이항함수

수학에서 이항함수(이항함수 또는 두 변수의 함수라고도 함)는 두 개의 입력을 취하는 함수다.

정확히 말하면, 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은(는) 다음과 같이$$ $X{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle Y,}$ Z ${\displaystyle$ X$,Y,Z}$을(를) 설정하는 경우 이진수다$$.

$\displaystyle \,f\colon X\time Y\오른쪽 화살표 Z}$

여기서 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\time$ Y$}$은(는) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및 $Y$ .${\displaystyle$ Y$.}$의 데카르트 제품이다.

대체 정의

Set-theoretically, a binary function can be represented as a subset of the Cartesian product ${\displaystyle X\times Y\times Z}$, where ${\displaystyle (x,y,z)}$ belongs to the subset if and only if ${\displaystyle f(x,y)=z}$. Conversely, a subset ${\displaystyle R}$ defines a binaryfunction if and only if for any ${\displaystyle x\in X}$ and ${\displaystyle y\in Y}$, there exists a unique ${\displaystyle z\in Z}$ such that ${\displaystyle (x,y,z)}$ belongs to ${\displaystyle R}$. ${\displaystyle f(x,y)}$ is then defined to be this ${\dis$$놀이$ 스타일 $z$

Alternatively, a binary function may be interpreted as simply a function from ${\displaystyle X\times Y}$ to ${\displaystyle Z}$. Even when thought of this way, however, one generally writes ${\displaystyle f(x,y)}$ instead of ${\displaystyle f((x,y))}$. (That is, the same pair of parentheses는 기능 적용과 순서 쌍의 형성을 모두 나타내기 위해 사용된다.)

예

정수분할은 함수로 생각할 수 있다.If ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ is the set of integers, ${\displaystyle \mathbb {N} ^{+}}$ is the set of natural numbers (except for zero), and ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ is the set of rational numbers, then division is a binary function ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \times \$$mathbb {N} ^{+}\to \mathb {Q}$$}$ .

또 다른 예로는 내부 제품의 경우, 또는 보다 일반적인 ${\displaystyle {형태}^{}}$의 기능${\displaystyle (x}$, y ) ${\displaystyle \mapsto }$ x ${\displaystyle M}$ y ${\displaystyle (x,y)\mapsto$ x$^{\mathrm {T}}My$ 여기서 x, y는 적절한 크기의 실제 벡터, M은 행렬이다.만약 M이 양의 확실한 매트릭스라면, 이것은 내적인 제품을 생산한다.^[1]

두 개의 실제 변수의 함수

도메인이 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 부분집합인 함수는 해당 도메인이 직사각형을 형성하지 않아 두 세트의 데카르트 산물이 생성되지 않더라도 종종 두 변수의 함수라고도 한다$$.^[2]

통상적인 기능에 대한 제한

또한, 한 변수의 통상적인 함수를 이항함수에서 도출할 수도 있다.Given any element ${\displaystyle x\in X}$, there is a function ${\displaystyle f^{x}}$, or ${\displaystyle f(x,\cdot )}$, from ${\displaystyle Y}$ to ${\displaystyle Z}$, given by ${\displaystyle f^{x}(y)=f(x,y)}$. Similarly, given any element ${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle y\in Y}$, there is a function ${\displaystyle f_{y}}$, or ${\displaystyle f(\cdot ,y)}$, from ${\displaystyle X}$ to ${\displaystyle Z}$, given by ${\displaystyle f_{y}(x)=f(x,y)}$. In computer science, this identification between a function from $$${\displaystyle X\times Y}$ to ${\displaystyle Z}$ and a function from ${\displaystyle X}$ to ${\displaystyle Z^{Y}}$, where ${\displaystyle Z^{Y}}$ is the set of all functions from ${\displaystyle Y}$ to ${\displaystyle Z}$, is called currying.

일반화

기능과 관련된 다양한 개념도 2진수 함수에 일반화할 수 있다.예를 들어, 위의 분할 예는 모든 합리적 숫자가 정수와 자연수의 인수로 표현될 수 있기 때문에 (또는 위에) 허탈하다.함수 f와 f는 항상 주입되기 때문에 이 예는 각 입력에 개별적으로 주입된다.그러나 (예를 들어) f(2,4) = f(1,2)이기 때문에 두 변수 모두에 동시에 주입되는 것은 아니다.

또한 일부 이진함수를 고려할 수 있는데, 이는 입력의 특정 값에 대해서만 정의될 수 있다.예를 들어 위의 분할 예는 Z와 N에서 Q까지의 부분적인 이진함수로 해석될 수도 있는데 여기서 N은 0을 포함한 모든 자연수의 집합이다.그러나 이 함수는 두 번째 입력이 0일 때 정의되지 않는다.

이진 연산(binary operation)은 X, Y, Z가 모두 동일한 이진함수로, 이진 연산(binary operation)은 대수 구조를 정의하기 위해 자주 사용된다.

선형대수학에서 이선변형은 X, Y, Z가 모두 벡터공간이고 파생함수 f, f가_y 모두 선형변환인 이진함수다.이선형 변환은 다른 이항 함수와 마찬가지로 X × Y에서 Z까지의 함수로 해석될 수 있지만, 일반적으로 이 함수는 선형적이지 않을 것이다.그러나 이선형 변환은 또한 X 텐서 제품 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \otimes }$ Y ${\displaystyle X\otimes Y}$에서 Z로의 단일 선형 변환으로 해석될 수 있다.

3차 및 기타 기능에 대한 일반화

2진수 함수의 개념은 자연수 n에 대해 3진수 함수, 4진수 함수 또는 보다 일반적으로 n-ary 함수에 일반화된다.Z에 대한 0-ari 함수는 Z의 요소에 의해 간단히 주어진다.또한 A-ari 함수를 정의할 수 있으며, A의 각 요소에는 하나의 입력이 있다.

범주론

범주 이론에서 n-ary 함수는 다중 범주에서 n-ary 형태론에 일반화된다.n-ari 형태론의 영역은 원래 n-ari 형태론의 영역의 어떤 종류의 산물인 일반적인 형태론으로서의 해석은 단일 범주에서 작동할 것이다.하나의 변수에 대한 파생 형태론의 구성은 폐쇄적인 단면체 범주에서 작동할 것이다.집합의 범주는 닫힌 단면체이지만 벡터 공간의 범주도 마찬가지여서 위의 이선 변환 개념을 제공한다.

참조