모트 다항식

수학에서 Mott 다항식 s_n(x)는 N. F. Mott(1932, 페이지 442)가 도입한 다항식이다.그것들은 지수 생성 함수에 의해 주어진다.

${\displaystyle e^{x({\sqrt{1-t^{2}}-1)/t}=\sum _{n}s_{n}(x)t^{n}/n!}$

지수 내 요인에 검정력 시리즈가 있기 때문에

${\displaystyle {{\sqrt{1-t^{2}}-1}-{t}=-\sum _{k\geq 0}C_{k}\왼쪽({\frac {t}{2}}\오른쪽)^{2k+1}^{2k+1}$

카탈로니아 숫자 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$의 관점에서 다항식의 ${\displaystyle x^{}}$ k ${\$ 앞에 있는 계수는 다음과 같이 쓸 수 있다$.$

${\displaystyle [x^{k}]s_{n}(x)=(-1)^{k}{\frac {n!$$}{k!2}}^{n}}\sum _{n=l_{1}+l_{$1}+{$2}+\cdots +l_{k_{k}C_${{$1}-1)/2}C_{(l_{2}-1)/{{k$}-1}-1}\$cdots$ C_${{($l_${k}-1$2$}},$

일반화된 호칭 다항식의 일반적인 공식에 따르면, 합계가 모든 $구성{\displaystyle }$ n${\displaystyle }$= ${\displaystyle {l\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {l\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle \cdots }$+ ${\displaystyle {}_{}}$ k + l k ${\displaystyle k_{}}$ ${\$ $n=$$l_{1}+l_{2}+\cdots +l_{k}}}}}$의 n ${\displaysty k}$ 양의$$ 홀수 정수에 걸쳐$$ 있다.$k{\displaystyle }$= ${\displaystyle n}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle k=n=0}$에 대해 나타나는 빈 제품은 1과 같다$$.모든 기여 카탈루냐 숫자가 1인 특별 값은 다음과 같다.

${\displaystyle [x^{n}]s_{n}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}.}$

${\displaystyle [x^{n-2}s_{n}(x)={\frac {(-1)^{n(n-1){n(n-1)}{2^{n}}}}.}$

분화함으로써 첫 번째 파생상품의 재발은

${\displaystyle s'(x)=-\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\bloor }{\frac {n!}{(n-1-2k)!2^{2k+1}}C_{k}s_{n-1-2k}(x).}$

그 중 처음 몇 가지는 (OEIS의 후속 A137378)이다.

${\displaystyle s_{0}(x)=1;}$

${\displaystyle s_{1}(x)=-{\frac {1}{2}}x;}$

${\displaystyle s_{2}(x)={\frac {1}{4}x^{2};}$

${\displaystyle s_{3}(x)=-{\frac {3}{4}}{4}x-{\frac {1}{8}x^{3};}$

${\displaystyle s_{4}(x)={\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{16}x^{4};}$

${\displaystyle s_{5}(x)=-{\frac {15}{2}}x-{\frac {15}{8}}}x^{3}-{\frac {1}{32}x^{5};}$

${\displaystyle s_{6}(x)={\frac {frac}{8}x^{2}+{15}{8}x^{4}+{\frac {1}{64}x^{6};}$

다항식 s_n(x)는 –2t/(1–t²)에 대한 관련 셰퍼 시퀀스를 형성한다(로마 1984, 페이지 130).아서 에르델리, 빌헬름 마그누스, 프리츠 오버헤팅거 외 연구진(1955, 페이지 251)은 그들에게 일반화된 초기하 함수 F₀:

${\displaystyle s_{n}(x)=(-x/2)^{n}{}_{3}F_{0}(-n,{\frac {1-n}{2}},1-{\frac {n}{2}};-{\frac {4}{x^{2}}}})}$

참조

• Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1955), Higher transcendental functions. Vol. III, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-London, MR 0066496
• Mott, N. F. (1932), "The Polarisation of Electrons by Double Scattering", Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character, 135 (827): 429–458, doi:10.1098/rspa.1932.0044, ISSN 0950-1207, JSTOR 95868
• Roman, Steven (1984), The umbral calculus, Pure and Applied Mathematics, vol. 111, London: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-594380-2, MR 0741185, Reprinted by Dover, 2005