곱하기 및 반복 추가

수학 교육에서는 곱셈의 연산을 반복적인 덧셈의 한 형태로 가르쳐야 하는지에 대한 논란이 있었다.토론 참가자들은 산술, 교육학, 학습 및 지도 디자인, 수학 역사, 수학 철학, 컴퓨터 기반 수학의 공리 등 다양한 관점을 제시했다.

토론의 배경

1990년대 초 레슬리 스테프는 아이들이 곱셈을 수학지식에 동화시키기 위해 사용하는 셈법을 제안했다.제레 콘프리는 셈계획과 갈라지는 추측을 대조했다.콘프리는 개수와 분열은 두 개의 분리된 독립적인 인지적 원시성이라고 제안했다.이는 학술발표회, 기사, 책장 등의 형태로 학술논의를 촉발시켰다.^{[citation needed]}

이번 토론은 초기 수학 과제의 확장, 확대, 접기, 측정이 강조된 커리큘럼의 확산에서 비롯됐다.그러한 업무는 계수나 반복적인 덧셈에 기초하지 않은 곱셈의 모델을 요구하거나 지원한다.구구단이 정말 덧셈을 반복하느냐는 질문을 둘러싼 논쟁은 1990년대 중반 학부모와 교사 토론 포럼에 등장했다.^{[citation needed]}

키스 데블린은 앞서 기사에서 이 주제에 대해 간략하게 언급한 후, "반복된 추가는 없다"라는 제목의 미국 수학 협회 칼럼을 썼다.^[1]그 칼럼은 학술 토론과 실무자 토론을 연결했다.그것은 연구와 실무 블로그와 포럼에서 여러 가지 논의를 촉발시켰다.키스 데블린은 이 주제에 대해 계속 글을 썼다.^[2][3][4]

교육학적 관점

카운트에서 곱셈까지

Common Core State Standards Initiative와 같은 전형적인 수학 커리큘럼과 표준에서, 실수의 산출물의 의미는 일반적으로 반복적인 덧셈에서 시작하여 궁극적으로 스케일링에 상주하는 일련의 개념을 통해 단계화한다.일단 자연적인 (또는 전체) 숫자를 세는 수단으로 정의되고 이해되면, 아이는 산술의 기본 연산을 이 순서로 도입한다. 추가, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈.이러한 수술은 매우 초기 단계의 어린이 수학 교육에서 도입되었지만, 학생들의 숫자 감각의 발달에 진보된 숫자 능력으로 지속적인 영향을 미친다.이 교육과정에서는 "사과 8개씩 3봉지가 있다"는 식의 반복적인 추가와 관련된 질문을 한 후 바로 곱셈이 도입된다.사과가 모두 몇 개인가?학생은 다음을 할 수 있다.

${\displaystyle 8+8+8=24,}$

아니면 대안을 선택하라.

$3\displaystyle 3\ft 8=24.}$

이러한 접근방식은 몇 년간 가르치고 배우는 동안 지원되며, 곱셈이 단지 더 효율적인 추가 방법이라는 인식을 설정한다.일단 0을 가져오면 큰 변화가 없기 때문에 큰 변화는 없다.

${\displaystyle 3\ft 0=0+0+0,}$

즉, 0이고, 상호 작용 속성은 또한 우리를 정의하도록 이끌 것이다.

$0\displaystyle 0\display 3=0.}$

따라서 반복적인 덧셈은 정수(0, 1, 2, 3, 4, ...)까지 확장된다.곱셈이 반복된다는 믿음의 첫 번째 도전은 학생들이 분수를 가지고 일을 시작할 때 나타난다.수학적인 관점에서, 반복적인 덧셈으로서의 곱셈은 분수로 확장될 수 있다.예를 들어,

$7/4\dv5/6}$

말 그대로 "오십육십삼분의 일"을 외친다.이것은 나중에 학생들이 단어 문제에서 "of"라는 단어는 보통 곱셈을 의미한다고 가르치기 때문에 중요하다.그러나, 이 연장은 분수가 도입될 때 수학에 어려움을 겪기 시작하는 많은 학생들에게 문제가 된다.^{[citation needed]} 게다가, 반복적인 덧셈 모델은 불합리한 숫자들이 사용될 때 실질적으로 수정되어야 한다.

이러한 문제와 관련하여, 수학 교육자들은 분수와 비합리적인 숫자의 학생들의 어려움이 이러한 숫자들이 도입되기 전에 오랫동안 반복적인 덧셈으로 보아 악화되는지, 그리고 초등학교의 엄격한 수학을 현저하게 수정하는 것이 허용될 수 있는지에 대해 논의해왔다.n, 아이들이 나중에 잘못된 것으로 판명된 진술을 믿도록 유도한다.

스케일링에서 곱셈까지

곱셈을 배우는 하나의 이론은 세계 대전 사이에 소련에서 활동했던 비구츠키 서클의 러시아 수학 교육자들의 연구로부터 유래한다.그들의 기여는 갈라지는 추측으로 알려져 있다.

또 다른 곱셈 학습 이론은 곱셈에 대한 기본적인 은유를 연구한 구체화된 인식 연구들에서 유래한다.

이 조사들은 함께 커리큘럼에 어린 아이들을 위한 "일관성 없는" 과제에 영감을 주었다.^{[citation needed]}이러한 작업의 예로는 탄력적인 스트레칭, 줌, 접기, 그림자 투영 또는 그림자를 들 수 있다.이러한 업무는 카운트에 의존하지 않으며, 반복적인 추가의 관점에서 쉽게 개념화할 수 없다.

이러한 교육과정과 관련된 논쟁의 쟁점은 다음과 같다.

이 절은 출처를 인용하지 않는다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 섹션을 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다.(2017년 6월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

무엇을 곱할 수 있는가?

곱셈은 종종 자연수에 대해 정의되며, 그 다음 정수, 분수, 불합리한 숫자로 확장된다.그러나 추상 대수학은 숫자가 될 수도 있고 아닐 수도 있는 일부 물체에 대한 이진 연산으로서 곱셈에 대한 보다 일반적인 정의를 가지고 있다.특히 복잡한 수, 벡터, 행렬, 쿼터를 곱할 수 있다.일부 교육자들은^{[citation needed]} 초등 교육 동안 곱셈을 반복적으로 추가하는 것으로만 보는 것이 이러한 곱셈의 측면을 나중에 이해하는 데 방해가 될 수 있다고 믿는다.

곱셈을 갈은 모형과 은유

수학 교육의 맥락에서 모델은 관념의 일부 또는 모든 본질적인 특성을 반영하는 추상적인 수학 사상의 구체적인 표현이다.모델은 종종 물리적인 혹은 가상적인 조작법과 커리큘럼 자료로 개발된다.곱셈과 반복적인 덧셈에 대한 논쟁의 일부는 다른 모델과 그들의 커리큘럼 자료의 비교다.다른 모델은 다른 유형의 숫자의 곱셈을 지원할 수도 있고 지원하지 않을 수도 있다. 예를 들어, 숫자가 개체 모음으로 표시되는 집합 모델과^[5] 각 개체 수가 같은 여러 집합의 조합으로 곱셈은 분수 또는 실제 숫자의 곱셈으로 확장할 수 없다.다른 모델도 산술의 특정 적용에 관련될 수 있다. 예를 들어 조합 모델은 확률과 생물학에서 나온다.

참조