곱셈 파티션

수 이론에서 정수 n의 곱셈 파티션이나 순서 없는 인자화는 n을 1보다 큰 정수의 산물로 쓰는 방법으로, 두 제품이 인자의 순서에서만 다를 경우 등가로 취급한다.숫자 n은 그 자체로 이 제품들 중의 하나로 간주된다.승법적 파티션은 양적 정수의 유한한 시퀀스의 부가적 파티션인 Andrews(1976년)에서 논의된 다중 사이트 파티션 연구와 매우 유사하며, 추가는 점으로 볼 수 있다.적어도 1923년부터는 승화 칸막이에 대한 연구가 진행되어 왔지만, 「복제 칸막이」라는 명칭은 휴즈 앤 셸리트(1983)에 의해 소개된 것으로 보인다.라틴어 이름 "factorisatio mumorum"은 이전에 사용된 적이 있다.MathWorld는 비순번 인자화라는 용어를 사용한다.

예

• 숫자 20은 4개의 곱셈 파티션을 가지고 있다: 2 × 2 × 5, 2 × 10, 4 × 5, 20.
• 3 × 3 × 3 × 3, 3 × 9, 3 × 27, 9 × 9, 81은 81 = 3의⁴ 5 곱셈 칸막이로, 프라임의 4번째 힘이기 때문에 81은 4 곱셈 칸막이와 같은 수(5)의 곱셈 칸막이를 가진다.
• 숫자 30은 5개의 곱셈 파티션을 가지고 있다: 2 × 3 × 5 = 2 × 15 = 6 × 5 = 3 × 10 = 30.
• 일반적으로 i 주요 요인이 있는 정사각형 없는 숫자의 곱셈 파티션 수는 iH 벨 번호 B이다_i.

적용

휴즈 앤 샬릿(1983)은 주어진 수의 구분자를 가진 정수를 분류하는 데 있어서 다중 파티션의 적용을 설명한다.예를 들어 정확히 12개의 칸막이가 있는 정수는 p¹¹, p×q⁵, p²×q³, p×q, p×q, p×qr의² 형태를 취하는데, 여기서 p, q, r은 구별되는 소수이다. 이 형식들은 각각 12, 2×6, 3×4 및 2×2의 승수 칸막이에 해당한다.일반적으로 각 승법 파티션에 대해

${\displaystyle k=\prod t_{i}}$

정수 k의 경우, 정확히 k개의 divisor를 갖는 정수의 클래스에 해당한다.

${\displaystyle \prod p_{i}^{t_{i}-1}$

각각의_i p가 뚜렷한 전성기인 곳.이 대응은 분점함수의 곱셈적 속성에서 비롯된다.

파티션 수 제한

오펜하임(1926)은 McMahon(1923) harvtxt 오류: 목표 없음: CITEDREFMcMahon1923 (도움말) n의 곱셈 칸막이의 수를 세는 문제를 안고 있음; 이 문제는 그 후 다른 사람들에 의해 인자사티오 숫자라는 라틴어 이름으로 연구되었다.n의 곱셈 파티션 수가 a인_n 경우, McMahon과 Oppenheim은 Diriclet 시리즈 생성 함수 f(s)가 제품 표현을 가지고 있다고 보았다.

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\inflt }{a_{n}}}{n^}}}=\prod _{k=2}^{nflt }{1}{1-k^{-s}}}.}$

숫자 a의_n 순서가 시작된다.

1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 2, 5, ... (OEIS에서 연속 A001055).

오펜하임은 또한 a양식의_n 상한을 주장했다.

${\displaystyle a_{n}\leq n\left(\exp) {\frac {\log n\log \log n}{\log n}\right)^{-2+o(1)}}$

그러나 캔필드, 에르드스 & 포머런스(1983)가 보여주었듯이, 이 구속은 잘못된 것이고 진정한 구속은 잘못된 것이다.

${\displaystyle a_{n}\leq n\left(\exp) {\frac {\log n}{\log n}\log \log n}\right)^{-1+o(1)}}$

이 두 한계 모두 n의 선형에서 멀지 않다: 그들은 n의^1−o(1) 형태다.단, a의_n 일반적인 값은 훨씬 작다: 간격 x ≤ n ≤ x+N에서 평균한 a의_n 평균값은

${\displaystyle {\bar}}=\exp \left({\frac {4{\sqrt{\log N}}}{\\log N}}{{\bigl (}1+o(1){\bigr )}\right),}$

n형^o(1)(루카, 묵호파디하이 & 스리니바스 2008)인 바운드.

추가 결과

캔필드, 에르드제스 & 포메란스(1983)가 관찰하고 루카, 묵호파디야 & 스리니바스(2008)는 대부분의 숫자가 일부 n의 승법 파티션의 숫자 a_n: 이러한 방식으로 발생하는 N보다 적은 값의 수가^{O(log log log N / log log N)} N이므로 발생할 수 없음을 증명한다.또한 Luca, Mukhopadhyy & Srinivas(2008)는 n의 대부분의 값이 a_n: n의 배수가 아니라는 것을 보여준다: n values N의 값을 나누면_n n이 O(N / 로그^{1 + o(1)} N)가 된다.

참고 항목

• 칸막이(숫자 이론)
• 디비소르

참조

• Andrews, G. (1976), The Theory of Partitions, Addison-Wesley, 12장.
• Canfield, E. R.; Erdős, Paul; Pomerance, Carl (1983), "On a problem of Oppenheim concerning "factorisatio numerorum"", Journal of Number Theory, 17 (1): 1–28, doi:10.1016/0022-314X(83)90002-1.
• Hughes, John F.; Shallit, Jeffrey (1983), "On the number of multiplicative partitions", American Mathematical Monthly, 90 (7): 468–471, doi:10.2307/2975729, JSTOR 2975729.
• Knopfmacher, A.; Mays, M. (2006), "Ordered and Unordered Factorizations of Integers", Mathematica Journal, 10: 72–89. MathWorld에서 인용한 바와 같이.
• Luca, Florian; Mukhopadhyay, Anirban; Srinivas, Kotyada (2008), On the Oppenheim's "factorisatio numerorum" function, arXiv:0807.0986, Bibcode:2008arXiv0807.0986L.
• MacMahon, P. A. (1923), "Dirichlet series and the theory of partitions", Proceedings of the London Mathematical Society, 22: 404–411, doi:10.1112/plms/s2-22.1.404.
• Oppenheim, A. (1926), "On an arithmetic function", Journal of the London Mathematical Society, 1 (4): 205–211, doi:10.1112/jlms/s1-1.4.205, archived from the original on 2013-04-15.

추가 읽기

• Knopfmacher, A.; Mays, M. E. (2005), "A survey of factorization counting functions" (PDF), International Journal of Number Theory, 1 (4): 563–581, doi:10.1142/S1793042105000315

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Unordered Factorization". MathWorld.