모튼 정리

모튼의 정리는 앤디 모튼이 유즈넷 포커 뉴스 그룹에서 말한 포커 원리입니다. 멀티웨이 포트에서는 상대가 올바른 결정을 내림으로써 플레이어의 기대를 극대화할 수 있다고 명시되어 있습니다.

모튼 정리의 가장 일반적인 적용은 한 선수가 가장 좋은 손을 잡았을 때 발생하지만 무승부에는 두 명 이상의 상대가 있습니다. 이 경우, 상대방이 정확하게 접고 있고 개인적인 실수로 베팅을 호출하더라도, 가장 좋은 손을 가진 플레이어는 상대방이 베팅을 위해 접었을 때 장기적으로 더 많은 돈을 벌 수 있습니다. 이러한 유형의 상황을 암묵적 담합이라고도 합니다.

모튼의 정리는 포커의 기본 정리와 대조되는데, 포커는 어떤 선수가 상대방이 자신의 기대를 최소화하는 결정을 내리길 원한다는 것입니다. 두 정리는 두 개 이상의 상대가 존재하는 경우 차이가 있는데, 기본 정리는 항상 헤드업(한 상대)을 적용하지만, 멀티웨이 포트에서는 항상 적용되지 않습니다.

다방향 상황에서 모튼의 정리의 범위는 논란의 대상입니다.^[1] 모튼은 그의 정리가 일반적으로 다면체에서 적용될 수 있다는 믿음을 표현했고^[specify], 그래서 기본 정리는 헤드업 상황을 제외하고는 거의 적용되지 않습니다.

예시

다음의 예는 모튼이 처음으로 유즈넷 뉴스 그룹 rec.gambling에 그것의^[3] 버전을 게시한 것으로 인정됩니다.^[2]포커의

만약 Arnold라는 이름의 선수가 A♣K♦를 들고 있고, 플롭이 K♠9♥3♥이고, 최고의 키커와 짝을 이룬다고 가정해 보겠습니다. 플롭에 대한 베팅이 완료되면 아놀드는 브렌다와 찰스라는 이름의 두 명의 상대가 남아 있습니다. Arnold는 Brenda가 Nut Flush Draw(예: A♥J♥, 9점 만점)를 가지고 있다고 확신하며, Charles가 랜덤 키커(예: Q♣9♣, 4점 만점)와 함께 두 번째 짝을 가지고 있다고 믿습니다. 나머지 갑판은 아놀드의 승리로 이어집니다. 턴 카드는 공란으로 표시되며(예: 6♦), 이때의 포트 크기는 P로 큰 베팅으로 표시됩니다.

아놀드가 차례를 걸었을 때, 플러시 드로우를 들고 있는 브렌다는 분명히 전화를 걸었고, 그렇게 하기 위한 정확한 가능성을 거의 확실히 알아내고 있습니다. 브렌다가 전화하면 찰스는 전화를 할지 접을지 결정해야 합니다. 그가 어떤 행동을 선택해야 하는지 알아내기 위해, 우리는 각각의 경우에 그의 기대를 계산합니다. 이것은 나머지 42개의 카드 중에서 자신에게 가장 유리한 카드의 수와 현재 냄비의 크기에 따라 달라집니다. (여기서는 기본 정리와 관련된 논쟁에서와 같이, 우리는 각 플레이어가 상대방 카드에 대한 완전한 정보를 가지고 있다고 가정합니다.)

${\displaystyle \operatorname {E} \left[{mbox{Charles}} {\mbox{접기}}\right]=0}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[{mbox{Charles}} {\mbox{calling}}\right]={\frac {4}{42}\cdot (P+2)-{\frac {38}{42}\cdot 1}$

찰스는 접어서 이기거나 잃는 것이 없습니다. 전화를 걸 때, 그는 4/42 시간의 냄비에서 승리하고, 나머지 시간에는 큰 내기 하나를 잃습니다. 이 두 기대치를 동일하게 설정하고 P를 해결하면 그가 전화하거나 접는 것에 무관심한 포트 크기를 결정할 수 있습니다.

${\displaystyle \operatorname {E} \left[{\mbox{Charles}} {\mbox{folding}}\right]=\operatorname {E} \left[{\mbox{Charles}} {\mbox{calling}\right]}$

${\displaystyle \rightarrow P=7.5{\mbox{bigbets}}}$

냄비가 이보다 크면 찰스는 계속해야 하고, 그렇지 않으면 접는 것이 그의 이익에 가장 부합합니다.

아놀드가 찰스의 어떤 행동을 선호할지를 알아내기 위해, 우리는 아놀드의 기대를 다음과 같은 방법으로 계산합니다.

${\displaystyle \operatorname {E} \left[{\mbox{Arnold}} {\mbox{Charles folds}}\right]={\frac {42-9}{42}\cdot (P+2)={\frac {33}{42}\cdot (P+2)}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[{\mbox{Arnold}} {\mbox{ Charles calls}}\right]={\frac {42-9-4}{42}\cdot (P+3)={\frac {29}{42}\cdot (P+3)}$

아놀드의 기대는 각각의 경우에 냄비의 크기에 따라 달라집니다(즉, 찰스가 그의 부름을 고려할 때 얻을 수 있는 냄비의 가능성). 이 두 가지를 같게 설정하면 Arnold가 전화를 걸든 접든 상관없는 화분 크기 P를 계산할 수 있습니다.

${\displaystyle \operatorname {E} \left[{\mbox{Arnold}} {\mbox{Charles calls}}\right]=\operatorname {E} \left[{\mbox{Arnold}} {\mbox{Charles folds}\right]}$

${\displaystyle \rightarrow P=5.25{\mbox{bigbets}}}$

냄비가 이보다 작을 때는 찰스가 추격할 때 아놀드가 이익을 얻지만, 냄비가 이보다 클 때는 찰스가 추격하는 대신 접을 때 아놀드의 기대가 더 커집니다.

따라서 다음과 같은 다양한 냄비 크기가 있습니다.

(a) 찰스가 접는 것은 옳은 일이고, (b) 아놀드는 찰스가 (잘못된) 추격할 때보다 (잘못된) 접을 때 더 많은 돈을 번다.

아래에 그래픽으로 확인할 수 있습니다.

                                                C FOLD C는 0 1 2 3 4 5 6 7의 큰 베팅에서 C가 V ++++++++++++++++-> 포트 크기 P를 접기를 원하는 C에게 전화해야 합니다.   8 XXXXXXXXX ^ "파라독스 지역" 

X로 표시된 냄비 크기의 범위는 아놀드가 찰스(C)가 올바르게 접기를 원하는 곳입니다. 왜냐하면 찰스가 잘못 전화했을 때 그는 기대를 잃기 때문입니다.

분석.

근본적으로 위의 예에서 찰스가 "가난한 지역"에 전화를 걸 때, 그는 자신의 약한 추첨에 대해 너무 높은 가격을 지불하고 있지만, 아놀드는 더 이상 그 높은 가격의 유일한 후원자가 아닙니다. 브렌다는 지금 브렌다가 그녀의 멋진 추첨을 할 때 찰스의 돈을 받고 있습니다. 아놀드가 찰스와 머리를 맞대고 있는 경우와 비교하면, 아놀드는 여전히 냄비 전체를 잃을 위험을 안고 있지만, 찰스의 느슨한 통화로 인해 더 이상 100%의 보상을 받지 못하고 있습니다.

플레이어가 적어도 일부 상대방을 올바르게 접기를 원하는 이러한 냄비 크기의 중간 영역의 존재는 플레이어가 자신이 최고의 손을 잡고 있다고 생각할 때마다 필드를 최대한 얇게 만드는 표준 포커 전략을 설명합니다. 무승부가 잘못된 상대도 베팅을 부를 때 플레이어의 돈이 듭니다. 왜냐하면 이러한 호출의 일부는 다른 상대가 그들을 상대로 무승부를 거두기 때문입니다.

아놀드는 찰스의 부름으로 인해 기대를 잃고 있기 때문에, 다른 모든 상대(즉, 브렌다와 찰스)의 총합이 찰스의 부름으로 인해 얻어지고 있음에 틀림없습니다. 즉, 브렌다와 찰스가 경기가 끝난 후 주차장에서 만나 수익을 나누게 된다면 아놀드를 상대로 담합을 하고 있었을 것입니다. 이를 암묵적 담합이라고도 합니다. 그것은 때때로 학교 교육이라고 불리는 것과 대조되어야 합니다. 스쿨링은 많은 상대가 최선의 손을 가진 선수를 정확하게 부를 때 발생하는 반면, 암묵적인 담합은 상대가 최선의 손을 가진 선수를 잘못 부를 때 발생합니다.

Morton의 정리의 한 가지 결론은 느슨한 손잡기 게임에서 적합한 손의 가치가 상승한다는 것입니다. 왜냐하면 그것들은 암묵적인 담합으로부터 이익을 얻을 수 있는 정확히 유형의 손이기 때문입니다.

참고 항목

• 포커전략

메모들