무리수

수학에서, 비합리적인 숫자(부정적 접두사, 사리적)는 모두 유리수가 아닌 실수이다.즉, 무리수는 두 정수의 비율로 표현할 수 없습니다.두 선분의 길이 비율이 비합리적인 숫자인 경우, 선분은 또한 상호연결이 불가능한 것으로 설명되며, 이는 선분이 공통적으로 "측정량"을 공유하지 않는다는 것을 의미한다. 즉, 길이가 아무리 짧더라도 두 선분의 길이를 모두 정수 배수로 표현하기 위해 사용될 수 있다.그 자체입니다.

무리수 중에는 원의 지름에 대한 원둘레의 비율 θ, 오일러의 수 e, 황금 비율 θ, 그리고 ^[1][2][3]2의 제곱근 등이 있다.사실, 완전 제곱근을 제외한 자연수의 모든 제곱근은 ^[4]비합리적입니다.

모든 실수와 마찬가지로, 무리수는 위치 표기법, 특히 10진수로 표현될 수 있다.무리수의 경우 소수점 확장은 종료되지 않으며 반복 시퀀스로 끝나지 않습니다.예를 들어 represent의 10진수 표현은 3.14159로 시작하지만 exactly을 정확하게 나타낼 수 있는 자릿수는 한정되어 있지 않으며 반복할 수도 없습니다.반대로 끝 또는 반복되는 10진수 전개는 유리수여야 합니다.이것들은 유리수와 위치수 체계에 대한 입증 가능한 속성이며 수학에서 정의로 사용되지 않습니다.

무리수는 또한 끝없는 연속분수와 다른 많은 방법으로 표현될 수 있다.

실수는 셀 수 없고 유리수는 셀 수 없다는 칸토어의 증거의 결과로, 거의 모든 실수는 ^[5]비합리적이다.

역사

고대 그리스

비합리적인 숫자의 존재에 대한 첫 번째 증거는 보통 피타고라스인 (아마도 메타폰툼의 ^[6]히파수스)에게 기인하는데, 그는 아마도 펜타그램의 ^[7]변을 확인하는 동안 그것들을 발견했을 것이다.당시 현재의 피타고라스 방법은 이 길이들 중 하나와 다른 길이들 사이에 고르게 들어맞을 수 있는 충분히 작고 분리할 수 없는 단위가 있을 것이라고 주장했을 것이다.그러나 기원전 5세기에 히파소스는 실제로 공통적인 측정 단위가 없고, 그러한 존재에 대한 주장은 사실 모순이라는 것을 추론할 수 있었다.그는 만약 이등변 직각삼각형의 빗변을 실제로 다리로 교환할 수 있다면, 그 측정 단위로 측정된 길이 중 하나는 홀수이면서 짝수여야 한다는 것을 증명함으로써 이것을 했다. 이것은 불가능하다.그의 논리는 다음과 같다.

• 정수의 변 길이가 a, b, c인 이등변 직각삼각형으로 시작합니다.다리에 대한 빗변의 비율은 c:b로 나타납니다.
• a, b 및 c가 가능한 가장 작은 항(즉, 공통 요인이 없음)에 있다고 가정합니다.
• 피타고라스 정리에 따르면², c² = a²+b² = b+b² = 2b이다². (삼각형이 이등변이므로, a = b).
• c² = 2b이므로² c는² 2로 나누어지므로 짝수이다.
• c는² 짝수이므로 c는 짝수여야 합니다.
• c는 짝수이므로 c를 2로 나누면 정수가 됩니다.y를 이 정수(c = 2y)로 합니다.
• c = 2y의 양쪽을 제곱하면 c = (2y)² 또는² c = 4y가² 됩니다².
• 제1방정식(c²=2b²)에서 c를² 4y로² 치환하면 4y²=2b가² 된다.
• 2로 나누면 2y² = b가² 됩니다.
• y는 정수이고 2y² = b이므로², b는² 2로 나누어지므로 짝수이다.
• b는² 짝수이므로, b는 짝수여야 한다.
• 우리는 방금 b와 c가 모두 짝수여야 한다는 것을 보여 주었다.따라서 공통 인수는 2입니다.그러나 이는 공통요인이 없다는 가정과 배치된다.이 모순은 c와 b가 둘 다 정수일 수 없다는 것을 증명하고,^[8] 따라서 두 정수의 비율로 표현할 수 없는 수의 존재를 증명한다.

그리스 수학자들은 이 믿을 수 없는 크기의 비율을 알로고, 또는 표현할 수 없는 것이라고 불렀다.그러나 히파소스는 그의 노력에 찬사를 받지 못했다. 한 전설에 따르면, 그는 바다에 나가 있을 때 발견을 했고, 그 후에 그의 동료 피타고라스인들에 의해... 우주에서 ...을 부정하는 원소를 만들어냈다는 이유로 배 밖으로 던져졌다.우주의 모든 현상이 정수와 ^[9]그 비율로 축소될 수 있다는 교의"또 다른 전설은 히파수스가 단지 이 폭로로 인해 추방되었다고 말한다.히파수스 본인에게 어떤 결과가 있었든 간에, 그의 발견은 피타고라스 수학에 매우 심각한 문제를 제기했는데, 이는 숫자와 기하학이 분리될 수 없다는 가정, 즉 그들의 이론의 기초를 산산조각 냈기 때문이다.

믿기 어려운 비율의 발견은 그리스인들이 직면한 또 다른 문제를 나타내었다: 이산 대 연속의 관계.이것은 엘레아의 제노에 의해 밝혀졌는데, 그는 양이 이산적이고 주어진 크기의 유한한 수의 단위로 구성된다는 개념에 의문을 제기했습니다.그리스 개념들을 지나 그들이 꼭,"전체 수와 같은 비율이 분리된 개체의 두 모음 사이의 관계를 나타내는 개별 개체를 나타내"[10]을 위하야 하지만 제노는 사실 단위의 "일반적으로[양]이 아닌 이산 소장품을 발견했다;왜 비교할 수가 없는의 비율[양]이것은 받아쓰게 했다.나즉, pear...[Q]uantity는 연속적입니다.^[10]이것이 의미하는 것은, 당시의 일반적인 개념과는 달리, 어떤 양에 대해서도 분리할 수 없고, 가장 작은 측정 단위는 존재할 수 없다는 것입니다.사실, 이러한 양의 분할은 반드시 무한해야 합니다.예를 들어, 선분을 생각해 봅시다.이 세그먼트는 반으로 분할할 수 있고, 그 세그먼트는 반으로 분할할 수 있으며, 그 절반은 반으로 분할할 수 있습니다.이 프로세스는 무한히 계속될 수 있습니다.항상 또 다른 반이 분할되어 있기 때문입니다.세그먼트가 반감되는 횟수가 많을수록 측정 단위는 0에 가까워지지만 정확히 0에 도달하지는 않습니다.이것이 바로 제노가 증명하고자 했던 것이다.그는 네 가지 모순을 공식화함으로써 이것을 증명하려고 노력했고, 그것은 그 시대의 수학적 사고 속에 내재된 모순을 보여주었다.제노의 역설은 현재의 수학적 개념의 결함을 정확하게 보여주었지만, 그것들은 대안의 증거로 여겨지지 않았다.그리스인들의 생각으로는, 한 관점의 타당성을 반증하는 것이 다른 관점의 타당성을 반드시 증명하는 것은 아니었고, 따라서 더 많은 조사가 이루어져야만 했다.

다음 단계는 크니두스의 에우독소스에 의해 취해졌다. 그는 가환량뿐만 아니라 가환량을 고려한 새로운 비례 이론을 공식화했다.그의 생각의 중심은 규모와 숫자의 차이였다.매그니튜드는 숫자가 아니라 선분, 각도, 면적, 볼륨, 시간과 같은 연속적으로 변화하는 엔티티를 나타냅니다.4인치에서 ^[11]5인치로 한 값에서 다른 값으로 뛰어오르는 숫자에 대해 크기가 반대되었습니다.숫자는 분할할 수 없는 가장 작은 단위로 구성되어 있지만 크기는 무한히 축소할 수 있습니다.크기에 양적 값이 할당되지 않았기 때문에, Eudoxus는 그 크기 및 두 비율 사이의 동등성 비율의 관점에서 비율을 정의함으로써 가환 가능 비율과 비가환 가능 비율을 모두 고려할 수 있었다.그는 방정식에서 양적 값(숫자)을 빼냄으로써 무리수를 숫자로 표현해야 하는 함정을 피했다."에우독소스의 이론은 그리스 수학자들이 믿기 어려운 ^[12]비율에 필요한 논리적 기초를 제공함으로써 기하학에서 엄청난 발전을 이루게 했다."이러한 불협화음은 유클리드의 요소, 제 X권, 제안 9에서 다루어진다.에우독수스가 합리적 비율뿐만 아니라 비합리적인 비율을 고려한 비례 이론을 발전시킨 후에야 비합리적인 숫자의 강력한 수학적 ^[13]토대가 만들어졌다.

숫자와 크기의 차이로 인해 기하학은 비교할 수 없는 비율을 고려할 수 있는 유일한 방법이 되었다.이전의 수치적 기초가 여전히 불협화음의 개념과 양립할 수 없었기 때문에, 그리스인들은 대수학과 같은 수치적 개념에서 벗어나 거의 전적으로 기하학에 초점을 맞췄다.사실, 많은 경우에 대수적 개념은 기하학적 용어로 재구성되었다.이것이 왜 우리가 x와³ x를 x의 2제곱과 x의 3제곱 대신 x의 제곱과 x의 3제곱으로 생각하는지에² 대한 설명일 것이다.또한 제노의 믿을 수 없는 규모에서의 연구에 있어서도 초기 그리스 수학의 근본적 붕괴에서 비롯된 연역적 추론에 대한 근본적인 초점이었다.기존 이론 내의 어떤 기본적인 개념이 현실과 상충된다는 것을 깨닫기 위해서는 그 이론의 기초가 되는 공리와 가정에 대한 완전하고 철저한 조사가 필요했다.이 필요성 때문에, 에우독소스는 그의 탈진법을 개발했는데, 이것은 일종의 환원적이고 부조리한 것으로... 명시적인 공리를 바탕으로 연역적인 조직을 만들었다."와 더불어 "증거를 ^[14]위해 연역적 추론에 의존하기로 한 이전의 결정을 받아들였습니다."이 탈진법은 미적분학의 창조의 첫걸음이다.

키레네의 테오도로스는 17까지 정수들의 무리수를 증명했지만, 아마도 그가 사용한 대수를 ^[15]17의 제곱근에 적용할 수 없었기 때문에 거기서 멈췄다.

인도

인도의 베다 시대에는 제곱근과 같은 비합리적인 숫자와 관련된 기하학적, 수학적인 문제들이 매우 일찍 다루어졌다.삼히타, 브라흐마나, 슐바 수트라(기원전 800년 이전)에는 이러한 계산에 대한 언급이 있다.(인도 과학사 저널, 25(1-4), 1990 참조).

비합리성의 개념은 마나바 (기원전 750년경–690년)가 2와 61과 같은 숫자의 제곱근을 정확하게 ^[16]결정할 수 없다고 믿었던 기원전 7세기 이후 인도 수학자들에 의해 암묵적으로 받아들여졌다고 주장됩니다.그러나 역사학자 칼 벤자민 보이어는 "그런 주장은 충분히 입증되지 않았고 사실일 것 같지 않다"^[17]고 쓰고 있다.

또한 아랴바타(5세기)는 5개의 유효 숫자에 대한 파이의 값을 계산할 때 아산나(Asanna)(접근)라는 단어를 사용했는데, 이는 근사치일 뿐만 아니라 그 값이 비합리적이라는 것을 의미한다.

나중에, 그들의 논문에서, 인도 수학자들은 제곱근의 ^[18]분리와 추출뿐만 아니라 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 합리화를 포함한 산술에 대해 썼다.

브라흐마굽타와 바스카라 1세와 같은 수학자들이 이 분야에서 공헌을 했고, 그 뒤를 이은 다른 수학자들이 그랬다.12세기에 바스카라 2세는 이러한 공식들 중 일부를 평가하고 그 한계를 식별하며 비판하였다.

14세기에서 16세기 동안, 상암그라마의 마드하바와 케랄라 천문학 및 수학 학파는 θ와 같은 여러 무리수와 삼각함수의 비합리적인 값에 대한 무한 급수를 발견했다.자예하데바는 육티바하에서의 ^[19]이러한 무한 급수에 대한 증거를 제공했다.

중세 시대

중세에, 이슬람 수학자들에 의한 대수학의 발전은 무리수를 대수적 ^[20]개체로 취급할 수 있게 했다.중동의 수학자들은 또한 "숫자"와 "크기"의 개념을 더 일반적인 실수의 개념으로 통합했고, 유클리드의 비율 개념을 비판했고, 합성 비율 이론을 발전시켰고, 숫자의 개념을 연속적인 크기의 ^[21]비율로 확장했습니다.페르시아의 수학자 알-마하니(874/884)는 원소 10권에 대한 해설에서 2차 비합리성과 3차 비합리성을 조사하고 분류했다.그는 합리적이고 비합리적인 크기에 대한 정의를 제공했는데, 그는 그것을 비합리적인 수치로 취급했다.그는 그것들을 자유롭게 다루었지만 기하학적 용어로 다음과 ^[21]같이 설명한다.

예를 들어 10, 12, 3%, 6% 등이라고 하면 그 가치가 양적으로 표현되기 때문에 합리적(규모)이 될 것이다.합리적이지 않은 것은 불합리하고 그 가치를 양적으로 표현하고 발음하는 것은 불가능하다.예를 들어, 제곱이 아닌 10, 15, 20과 같은 숫자의 루트, 입방체가 아닌 숫자의 변 등입니다."

크기를 선으로 보는 유클리드의 개념과는 대조적으로, 알-마하니는 정수와 분수를 합리적인 크기로, 제곱근과 세제곱근을 비합리적인 크기로 간주했다.그는 또한 비합리성의 ^[21]개념에 대해 산술적 접근법을 도입했는데, 이는 다음과 같은 이유를 비합리적인 크기에 기인한다.

"합계나 차이점, 합계의 합계에 의한 결과, 비합리적인 값 또는 합계의 값에서 이러한 종류의 크기를 뺀 결과"

이집트 수학자 아부 카밀 슈자 이븐 아슬람 (850년경–930년)은 종종 제곱근, 세제곱근, 네 번째 ^[22]근의 형태로 2차 방정식의 해나 방정식의 계수로 비합리적인 숫자를 받아들인 최초의 수학자였다.10세기에 이라크의 수학자 알 하시미는 곱셈, 나눗셈, 그리고 다른 산술 ^[21]함수를 고려하면서 비합리적인 숫자에 대한 일반적인 증명(기하학적 증명보다는)을 제공했습니다.이란의 수학자 아부 자파르 알 카진(900–971)은 일정한 양이 ^[21]다음과 같을 경우 합리적, 비합리적인 규모의 정의를 제공한다.

"한 번 또는 여러 번 특정 등급에 포함되면, 이 (주어진) 등급은 합리적인 숫자에 해당합니다. . . . 이 (라이터) 크기가 (단위의) 등급의 절반, 3분의 1, 또는 4분의 1로 구성되거나 (단위와) 비교해서 3분의 1, 5 또는 3분의 5 또는 3분의 1로 구성될 때마다.그리고 일반적으로 이 규모(즉, 단위)에 해당하는 각 크기는 하나의 다른 숫자에 대한 수치로서 합리적이다.그러나 크기가 주어진 크기의 배수, 부분(1/n) 또는 부분(m/n)으로 표현될 수 없는 경우, 이는 불합리하며, 즉 루트를 통해서만 표현될 수 있다."

이러한 개념들 중 많은 것들이 결국 12세기 라틴어 번역 이후 유럽 수학자들에 의해 받아들여졌다.12세기 이슬람 상속법을 전공한 페즈 출신의 모로코 수학자 알-하사르는 먼저 분자와 분모가 수평 막대로 구분되는 분수 막대의 사용을 언급한다.그는 토론에서 "예를 들어 5분의 3과 $5분$의 3을 쓰라고 하면 $3$이라고 쓰세요$.$^[23]이 부분 표기는 13세기 ^[24]레오나르도 피보나찌의 작품에서 곧 등장합니다.

근대

17세기에는 아브라함 드 모이브르, 특히 레온하르트 오일러의 손에 의해 가상의 숫자가 강력한 도구가 되었다.19세기 복소수 이론의 완성은 비합리수를 대수적 숫자와 초월적 숫자로 구분하는 것, 초월적 숫자의 존재의 증명, 그리고 비합리수 이론에 대한 과학적 연구의 부활을 수반했는데, 유클리드 이후 대부분 무시되었다.1872년에 칼 바이어스트라스(제자 에른스트 코삭에 의해), 에두아르 하이네(크렐의 일기, 74), 게오르그 칸토르(아날렌, 5), 리하르트 데데킨트의 이론이 출판되었다.메레이는 1869년에 하이네와 같은 출발점을 취했지만, 그 이론은 일반적으로 1872년으로 언급된다.바이어스트래스의 방법은 1880년 ^[25]살바토레 핀첼에 의해 완전히 제시되었고, 데데킨드의 방법은 작가의 후기 작품(1888)과 폴 태너리(1894)의 지지를 통해 더욱 두드러졌다.바이얼스트라스, 칸토르, 하이네는 무한 급수에 기초하고 있으며, 데데킨트는 모든 유리수의 체계에서 절단(슈니트)에 대한 그의 생각을 발견하여 특정한 특성을 가진 두 개의 그룹으로 나누었다.이 주제는 나중에 바이얼스트라스, 레오폴드 크로네커(크렐레, 101)와 샤를 메레이의 손에 의해 기고되었다.

무리수와 밀접하게 관련된 연속분수는 오일러의 손에 의해 주목을 받았고, 19세기 초에 조셉 루이 라그랑쥬의 저서를 통해 두드러지게 되었다.디리클레는 또한 일반 이론에 추가되었고, 그 주제의 응용에 많은 기여를 했다.

요한 하인리히 램버트(1761)는 θ가 합리적일 수 없으며,^[26] n이 합리적이라면 e는 비합리적이라는 것을ⁿ 증명했다.램버트의 증거는 종종 불완전하다고 불리는 반면, 현대적 평가는 만족스러운 것으로 뒷받침하고 있으며, 사실 그 당시에 그것은 이례적으로 엄격하다.Adrien-Marie Legendre(1794년)는 베셀-Clifford 함수를 도입한 후 π이² 비합리적이라는 것을 증명하고, is도 비합리적이라는 것을 즉시 증명하였다.초월수의 존재는 Liouville (1844, 1851)에 의해 처음 확립되었다.나중에, 게오르크 칸토르는 실수의 모든 구간이 초월수를 포함한다는 것을 보여주는 다른 방법으로 그들의 존재를 증명했다.찰스 에르미트(1873)가 최초로 e초월성을 증명했고 페르디난트 폰 린데만(1882)이 헤르미트의 결론에서 출발한 §에 대해서도 같은 것을 보여주었다. 린데만의 증명은 바이얼스트라스(1885)에 의해 훨씬 단순화되었고, 데이비드 힐버트(1893)에 의해 더욱 심플화되었고, 마침내^{[citation needed]} 아돌프 후르비츠와 ^[27]고단(1893)에 의해 기초화 되었다.

예

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제곱근

2의 제곱근은 비합리적으로 증명된 첫 번째 숫자였고, 그 기사는 많은 증거를 포함하고 있다.황금 비율은 또 다른 유명한 2차 무리수이다.완전 제곱이 아닌 모든 자연수의 제곱근은 비합리적이며 2차 비합리수에서 증거를 찾을 수 있습니다.

일반근

2의 제곱근에 대한 위의 증명은 산술의 기본 정리를 사용하여 일반화 될 수 있다.이것은 모든 정수가 소수점으로의 고유한 인수분해를 가지고 있다고 주장한다.이것을 사용하면 유리수가 정수가 아닌 경우, 그 정수승은 정수가 될 수 없다는 것을 알 수 있습니다. 가장 낮은 항에서는 각각이 어떤 거듭제곱이 되든 분자로 나누어지지 않는 소수가 분모에 있어야 하기 때문입니다.따라서 정수가 다른 정수의 정확한 k제곱이 아닌 경우 첫 번째 정수의 k제곱은 비합리적입니다.

로그

아마도 가장 비합리성을 증명하기 쉬운 숫자는 특정 로그일 것이다.다음은 로그 3이 불합리하다는 모순된₂ 증거입니다(log₂ 3 1 1.58 > 0).

로그 3이 합리적이라고 가정합니다₂.일부 양의 정수 m과 n에 대해, 우리는

${\displaystyle \log _{2}3=syslogfrac {m}{n}}.}$

따라서

${\displaystyle 2^{m/n}=3}$

${\displaystyle (2^{m/n})^{n}=3^{n}}$

$(\displaystyle 2^{m}=3^{n}).}$

임의의 양의 정수승으로 상승하는 숫자 2는 짝수여야 하며(2로 나누어지기 때문에), 임의의 양의 정수승으로 상승하는 숫자 3은 홀수여야 합니다(소수 인수가 2가 되지 않기 때문에).분명히 정수는 홀수이면서 동시에 짝수일 수 없습니다. 우리는 모순을 가지고 있습니다.로그 3이 합리적이라는 유일한₂ 가정(n 0 0인 정수 m/n의 몫으로 표현 가능)입니다.모순은 이 가정이 거짓이어야 한다는 것을 의미한다. 즉, 로그₂ 3은 비합리적이며 n 0 0인 정수 m/n의 몫으로 절대 표현될 수 없다.

log 2와 같은₁₀ 케이스도 마찬가지로 취급할 수 있습니다.

종류들

• 번호 이론상의 구별: 초월적/추상적
• 정상/비정상(비정상)

초월적/대수적

거의 모든 비합리적인 숫자는 초월적이고 모든 실제 초월적인 숫자는 비합리적입니다(복잡한 초월적인 숫자도 있습니다). 초월적인 숫자에 대한 기사는 몇 가지 예를 제시합니다.따라서 ^r e와 θ는 ^r 0이 아닌 모든 유리 r에 대해 비합리적이며, 예를 들어 e도^π 비합리적이다.

무리수는 또한 계산 가능한 실수 대수적 수 집합(정수 계수를 가진 다항식의 실수 근으로 정의됨) 내에서 다항식의 실수 해로서 발견될 수 있다.

$\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0\;,}$

$여기$서 계수$$ {\$displaystyle a_{i}$는 $정수$이고 n${\displaystyle {}_{}0}$0 { $displaystyle a_{n}\neq$ 0$\}$입니다. 이 다항식의 모든 유리근은 r / s 형식이어야 합니다. 여기서 r은 a의₀ 제수이고 s는 a의_n 제수입니다.$p$의 $실수근{\displaystyle {}_{}}$ x $({$$displaystyle$$x_{0})$이 이$$ 많은 가능성 중 하나가 아닌 경우에는 비합리적인 대수적 숫자여야 한다.그러한 대수 irrationals의 존재에 대한 모범적인 증거 정수 계수가 다항식의 x0)(21/2+1)1/3은 비이성적인 뿌리를 보여 줌으로써:그것이므로 − 1=− 2x3 0x6, 그리고 이 후자 다항식(는 유일한 후보들과 x0, 1보다 큰 것±1 있는지 어떤 합리적인 뿌리를 두고 있어,neit은(x3 1−)2=2을 만족시킨다.그녀를 thes의e) 즉₀, x는 비합리적인 대수적 숫자이다.

대수적 숫자는 실수의 하위 필드를 형성하기 때문에, 많은 비합리적인 실수는 초월수와 대수적 수를 결합함으로써 구성될 수 있다.예를 들어, 3µ + 2, δ + δ2 및 eδ3은 비합리적입니다(그리고 초월적이기도 합니다).

십진수 확장

무리수의 십진수 확장은 어떤 유리수와 달리 절대 반복되거나 종료되지 않습니다(후자는 0을 반복하는 것과 동일).이진수, 8진수 또는 16진수 확장에 대해서도 마찬가지이며, 일반적으로 자연 기저를 사용하는 모든 위치 표기의 확장에 대해서도 마찬가지입니다.

이를 나타내기 위해 정수 n을 m으로 나눕니다(여기서 m은 0이 아닙니다).긴 나눗셈을 n을 m으로 나누면 m보다 크거나 같은 나머지가 있을 수 없다.0 이 나머지로 표시되는 경우는, 10 진수 확장이 종료됩니다.0이 발생하지 않는 경우 알고리즘은 최대 m - 1단계까지 실행할 수 있습니다.나머지는 두 번 이상 사용하지 않습니다.그 후, 나머지가 반복되어 소수점 확장이 반복됩니다.

반대로 반복 소수점에 직면했다고 가정하면 두 정수의 소수점임을 증명할 수 있습니다.예를 들어 다음과 같습니다.

${\displaystyle A=0.7,162,162,162,\ldots}$

여기서 반복은 162이고 반복의 길이는 3이다.우선 10의 적절한 곱셈을 해서 소수점을 오른쪽으로 이동시켜 반복의 바로 앞에 놓는다.이 예에서는 10을 곱하면 다음과 같이 됩니다.

${\displaystyle 10A=7.162,162,162,\ldots}$

이제 이 방정식에 10을^r 곱합니다. 여기서 r은 반복의 길이입니다.이것은 소수점을 "다음" 반복의 앞으로 이동시키는 효과가 있습니다.이 예에서는 10을³ 곱합니다.

$\ display style 10,000A=7,162.162,162,\ldots }$

두 곱셈의 결과는 정확히 동일한 "10진수 부분"을 가진 두 개의 다른 식을 제공합니다. 즉, 10,000A의 끝부분이 10A의 끝부분과 정확히 일치합니다.여기서 10,000A와 10A 모두 소수점 뒤에 .162162...가 있습니다.

따라서 10,000A 방정식에서 10A 방정식을 빼면 10A의 테일엔드가 10,000A의 테일엔드를 상쇄하여 다음과 같이 됩니다.

$(\displaystyle 9990A=7155).}$

그리고나서

$({displaystyle A}=black {7155}{9990}}=black {53){74}}$

는 정수의 비율이며, 따라서 유리수입니다.

비합리력

Dov Jarden은 a가 ^[28]합리적이라는^b 두 개의 비합리적인 숫자 a와 b가 존재한다는 단순한 비건설적 증거를 제시했다.

22를^√2 고려합니다. 이것이 합리적이라면 a = b = 22를 취합니다.그렇지 않으면 a를 비합리수^√2 and2로 하고 b = and2로 한다.그러면^b a = (θ2^√2)^√2 = 22^√2·√2 = 22² = 2로, 이는 유리하다.

위의 주장이 두 경우 사이에서 결정되는 것은 아니지만, 겔폰드-슈나이더 정리는 δ2가^√2 초월적이므로 비이성적이라는 것을 보여준다.이 정리는 만약 a와 b가 둘 다 대수적인 숫자이고, a가 0이나 1과 같지 않고, b가 유리수가 아니라면, a의 어떤^b 값도 초월적인 숫자이다(복소수 지수를 사용하면 둘 이상의 값이 있을 수 있다).

간단한 건설적인 증거를^[29] 제공하는 예는 다음과 같습니다.

${\displaystyle \left\displayrt {2}}\right}^{\log _{\displayrt {2}}=3.}$

왼쪽의 밑변은 비합리적이고 오른쪽은 유리하기 때문에 왼쪽의 ${\displaystyle {\mathrm{지수}}_{}}$ log $2$ 3 {\$sqrt$ {2$}}3}$이$$비합리적이라는 것을 증명해야 합니다.이는 서로 다른 밑수를 가진 대수를 연관짓는 공식에 의해

${\displaystyle \log {2}}3=blac {\log _{2}{\log rt {2}}}=blac {\log _{2}3}{1/2}=2\log _{2}3}$

우리는 모순을 확립하기 위해 양의 정수의 비율 m/n과 같다고 가정할 수 있다.$다음$으로 ${\displaystyle {로그\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle 3^{}}$ 3${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle =m}$ / ${\displaystyle 2}$n ( \ $displaystyle$\ $log$_ { $2$} 3 ${\displaystyle {}^{}}$$$${\displaystyle {\mathrm{}}^m}$ / ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ( \ $log$_ {$2$ } = ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$$$${\displaystyle =}$ 2 ${\displaystyle m^{}}$ / ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{n<img\; alt="2^\{\backslash log\; \_\{2\}3\}=2^\{m/2n\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/b07e0fa7cf01c98025273df02b23d43ca5617bf2"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:14.103ex;\; height:2.843ex;">}}^{}}$( \ $displaystyle$ 3$=$2 m / 2 n$$$$) = $2$m / 2 n ( \ displaystyle 3 ${\displaystyle {n\mathrm{}}^{}}$$$) ${\displaystyle {}^{}}$ 2 ${\displaystyle m^{}}$ / 2$$${\displaystyle n^{}}$ )ce는 산술의 기본 정리를 위반합니다(소인수분해).

보다 강력한 결과는 다음과 같습니다.^[30]${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle 1}$/${\displaystyle {}^{}e}$ )${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ /${\displaystyle {}^{}{e}^{}}$ , )$$ $displaystyle$( ( $1$/ $e$)^{$1$ / $e$, \ $infty$) } 의$$ 각 유리수는, 무리수 a 의 경우는 a 로서^a, 자연수 n 의 경우는 n 로서ⁿ 쓸 수 있습니다.마찬가지로 ^[30]모든 양의 유리수는 어떤 무리수 a에 ${\displaystyle {{대해서}^{}}^{}}$는$$\$displaystyle$ a$^{a^{a}},$ 어떤$$ 자연수 n에 대해서는 $\$ n$^{n^{n}}$으로 쓸 수 있다.

오픈 질문

${\displaystyle +}$ +$$ \ $displaystyle \ pi$ +$e$ $$（ ${\displaystyle -}$ -$$ \ $displaystyle$\$pi$ -$$e$$） $ational{\displaystyle }$ it it it it it it it 。실제로 m${\displaystyle n}$ + ${\displaystyle n}$e \ $display$m \ $pi + ne$ } 이$$ 비합리적인지 $여부$를 알 수 있는 0 $이외$의 $정수{\displaystyle }$m , $n$은 존재하지$$ 않습니다.또한 집합${\displaystyle }${${\displaystyle }$}, ${\displaystyle e}$}({$displaystyle \{\pi,$ e\})이$$ Q$({$에 대해 대수적으로 독립적인지는 알 수 없습니다.

${\displaystyle e}$e ,${\displaystyle \text{display}}$ /${\displaystyle e}$ , ${\displaystyle 2^{}}$e ,$$e , $\pi /$e , \ $2^{e , \pi ^{e$ , $\pi ^{e}$ , $\ln$\pi$$$$, \$sqrt$ {2} , \ln \pi , 카탈로니아 상수$,$ \$mascheroni$ ${\displaystyle \mathrm{상수}}$는 알 수 없습니다.${\displaystyle {}^{}}$ n ${\$ \ $displaystyle$^ { $n$} \ $pi }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$e \ $displaystyle$^ {$n$ }$e$$$중 하나가 n>.{ $displaystyle$ n $>$$1$에 대해 합리적인지는 알 수 없습니다.$}$^{[citation needed]}

건설 수학에서

건설 수학에서, 제외된 중간은 유효하지 않기 때문에, 모든 실수들이 유리하거나 비합리적이라는 것은 사실이 아니다.따라서 무리수의 개념은 여러 개의 다른 개념으로 분리된다.비합리적인 숫자에 대한 전통적인 정의를 합리적이지 않은 ^[34]실수로 받아들일 수 있다.그러나 건설 수학에서 사용되는 비합리적인 숫자에 대한 두 번째 정의가 있다. 즉, $실수{\displaystyle }$r(\$displaystyle$ r$)$이$$$$ 모든 유리수와 떨어져 있는 경우 또는 r$(\displaystyle$ $\vert r-q\vert)$과 모든 유리 n 사이의 $거리{\displaystyle }$${\displaystyle }$r -$$$q$(\displaystyle \vert r-q\vert)인 경우 비합리적인 숫자이다.$umber{\displaystyle }$q(\$displaystyle$q)는$$ 양수입니다.이 정의는 비합리적인 숫자에 대한 전통적인 정의보다 강하다.이 두 번째 정의는 2의 제곱근이 ^[35]비합리적이라는 Errett Bishop의 증명에 사용됩니다.

모든 무리수 집합

실수는 셀 수 없는 집합을 형성하기 때문에, 그 중 유리수는 셀 수 있는 부분 집합이므로, 비합리수의 보완적인 집합은 셀 수 없다.

통상적인 (유클리드) 거리 $함수{\displaystyle }$d (${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle y}$ ) $=$ -$$y ( \ $displaystyle$d ($x$ , y )=\$vert x-y\vert$에서, 실수는 미터법 공간이며, 따라서 위상 공간이기도 하다.유클리드 거리 함수를 제한하는 것은 비합리적으로 미터법 공간의 구조를 제공한다.비합리적인 부분공간은 닫히지 않기 때문에 유도측정지표가 완전하지 않다.완전한 메트릭 공간에서 G-델타 집합(즉, 열린 부분 집합의 계수 가능한 교차점)이기 때문에, 비합리적인 공간은 완전히 측정 가능하다. 즉, 유클리드 메트릭의 제한과 동일한 위상을 유도하는 비합리적인 메트릭이 존재하지만, 비합리적인 메트릭이 완료되는 것과 관련하여 비합리적인 메트릭이 존재한다.G-delta 집합에 대한 앞서 언급한 사실 없이도 이것을 알 수 있다: 비합리수의 연속적인 분수 팽창은 비합리수의 공간에서 양의 정수의 모든 수열의 공간까지 동형성을 정의하며, 이것은 쉽게 완전히 계량할 수 있는 것으로 보인다.

또한 모든 불합리성의 집합은 분리된 계량 가능한 공간이다.사실, 부분 공간 토폴로지를 갖춘 비합리적인 것들은 클론 집합의 기초를 가지고 있기 때문에 공간은 0차원이다.

「 」를 참조해 주세요.

• 브르주노 수
• 계산가능수
• 디오판틴 근사
• e가 불합리하다는 증거
• is가 불합리하다는 증거
• 3의 제곱근
• 5의 제곱근
• 삼각수

번호 체계 복잡한 ${\displaystyle:\;\mathbb {C}}$ 진짜 $\displaystyle :\;\mathbb {R}$ 합리적인 ${\displaystyle:\;\mathbb {Q}}$ 정수 ${\displaystyle:\;\mathbb {Z}}$ 자연의 ${\displaystyle:\;\mathbb {N} }$ 제로: 0 하나: 1 소수 합성수 음의 정수 분율 유한 소수점 Dynadic(유한 이진수) 반복 소수점 비이성 대수적 비합리 초월적 상상의

레퍼런스

추가 정보

• Adrien-Marie Legendre, Elements de Géometrie, Note IV, (1802), 파리
• 롤프 왈리서, 대수적 수 이론과 디오판틴 분석, 프란츠 할터 코흐와 로베르 F.티치, (2000), 발터 드 그루이어

외부 링크

• 2016년 5월 13일 웨이백 머신에 보관된 제노의 패러독스와 불협화음.2008년 4월 1일 취득
• Weisstein, Eric W. "Irrational Number". MathWorld.