x}}$ X${\displaystyle \underset{}{}}$ (${\displaystyle x}$, ;${\displaystyle s}$){$displaystyle$ $\arg \max$ _${x\in$ X$}f(x,;s)}$가 s {$displaystyle$ s$\}$에서 증가하고 ${\displaystyle \mathrm{있음}}$을 알 수 있습니다.$이것은,$ s {$displaystyle$ s$}$를 세계 상태로 $해석$하는 것으로, 알려진 상태에서는 최적의 액션이 증가하고 있음을 나타냅니다.단, 동작 $(style$ x$)$가 s$(style$ s$)$가 실현되기 $전$에 실행된다고 가정하면 상태가 높아질수록 최적의 동작이 증가해야 합니다.이 개념을 정식으로 캡처하려면 $displaystyle\{\lambda(\cdot;t)}$$$로 ${\displaystyle {\mathrm{설정}}_{}}$합니다$.{\displaystyle }$$}_{t\in$T$$}}는${\displaystyle \mathrm{poset}}$ (${\displaystyle }$T ,${\displaystyle {}_t}$T $)$ {$displaystyle$( T , \ $geq$_ {$T$} )의 t { displaystyle$$t$$ $}$에 의해 $파라미터화$된 밀도 함수의 집합이다. $여기$서 $t${\$displaystyle$ t$$$}$은 1차 확률적 우위 또는 단일한 우도 비율의 관점에서 보다 높은 상태와 관련된다.불확실한 상황에서 선택하는 것으로, 에이전트는 최대화됩니다.

${\displaystyle F(x;t)=\int _{S}f(x;s),\lambda (s;t),ds}$

arg${\displaystyle \underset{}{max}}$ ${\displaystyle \underset{}{max}}$ x${\displaystyle \underset{}{x}}$ ${\displaystyle \underset{}{}}$F (${\displaystyle x}$ ;${\displaystyle t}$) { $displaystyle$$$\ $arg$\$max$_ {$x$ \ $in$ X $} F$ ($x$ ;$$${\displaystyle t}$ ) $\}$가$$t { F ( ${\displaystyle ;}$ ;${\displaystyle }$t${\displaystyle {}_{}}$)로 증가하려면${\displaystyle }$(${\displaystyle {\mathrm{이론}}_{}}$ 1 및 2에 따라) T$$ F${\displaystyle }$( ; ; $displaystyle$\ { F$$） \ F ( t ; t ; t$$$}$가 됩니다.$}_{t\in$T$$}}: 단일 교차 차이 또는 간격 우위 순서에 따릅니다$.$이 섹션의 결과는 이것이 유지되는 조건을 제시합니다.

정리 5: {${\displaystyle f}$ ( ${\displaystyle ;}$ ;${\displaystyle s}$ )$s$S { $displaystyle$ \ ${$f ( \ $cdot ;$s ) \$}$${\displaystyle \_}$${s\in$${\displaystyle }$S}}($S$R $)(\displaystyle (S\subseteq \mathbb${R$})}$은$($는) 차이에 따릅니다.${\$인 경우$}_{t\in$ T$$$}}$은 1차 확률 우위에 대해 ${\displaystyle \mathrm{순서}}$가 매겨지고 {${\displaystyle F}$(${\displaystyle }$;${\displaystyle }$; t${\displaystyle {}_{}}$) } ${\displaystyle {tt}_{}}$ $T${ displaystyle \ {$F(\cdot ;$t)\$}_{t\in$T}}: 증가하는$$ 차이에 따릅니다$.$

증명: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ,}$ 、 $x$ X { $displaystyle x ;$${\displaystyle x}$ \ $in$ X$$}에 $대해{\displaystyle }$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle s}$) : ${\displaystyle =f}$ ( ${\displaystyle {}^{};}$;$$ ) -${\displaystyle f}$($x$ ; s $){ displaystyle$ \$phi$ ( s ) :$=$f ( x ;$s$) -$f$ ( x ;$$s ) $。$${\displaystyle {}^{}}$으로${\displaystyle }$F ( x ${\displaystyle ;}$ ;${\displaystyle t}$) -${\displaystyle F}$ (${\displaystyle x}$ ;${\displaystyle t}$ ) ${\displaystyle =s_{}}$S [ ${\displaystyle f}$ ( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle ;}$ ;${\displaystyle s}$) -${\displaystyle f}$ (${\displaystyle x}$ ;${\displaystyle s}$) ${\displaystyle ]}$ (${\displaystyle s}$ ;${\displaystyle t}$ )${\displaystyle d}$ s ($$\ $displaystyle$F ( $x$; t ) -$F$ ($x$ ; t ) = \$int$_ { $S$} [$f$ ($x$ ;$t$ ) ;$f ( b$ ) ; displaystylam )$displaystyle$$}_{s\in$S}: 증가하는$$ 차이에 $따라{\displaystyle }$ ${\({$$displaystyle$\phi$$$})$는 $증가$하고 있으며, 1차 확률 우위는 ${\displaystyle {}^{}(}$x${\displaystyle {}^{}q}$; t${\displaystyle )}$ - $x$; t$)$ {$displaystyle$$F(x';t$)-$F(x$$;$t)가$$ $증가$하고 있습니다.

다음 정리에서 X는 "단일 교차 차이" 또는 "구간 우위 순서"일 수 있다.

정리 6:^[14] {${\displaystyle f}$ ( ${\displaystyle ;}$ ;${\displaystyle s}$ )$s$S { $displaystyle$ \ ${$f ( \ $cdot ;$s ) \$}_{s\in$S}}($R$의 경우 \$displaystyle S\subseteq$ \$mathbb$ {R$\}$ )는 X에 따릅니다$.$다음으로 ${\displaystyle \mathrm{패밀리}}{\displaystyle }${${\displaystyle }$F ( ${\displaystyle ;}$ ;${\displaystyle t}$ )${\displaystyle {}_{}}$} ${\displaystyle {tt}_{}}$T { \ $displaystyle$\ { $F$( \ $cdot ;$$t$ ) \$}_$${t\in T}:$ { $T$ \ displaystyle \ { \ $lambda$( \$cdot$ ; t ) \ \ }의 경우${\displaystyle }$X에 따릅니다$.$$}_{t\in$ T$$$}}$는 단조우도비 특성에 대해 순서가 매겨진다$.$

다음 결과에서 알 수 있듯이 이 정리의 단조 우도비 조건은 약화될 수 없다.

Proposition 2: $S{\displaystyle }$${\displaystyle :}$${\displaystyle }$$=$ {${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,$$${\displaystyle \dots ,N}$}({ $디스플레이 스타일$ S:=\1$,$ $2,\}$및$$ $LDOTs$에 $정의$된 2개의 확률 질량 함수$({displaystyle \cdot$$;t')$와$cdot;t})$로 하자.${\displaystyle (}$ lihood ; ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \prime }$) \ $displaystyle$\$da$( \ $cdot$; $t$' ) 。단조$$ 우도비 속성에 관한 것입니다.다음으로${\displaystyle }$함수 ${\displaystyle \mathrm{패밀리}}${${\displaystyle }$f ( ${\displaystyle ;}$ ; ${\displaystyle s{}_{ss}}$S { $displaystyle$\ { $f$( \ $cdot ;$$s$ ) }가 있습니다.}_{Ss\in}}, X⊂ R{\displaystyle X\subset \mathbb{R}에}정의되는 것처럼 arg ⁡ max)∈ XF(x, ″)<>,;arg ⁡ max)단일 횡단 차이 ∈ XF(x, ′){\displaystyle \arg \max_{Xx\in}(x,")&lt을 지키;\arg \max _ᆲF(x,')}, F(x는))s∑ S∈ λ(s, t)f(x, s). {\di$splaystyle$ F$(x;t)=\sum$ _${s\in$ S$}\lambda (s,t)f(x,s)}$ (t ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 、}$ ${\displaystyle t{}^{}}$ { $displaystyle$ t=$t', t'}$의 $경우{\displaystyle }$)

응용 프로그램(최적의 포트폴리오 문제):에이전트는 엄격히 증가하는 베르누이 $효용{\displaystyle }$ 함수${\displaystyle {}_{}}$: R + $→$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ {\$displaystyle$u:\$mathbb {$R} _${+}\to \mathbb${R$\}\}.$ (우려성은 가정되지 않으므로 에이전트에게 리스크 애정을 부여합니다.) w < $display style$ w$0$ 은 안전자산 또는 위험자산에 투자할 수 있습니다.두 자산의 가격은 1로 정상화된다.안전 자산은 일정한 $수익률{\displaystyle }$ R${\displaystyle 0}$0 ( \ $displaystyle$R \ $geq$0$$)을 나타내며 위험 $자산{\displaystyle }$s의 수익률은$$ 확률 $분포{\displaystyle }$ ${\displaystyle (}$( s${\displaystyle }$; ${\displaystyle t}$) \ $displaystyle$\$lambda$$( s$ ;$t$ )에 따라 결정됩니다$.$ { $displaystyle$x }는$$ 위험 자산에 대한 에이전트의 투자를 나타냅니다.$스테이트{\displaystyle }$ s의 에이전트$(\displaystyle$ s$)$는 (${\displaystyle w}$ ${\displaystyle -x}$ )${\displaystyle R}$ + ${\displaystyle x}$s \ $displaystyle (w-x) R+xs$입니다$.{\displaystyle }$에이전트는 x$(\displaystyle$ x$)$를 $선택$하여 최대화

${\displaystyle V(x;t):=\int _{S}u((w-x)R+xs)\lambda(s;t),ds}$

$\{{\displaystyle \stackrel{}{}u\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle ^}$ （${\displaystyle s}$ ; ${\displaystyle s_{}}$）s${\displaystyle s_{}}$S { $displaystyle$ \ { \$hat$ { $u}$ （ $cdot ;s$） \$}_{s\in$S}}. ${\displaystyle \mathrm{여기}}$서${\displaystyle u}$ ^${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$; ${\displaystyle s}$) : ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle u}$ ( ${\displaystyle w}$R${\displaystyle }$+ x${\displaystyle }$( s -${\displaystyle R}$) \$display style${ $u }$ ( x ; s ) : $=$u ( $wR +$ x ( s -$$r$$) 、 、 crossing crossing crossing crossing crossing crossing crossing crossing crossing ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\정리 6에 따르면${\displaystyle }${${\displaystyle V}$ ( ${\displaystyle ;}$ ;${\displaystyle t}$ )${\displaystyle t_{}}$T { $displaystyle$\ { $V$( \ $cdot ;$$t$ ) \$}_{t$\${\displaystyle {in}_{}}$ T$}:$ 단일$$ 교차차이에 ${\displaystyle \mathrm{따르므로}}$$$arg$$ max x${\displaystyle \underset{}{}0}$ 0V${\displaystyle }$( $x$;$$t ){$displaystyle$$$\$arg$ \$max _ {x$ \ $geq 0$（ x$$ ; t ${\displaystyle ）}$ $}$ $V{\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$ ; t )${\displaystyle {}_{}}$} $T$ ∈ \$$$displaystyle$ \$lambdaot$; cdaot ;$}_{t\in$ T$$$}}$는 단조우도비 특성에 대해 순서가 매겨진다$.$

단일 교차 특성 집계

함수 증가의 합계도 증가하고 있지만, 단일 교차 특성을 집계에 의해 보존할 필요는 없습니다.단일 교차 함수의 합계가 동일한 속성을 가지려면 함수가 서로 특정 방식으로 관련되어야 한다.

정의(단일음 부호 비율):^[15]$($ ${\displaystyle S}$,${\displaystyle {}_s}$S$$) ( \ $displaystyle$ ( S , \ $geq _$ { S$$} )를$$ 포셋으로 합니다$.{\displaystyle }$${\displaystyle 두}$ 가지 $함수{\displaystyle }$f ,${\displaystyle }$g : ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle f,$$g$:$S{\displaystyle {}^{}}$$\to \mathbb {R}$는 s ${\displaystyle \prime }$ ${\displaystyle s}$\ $displaystyle$ s$'\geq$ s$}$에$$대해 다음을 유지하는 경우 부호화된 { -} 비율의 단조로움을 따릅니다.

• (s \ $displaystyle$f ($s$ )> 0$、$ ( $s$ \ $displaystyle$g ( s )<$0$、

$\displaystyle - {\frac {g(s)} {f(s)}} \geq - {\frac {g(s)'} {f(s')} ;$

• ( \ $displaystyle f$ ( s )< $0$ ( ( s \ $displaystyle g$ ( s )> $0$、

${\displaystyle - {\frac {f(s)}{g(s)'}}\geq - {\frac {f(s')}}.}$

제안 3:$f$와$g를$$$두 개의 단일 교차 함수로 $합니다{\displaystyle }$.$f{\displaystyle }$$\displaystyle$$$f$}$ $및$ g$\displaystyle$g가$$ 부호 비율 단조로움을 따르는 $경우$에만 ${\displaystyle \alpha f}$ +$$ f$+\$$beta$$$g는$$ {-} 음이 아닌 모든 $스칼라{\displaystyle }$α $및$$$β {$displaystyle$$\alpha$$$}에 대한 단일 교차 함수이다.

프루프:f(s)을 가정하자;0{\displaystyle f(s)>0}과 입수(s)<>도록α ∗ f(s)+g(s))0{\displaystyle \alpha ^{*}(s)+g(s)=0}0{\displaystyle g(s)<0}.)− g(s)/f(s){\displaystyle \alpha ^{*}(s)(s)},. α ∗ f(s)+g(s){\displaystyle\와 같이α ∗ 정의합니다.알파 ^{*}f(어떤 s′ ≥ s{\displaystyle s'\geq s}을 위해 그것이α ∗ f(s′)+g(≥ 0{\displaystyle \alpha ^{*}(s')+g(s')\geq 0}일 경우어야 한다 S)+g(s)}는 단일 횡단한 기능이다. 게다가 후 f{\displaystyle f}는 단일 횡단 기능, 그때 f(s′)을 기억에;0{\displaystyle f(s')>0}. B.후방 y상기의 불평등 범위에서는, 우리는 다음과 같이 결론짓는다.

$\displaystyle \alpha ^{*}=-{\frac {g(s)}{f(s)}}}\geq - {\frac {g(s')}}}}.}$

그 반작용을 증명하기 위해 일반성을 잃지 않고 ${\displaystyle \mathrm{\beta }}$ $=$ 1$(\backslash$$displaystyle$ \$displaystyle = 1$)이라고 가정한다.

$\displaystyle \alpha f(s)+g(s)\geq(>)0}$

$f{\displaystyle }$(${\displaystyle s}$ )${\displaystyle 0}$ 0$$\ $displaystyle$f ($s$${\displaystyle }$) \ $geq$ 0${\displaystyle \mathrm{0<img\; alt="f(s)\backslash geq\; 0"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/df5ca66cd696789062d505b7e6563aefb182e4fd"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:8.439ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="800">}}$ \ $displaystyle$ g $( s$ ) \ $geq$ 0$$0 0$0{\displaystyle }$ \ $displaystyle$f ( $s$) \ 、 0 ${\displaystyle \mathrm{0<img\; alt="f(s\text{'})\backslash geq\; 0"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/f9a3b5b970e2a518b11c5f685eb17f5ca8169324"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:9.124ex;\; height:3.009ex;"\; papago-attr-id="802">}}$ g ${\displaystyle \{\backslash }$ 0$$0stylestyle$$ ${\displaystyle 、}$ 0 \ $displaystyle$g ( $s$) 、 0$$、 0 、 displaystyle g ( ${\displaystyle {}^{}}$) 。$따라서{\displaystyle }$ f ( ) + ( ) (( ) \ $displaystyle$\ $alpha f$ ($s$ ) + g$$( $s$) \ $geq$ ( >$0$ 입니다.()< 0 \ $displaystyle$$$g $( s$ ) < >$0$ \ $displaystyle$$$( $s$)>0$$

$\displaystyle \alpha \geq ( > ) - {\frac {g ( s )} { f( s ) } geq - {\frac {g ( s ) } 。}$

f$$$${ $displaystyle$ f}는 단일 교차 이므로 f $s$ $0$ 、 f( $s$) + ( ) 0. \ $displaystyle$\ alpha$f$ ($s$ ) +$g$ ( s ) \ $>$ 0 . }} 0 . 。

이 결과는 다음과 같은 의미에서 무한합계로 일반화될 수 있다.

정리 7:[16](T, T, μ){\displaystyle(T,{\mathcal{T}},\mu)} 유한한 측정 공간과 그런 것 같아 각에 t∈ T{\displaystyle t\in T}의 ∈ S{\displaystyles\in S}, f(s는){\displaystyle f(s는)}은 및 측정이 가능한 한정적 기능이다. 그리고 F(s))∫ Tf(s는)dμ(t){자.\dis$playstyle$ F$(s)=\int$ _${T$$}$$f(s;t)d\$$mu$$(t$$)\}$는 $모든{\displaystyle }$t$displaystyle$t에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$$(s;t$$)$와 f$($쌍인 $경우{\displaystyle }$ 단일 교차 함수입니다$.$이 조건은 T${\displaystyle$ {$T}}$에 모든 싱글톤 $세트$가 포함되어 있고$F$ {\$displaystyle$F}가$$ 유한 $(\displaystyle \mu$에 대해 단일 교차 함수로 필요한 $경우$에도 필요합니다.

응용 프로그램(불확실성 하에서의 독점 문제):^[17]기업은 출력 $(\$$displaystyle$ x$)$에 대한 수요와 $상태{\displaystyle }$ t$$ T$r$ R$${\displaystyle t$\in$ T$\subset \mathbb$ {R}$}$에 대한 불확실성에 직면해 있습니다. $\pi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle （}$x${\displaystyle }$; ${\displaystyle c}$ ;${\displaystyle t}$ ) ${\displaystyle =}$ $($; t${\displaystyle }$) - ${\displaystyle c}$ ) -$x$ \ $displaystyle$ \$Pi$ ( $x =$ ){\$displaystyle$ P$(x,t)}$는 $상태{\displaystyle }$t {\$displaystyle$ t$\}$의 역수요 함수입니다$.$기업은 최대화

${\displaystyle V(x;-c)=\int _{T}u(\Pi(x;-c,t))d\sqda(t),}$

여기서$\delta {\displaystyle }$ {\$displaystyle \displayda$}은$$ $상태{\displaystyle }$t {\$displaystyle$ t$}$의 확률이며,${\displaystyle }$u : ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ {\$displaystyle$u :\$mathbb {R} \to$ \$mathbb${R$}$은 불확실성에 대한 회사의 태도를 나타내는 베르누이 효용 함수이다.정리 1에 따르면$,${${\displaystyle V(x}$; c$$)${\displaystyle {}_{}}$계열이 {$V$${\displaystyle (}$x ; c${\displaystyle {}_{}}$)일 ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{경우}}\arg }$ $max _{x\geq 0}V(x;-$c)}은$({\displaystyle }$는) -$$c {$displaystyle$ $-c}($$즉$, 출력은 한계 비용과 함께 감소함) 단위로 증가합니다$.$$}_{c\in$ \$mathbb$ {$R}$ _{+}}}은$($는) 단일 교차 차이에 따릅니다.정의상 후자는 임의의 $x{\displaystyle {}^{}}$ $displaystyle$x'\$geq$x$\}$에 대해 다음과 같이 기술합니다.

$(\displaystyle \Delta (-c)=\int _{T}[u(\Pi (x';-c,t))-u(\Pi (x;-c,t))],d\delta (t),}$

단일 교차 함수입니다.$각{\displaystyle }$t {\$displaystyle$ t$\}$에 대해 ${\displaystyle u(}$ -${\displaystyle c}$ ,${\displaystyle t}$ ) ${\displaystyle =}$u(${\displaystyle \mathrm{\pi }}$ ( ${\displaystyle x}$;${\displaystyle }$-${\displaystyle c}$ ,${\displaystyle t}$) -${\displaystyle \mathrm{u}}$( x${\displaystyle }$; -${\displaystyle c}$ ,$t$) { $displaystyle$($x$; - c , t )$=u(\Pi$( x $;-c, t)$） $u(x$ ; c, t)의${\displaystyle }$교차 함수는 1개입니다.에랄은 $-c(\$$displaystyle$$$$-c$$)$에서${\displaystyle \mathrm{증가}}$합니다.정리 6,$δ$(\$displaystyle$\$Delta$$$）는 t${\displaystyle }$,, t$$$t,$t$\in$ T$$}에 대해 ${\displaystyle \mathrm{함수}(}$ (${\displaystyle }$-$$, t ) $및{\displaystyle }$ $($ ${\displaystyle (、}$ t${\displaystyle {}^{}}$, 、 t 、 t ( ( , 、 t 、 t ( function $、$ t 、 t function 、 t 、 t function 、 t function function 、 t function function, 、 t function , function function function 、 t 、 t$style$ -c$\}$ )는 부호화된 단조로움을 따릅니다.이는 (i) $P{\displaystyle }$$(\$$displaystyle$ P$)$가 x(\$displaystyle$ x$)$로 감소하고 t$(\$$displaystyle$ t$)$${\displaystyle }$및$$ {$}(P$로 증가하는 경우에 보증됩니다.$\}_$${t\in$T}}: ($ii{\displaystyle }$)${\displaystyle u\mathbb{}}$ : ${\displaystyle R\mathbb{}}$ $→$ R {\$displaystyle u:\mathbb {R} \to \mathbb${R$}}$은(는) 2배의 미분가능성을 가지며,$u$ > 0 {$displaystyle u'$ > 0} 및 절대위험회피(DARA)는 감소한다.

「 」를 참조해 주세요.

• 비교 통계학
• 미시경제학
• 모델(경제학)
• 질적 경제학

단조 비교 통계학 및 그 응용에 대한 선택된 문헌

• 기본 기술 – 밀그롬과 섀넌(1994년),^[18] 밀그롬(1994년),^[19] 섀넌(1995년),^[20] 탑키스(1998년),^[21] 에들린과 섀넌(1998년),^[22] 애티(2002년),^[23] 퀘(2007년),^[24] 스트룰로비치(2009년,^[25] 2012년), 쿠쿠슈킨(2013년)^[26]
• 생산 상호보완성과 그 영향 – Milgrom and Roberts(1990a, 1995년)^[27]Topkis(1995년);^[28]
• 전략적 상호보완성이 있는 게임– Milgrom and Roberts (1990b;^[29]Topkis(1979년);^[30] Vives(1990년);^[31]
• 소비자 최적화 문제의 비교 통계 – Antoniadou (2007);^[32]Quah (2007);^[33]시라이(2013);^[34]
• 불확실성 하에서의 단조 비교 통계학 – Athey (2002);^[35]Quah and Strulovici(2009년,^[36] 2012년)
• 정치 모델을 위한 모노톤 비교 통계학 - Gans and Smart(1996),^[37] Ashworth 및 Bueno de Mesquita(2006)^[38]
• 최적 정지 문제의 비교 통계 – Quah와 Strulovici(2009, 2013);^[39]
• 모노톤 베이지안 게임– Athey (2001);^[40]McAdams(2003);^[41]Quah와 Strulovici(2012)^[42]
• 전략적 보완성을 갖춘 베이지안 게임– Van Zandt (2010년);^[43] Vives and Van Zandt (2007년);^[44]
• 경매 이론 – Athey (2001);^[45]McAdams (2007 a, b);^[46]Reny and Zamir(2004);^[47]
• 정보 구조 비교 – Quah와 Strulovici(2009)^[48]
• 산업 조직의 비교 통계 – Amir와 Grilo(1999년),^[49] Amir와 Lambson(2003년)^[50]Vives(2001);^[51]
• 신고전주의 최적 성장 – Amir(1996b);^[52]Datta, Mirman 및 Reffett(2002);^[53]
• 다단계 게임– Vive (2009)^[54]
• 무한 지평선 동적 확률 게임– Amir(1996a, 2003),^[55] Balbus, Reffett, Wonyny(2013, 2014)^[56]

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