다종 베주 정리

대수학 및 대수학 기하학에서 다종 Bézout 정리는 Bézout의 정리의 다종 다항식들에 대한 일반화로서, 동종 다항식 집합의 고립된 공통 0의 수를 계수한다.이러한 일반화는 이고르 샤파레비치 때문이다.^[1]

동기

다항 방정식이나 다항 방정식의 시스템을 고려할 때, 해답의 수를 명시적으로 계산하지 않고 계산하거나 바인딩하는 것이 유용한 경우가 많다.

단일 방정식의 경우, 이 문제는 다항식의 정도에 의해, 그 해법이 그 다항식의 승수와 함께 계산될 경우, 균등하게 경계된다고 주장하는 대수학의 근본적인 정리에 의해 해결된다.

n 미지의 n 다항식 시스템의 경우, 복잡한 해답의 수가 유한할 경우, 그 수가 해답의 정도의 산물에 의해 경계된다고 주장하는 베주트의 정리에 의해 문제가 해결된다.더욱이 무한대의 해법 수도 한정되어 있다면, 도의 산물은 무한대의 해법들을 포함하여 승수로 계산된 해법의 수와 같다.

그러나 무한대의 해결책의 수가 무한하다는 것은 오히려 흔한 일이다.이 경우 다항식의 정도의 산물은 뿌리의 수보다 훨씬 클 수 있으며, 더 나은 한계가 유용하다.

다종 Bézout 정리는 알려지지 않은 것이 여러 하위 집합으로 분할될 수 있을 때, 각 하위 집합의 각 다항식의 정도가 다항식의 총도보다 낮을 때, 그러한 더 나은 뿌리를 제공한다.For example, let ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{2n}}$ be polynomials of degree two which are of degree one in n indeterminate ${\displaystyle x_{1},\ldots x_{n},}$ and also of degree one in ${\displaystyle y_{1},\ldots y_{n}.}$ (that is the polynomials are bili이 경우 베주트의 정리에서는 해결책의 수를 다음과 같이 제한한다.

${\displaystyle 2^{2n}}$

다종 베즈아웃 정리가 바운드를 주는 동안(스털링의 근사치 사용)

${\displaystyle {\binom {2n}{n}}={\frac {(2n)!}{{(n!)^{2}}}\심각{2^{2n}{\sqrt{\pin}}}.}$

성명서

다항 다항식은 여러 변수 집합에 대해 동질적인 다항식이다.

More precisely, consider k positive integers ${\displaystyle n_{1},\ldots ,n_{k}}$, and, for i = 1, ..., k, the ${\displaystyle n_{i}+1}$ indeterminates ${\displaystyle x_{i,0},x_{i,1},\ldots ,x_{i,n_{i}}.}$ A polynomial in all these indeterminates is multi-homogeneous of multi-degree ${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{k},}$ if it is homogeneous of degree ${\displaystyle d_{i}}$ in ${\displaystyle x_{i,0},x_{i,1},\ldots ,x_{i,{n_{i}}}.$$}$

다중 투영 다양성은 투영 공간 생산물의 투영 하위 변종이다.

${\displaystyle \mathb{P} _{n_{1}}\time \cdots \time \mathb {P} _{n_{k}},}$

여기서 $P{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 치수 n의 투영 공간을 나타낸다.다중 투영 다양성은 다종 다항식의 이상적 다항식의 공통 비경쟁적 0의 집합으로 정의될 수 있는데 여기서 "비경쟁적"은 각 i에 ${\displaystyle {대해}_{}}$ x${\displaystyle {}_{}}$i, ${\displaystyle 0_{}}$ ${\displaystyle x_{},}$ ${\displaystyle 1_{}}$, ${\displaystyle x_{},}$ ${\displaystyle {n,}_{}}$ ${\$이 동시에 0이$$ 아님을 의미한다.

Bézout의 정리는 n + 1의 d 1,${\displaystyle }$…,${\displaystyle d_{}}$ ${\$의 동질 다항식 n은 양차원의 대수 집합 또는 d ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ d ${\$개의$$ 점수로 구성된 0차원 대수 집합 중 하나를 정의한다고 주장한다.쌍꺼풀

For stating the generalization of Bézout's theorem, it is convenient to introduce new indeterminates ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{k},}$ and to represent the multi-degree ${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{k}}$ by the linear form ${\display$$스타일 \mathbf {d} =d_{1}t_{1}+\cdots +d_{k}t_{k}.$$}}$ 다음에서$$ "다도"는 도수의 순서가 아니라 이 선형 형태를 가리킨다.

설정 $n{\displaystyle }$= n ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle \cdots }$+ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle n=n_{1}+\cdots +n_{k}}}$다종 Bézout 정리는 다음과 같다.

위의 표기법으로, n 다항 다항 다항식 ${\daystyle \mathbf {d} _{1},\ldots,\mathbf {d} _{n}}}$ 다목적 대수 집합의 양의 치수를 정의하거나 또는 0차원 대수 집합으로 구성된다. B 점, 승수와 함께 카운트됨, 여기서 B 의 계수

${\displaystyle t_{1}^{n_{1}^{1}}\cdots t_{k}^{n_{k}}}}$

선형의 산물로.

${\daystyle \mathbf {d} _{1}\cdots \mathbf {d} _{n}.}$

비균형 케이스

다항식이 전체 정도를 증가시키지 않고 (다항식) 균질화될 수 있는 경우, 솔루션 수에 대한 다항종 Bézout을 방정식의 비균형 시스템에 사용할 수 있다.그러나 이 경우 "무한도"에 해결책이 있다면 바운드가 날카롭지 않을 수 있다.

연구되는 문제에 대한 통찰력 없이는, "좋은" 다원화를 위한 변수를 그룹화하기가 어려울 수 있다.다행히도, 그러한 그룹화가 모델링된 문제에서 직접 발생하는 많은 문제들이 있다.예를 들어 역학에서 방정식은 일반적으로 길이와 질량에서 균일하거나 거의 균일하다.

참조