다중 범주

수학(특히 범주 이론)에서 다중 범주는 다중 아리의 형태론을 허용하는 범주 개념의 일반화다.한 범주의 형태론이 함수와 유사하다고 간주되는 경우, 다중 범주의 형태는 여러 변수의 함수와 유사하다.다중 범주를 피연산자 또는 컬러 피연산자라고도 한다.

정의

A(비대칭) 다중 범주는 다음과 같이 구성된다.

• 물체의 집합(적절한 등급)
• for every finite sequence ${\displaystyle (X_{i})_{i\in n}}$ of objects (for von Neumann ordinal ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$) and object Y, a set of morphisms from ${\displaystyle (X_{i})_{i\in n}}$ to Y; and
• 모든 객체 X에 대해, X에서 X까지의 특수 신원 형태론(n = 1)이다.

Additionally, there are composition operations: Given a sequence of sequences ${\displaystyle ((X_{ij})_{i\in n_{j}})_{j\in m}}$ of objects, a sequence ${\displaystyle (Y_{j})_{j\in m}}$ of objects, and an object Z: if

• (X나는 j)에서 Yj에 각각의 jm{j\in m\displaystyle}∈, fj은 사상 in}}j{\displaystyle(X_{ij})_{i\in n_{j}∈, 그리고.
• (Yj)j에서 m{\displaystyle(Y_{j})_{j\in m}}∈ toZG는 사상:.

그리고(fj)jg m{\displaystyle g(f_{j})_{j\in m}∈(X나는 j)나는 ∈ nj에서 복합 사상}, j∈ m{\displaystyle(X_{ij})_{i\in n_{j},j\in m}}Z는 것이다이:특정한 공리를 만족 시켜야 한다.

• 만약 m=1, Z)Y0, Y0에 g은 정체성 사상, 다음 g(f0)f0을 말한다.
• 보면 각 j∈ m{j\in m\displaystyle},nj=1, X0j)Yj{\displaystyle X_{0j}=.Y_{j}}, Yj에 fj은 정체성 사상, 그때}(fj)j∈ m)g{\displaystyle g(f_{j})_{j\in m}=g 입수, 그리고.
• 연관성 조건: 각 $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in m}$ ${\displaystyle$ $j$$\in m}$ $및{\displaystyle }$ i$$ ${\displaystyle \in {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$ i$\in n_$$j}$에 대해 ${\displaystyle {ei}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$는${\displaystyle }$(${\displaystyle {\mathrm{Wh}}_{}}$ i j${\displaystyle {}_{}{}_{}}$) h${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {o_{}}_{}}$ ${\displaystyle {i_{}}_{}}$ j$${\$displaystyle (W_{hij})$의 형태)의 형태)이다$$.$_{h\in o_{ij}}}$ to ${\displaystyle X_{ij}}$, then ${\displaystyle g\left(f_{j}(e_{ij})_{i\in n_{j}}\right)_{j\in m}=g(f_{j})_{j\in m}(e_{ij})_{i\in n_{j},j\in m}}$ are identical morphisms from ${\displaystyle (W_h}$${\$$_{h\in o_{ij}i\in n_{j}$j}j$\in m}$ ~ Z.

컴카테고리

콤마카테고리(com-category, co-multi-category)는 완전히 순서가 정해진 오브젝트 집합 O, 두 가지 기능을 가진 멀티홀로 구성된 집합 A이다.

${\displaystyle \mathrm {head}:A\오른쪽 화살표 O,}$

${\displaystyle \mathrm {접지} :A\오른쪽 화살표 O^{\%}}$

여기서 O는^% O의 원소 순서의 모든 유한 순서 배열의 집합이다.다중 화살표 f의 이중 영상을 요약할 수 있다.

${\displaystyle f:\mathrm {head}(f)\Leftarrow \mathrm {ground}(f).}$

콤카테고리 C는 또한 구성 연산의 일반적인 특성을 가진 다중 유도도 가지고 있다.C는 이 연산자와 관련하여 다중 유도 공리가 있는 경우 연관성이 있다고 한다.

대칭 또는 비대칭의 모든 다중 범주를 객체 집합의 전체 순서와 함께 동등한 범주로 만들 수 있다.

다주어는 다음과 같은 조건을 만족하는 콤카테고리다.

• 주어진 머리와 땅을 가진 다화살이 적어도 하나 있다.
• 각 물체 x는 단위 다중화살을 가지고 있다.
• 다중 화살표는 그 지면에 하나의 입구가 있다면 하나의 단위다.

멀티오더란 부분 주문(포셋)을 일반화한 것으로, 톰 레이스터에 의해 (통과로) 처음 도입되었다.^[1]

예

객체가 (작은) 집합인 다중 범주가 있는데, 여기서 집합 X₁, X₂, ..., 집합_n Y에서 집합 Y까지의 형태론은 n-ary 함수로서, 데카르트 제품 X₁ × X × × ...의₂ 함수다.×××Y_n.

개체들이 벡터 공간인 다중 범주가 있는데, 여기서 벡터 공간인₁ X, X₂, ..., X에서_n 벡터 공간 Y까지의 형태론은 다행 연산자, 즉 텐서 제품인₁₂ X ⊗ X ⊗에서 선형 변환인 것이다.⊗ X에서_n Y까지.

보다 일반적으로 단면체 범주 C를 고려할 때, C-객체 X₁, X, ..., X-객체_n Y에서 C-객체 Y까지의₁ 형태론은₂₂ X, X_n, X, X-Y의 단면체 생산물에서 C-모르퍼시즘이다.

피연산자는 하나의 고유한 객체를 가진 다중 범주로, 퇴화한 경우를 제외하고, 그러한 다중 범주는 단일 범주에서 나오지 않는다.

다중 주문의 예로는 포인트 멀티셋(OEIS의 경우 순서 A262671), 정수 파티션(OEIS의 경우 순서 A063834), 결합 분리(OEIS의 경우 순서 A269134) 등이 있다.모든 다선체의 삼각형(또는 구성)은 수축의 (필수적으로 연관되지 않는) 범주의 형태와 분해의 콤마케터다.다중 사용자 파티션(OEIS의 시퀀스 A255397)의 다중 사용자 줄 범주는 알려진 다중 집합의 가장 간단한 범주다.^[2]

적용들

다중 범주는 더 높은 범주로 만족하는 운영자와 ID가 다중 범주의 개체와 다중 행이라는 관측이었기 때문에 다중 범주는 더 높은 범주 이론에 속하는 것으로 잘못 간주되는 경우가 많다.n-카테고리 연구는 차례로 대수적 위상에서의 적용과 고차원 다지관의 호모토피 이론을 설명하려는 시도에 의해 동기 부여되었다.그러나 그것은 대부분 이러한 동기에서 자라났고 현재 순수한 수학의 일부로 여겨지고 있다.[1]

다차원 삼각형의 수축과 분해 사이의 대응은 발생 대수라고 불리는 연관 대수학을 구성할 수 있게 한다.모든 단위 화살표에 0이 아닌 원소는 구성 역수를 가지며, 멀티오더의 뫼비우스 함수는 발생 대수에서 제타함수(constant-one)의 구성 역수를 정의한다.

역사

(1969년)[3]그는 자신이"는 multicategories 또한[장]Benabou에 의해 연구되고 있고[피에르]까르띠에에게 말했다"고 실제로 렌스 opines은 이날 아이디어는 아는 모든 사람들에 면치 못 했을 것(페이지의 주 108)에 대해 언급하 Multicategories 처음 그 이름으로 짐 Lambek에 의해"연역적 시스템과 카테고리 2세"에 도입되어 어떻게 둘 다 범주를과 a뮤이틸리네이드 지도는"^{[1]: 63} 이었다.

참조

• Garner, Richard (2008). "Polycategories via pseudo-distributive laws". Advances in Mathematics. 218 (3): 781–827. arXiv:math/0606735. doi:10.1016/j.aim.2008.02.001. S2CID 17057235.