승수함수

수 이론에서, 승법 함수는 f(1) = 1과 같은 속성을 가진 양의 정수 n의 산술 함수 f(n)이다.

a와 b가 함께 있을 때마다

산술 함수 f(n)는 조합되지 않은 경우에도 f(1) = 1과 f(ab) = f(a)f(b)가 모든 양의 정수 a와 b에 대해 고정하면 완전히 곱(또는 완전히 곱)이라고 한다.

예

일부 승법 함수는 공식을 쓰기 쉽게 하기 위해 정의된다.

• 1(n): 1(n) = 1(승수)로 정의되는 상수 함수
• Id(n): Id(n) = n(완전 승수)으로 정의되는 ID 함수
• Id_k(n): 모든 복잡한 숫자 k(완전 승수_k)에 대해 Id(n) = n으로^k 정의되는 전력 함수.특별한 경우로서.
  • Id₀(n) = 1(n) 및
  • Id₁(n) = Id(n).
• ε(n): ε(n) = 1 만약 n = 1과 0이 아니라면 1로 정의되는 함수로서, 때로는 디리클레 컨볼루션의 곱셈단위 또는 단순히 단위함수(완전 곱셈)라고 부르기도 한다.μ(n)로 표기하기도 하지만, μ(n)과혼동해서는 안 된다.
• 1_C(n), 특정 집합 C에 대해 설정된 C ⊂ Z의 표시기 기능.표시기 함수 1_C(n)은 C가 coprime number a와 b에 대해 다음과 같은 속성을 가질 때 정확하게 곱한다: a와 b가 모두 C에 있는 경우에만 제품 ab가 C에 있다.C가 정사각형, 정육면체 또는 k-th 파워의 집합이거나, C가 정사각형이 없는 숫자의 집합인 경우다.

그 밖의 승법함수의 예는 다음과 같이 수 이론에서 중요한 많은 함수를 포함한다.

• gcd(n,k): n과 k의 함수로서 n과 k의 최대 공통점, 여기서 k는 고정 정수다.
• ${\displaystyle \phi }$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \varphi (n)}$: 오일러의 토텐셜 $함수{\displaystyle }$ $\$ {\$displaystyle \varphi$}, 양의 정수 coprime을 n(보다 크지는 않지만 크지 않음)에 계산함
• μ(n): 뫼비우스 함수, 제곱이 없는 숫자의 주요 인자 수의 패리티(-1 홀수, 짝수 +1); n이 제곱이 없는 경우 0
• σ_k(n): divisor 함수, 이것은 n의 모든 양의 divisor(k가 복잡한 숫자일 수 있음)의 k번째 힘의 합이다.특별한 케이스가 있음
  • σ₀(n) = d(n) n의 양분자 수,
  • σ₁(n) = σ(n), n의 모든 양분자의 합이다.
• a(n): 비 이형 아벨 그룹의 순서 n.
• λ(n): Louville 함수, λ(n) = (-1)^Ω(n) 여기서 Ω(n)은 n.(완전 곱셈)을 나누는 총 소수(복수성으로 계산됨)이다.
• γ(n) = (-1)로 정의되는 ^ω(n)γ(n) 여기서 첨가함수 Ω(n)은 n을 나눈 구별되는 소수 수입니다.
• τ(n): 라마누잔 타우 함수.
• 모든 디리클레 문자는 완전히 곱셈함수다.예를 들면
  • (n/p), 범례 기호로서 n의 함수로 간주되며, 여기서 p는 고정 소수임.

비복제함수의 예로는 산술함수 r₂(n) - 양수, 음수 또는 0의 두 정수의 제곱합으로서 n을 나타내는 횟수가 있으며, 여기서 방법의 수를 계산하면 순서의 역전이 허용된다.예를 들면 다음과 같다.

따라서₂ r(1) = 4㎛ 1이다.이것은 그 기능이 승산이 없다는 것을 보여준다.단, r₂(n)/4는 승법이다.

정수 시퀀스의 온라인 백과사전에서는 승수 함수의 값 시퀀스에는 "멀티"라는 키워드가 있다.

비복제 함수의 다른 예는 산술 함수를 참조하십시오.

특성.

곱셈함수는 산술의 기본 정리의 결과인 소수점 위력에서의 값에 의해 완전히 결정된다.따라서 n이 구별되는 primes의 힘의 산물인 경우 n = p^a q^b ..., f(n) = f(p^a) f(q^b)라고 한다.

이러한 승법 함수의 속성은⁴ n = 144 = 2 · 3의² 다음 예에서와 같이 계산의 필요성을 현저하게 감소시킨다.

이와 유사하게 다음과 같은 이점을 얻을 수 있다.

일반적으로 f(n)가 승법 함수이고 a가 a이면 b는 어느 두 개의 양의 정수인 경우

모든 완전 승법 함수는 모노이드의 동형상이며, 소수점 제한에 의해 완전히 결정된다.

콘볼루션

f와 g가 두 개의 승법 함수인 경우, 하나는 f와 g의 새로운 승법 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f*g}$, dirichlet convolution of f와 g를 정의한다.

합계가 n의 모든 양의 d에 걸쳐 있다.이 연산을 통해 모든 승법함수의 집합이 아벨 그룹으로 변하며, 아이덴티티 요소는 ε이다.콘볼루션은 덧셈에 비해 대응적이고, 연상적이며, 분배적이다.

위에서 논의한 승법 기능 간의 관계에는 다음이 포함된다.

• ${\displaystyle ㎕\ast }$ ${\displaystyle 1}$= ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \mu *1=\varepsilon }($Möbius 반전 공식)
• ${\displaystyle ({\mathrm{\mu Id}}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$) ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle {Id}_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle (\mu \operatorname {Id} _{k}*\operatorname {Id} _{k}=\varepsilon }($일반화된 뫼비우스 반전)
• ${\displaystyle \varphi *1=\operatorname {Id} }$
• ${\displaystyle d=1*1}$
• ${\displaystyle \sigma =\operatorname {Id} *1=\varphi *d}$
• ${\displaystyle \sigma _{k}=\operatorname {Id} _{k}*1}$
• ${\displaystyle \operatorname {Id} =\varphi *1=\sigma *\mu }$
• ${\displaystyle \operatorname {Id} _{k}=\sigma _{k}*\mu }$

디리클레 콘볼루션은 일반적인 산술 함수에 대해 정의될 수 있으며 고리 구조인 디리클레 링을 산출한다.

두 개의 승법 함수의 디리클레 컨볼루션은 다시 승법이다.이러한 사실의 증거는 비교적 프라임 $a{\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\$에 대해 다음과 같은 확장에 의해 제시된다$.$

일부 승법 함수에 대한 디리클레 시리즈

• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\mu(n)}{n^{s}}={\frac {1}{\zeta(s)}}}}}$
• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}}}}}}$
• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {d(n)^{2}}:{n^{s}}={\frac {\zeta(s)^{4}{\zeta(2s)}}}}}}$
• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {2^{\omega(n)}}{n^{n^{s}}={\frac {\zeta(s)^{2}}{\\zeta(2s)}}}}}}}$

디리클레 시리즈에 관한 기사에는 더 많은 예가 나와 있다.

F_q[X]에 대한 곱셈 함수

q 원소가 있는 유한장 위의 다항식 링 A = F_q[X]를 허용한다.A는 주요한 이상적인 영역이며 따라서 A는 고유한 요소화 영역이다.

A의 복합 값 함수 ${\displaystyle \lambda }$는 f와 g가 비교적 프라임일 때마다$$ $\lambda {\displaystyle }$ (${\displaystyle f)}$= ${\displaystyle \lambda }$(${\displaystyle f}$ $){\displaysty \lambda (f)=\lambda (g)}$이면 곱이라고 한다.

F_q[X]의 제타 함수 및 디리클레 시리즈

h를 다항식 산술 함수(즉, A를 초과하는 일항 다항식 집합에 대한 함수)로 한다.해당하는 Dirichlet 시리즈는 다음과 같이 정의된다.

$여기$서 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathrm{A}}$${\displaystyle }$, ${\displaystyle g\in A,}$에 대해 ${\displaystyle g}$${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{deg}(}^{}}$ g${\displaystyle {}^{}}$) ${\$ g $=q^{\deg(g)}},$${\displaysty g\neq 0,}$ 및 ${\displaystyle g}$ = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystystyle$ g $=0}$을 다르게$$ 설정하십시오$$.

다항식 제타 함수는 다음과 같다.

N의 상황과 유사하게, 모든 Dirichlet 시리즈는 곱셈함수 h의 제품 표현(Uler 제품)을 가지고 있다.

제품이 모든 단일 불분명한 다항식 P에 걸쳐 실행되는 경우.예를 들어, 제타 함수의 제품 표현은 정수와 같다.

기존의 제타 함수와는 달리 $\zeta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle \zeta _{A}s}$는 단순한$$ 이성 함수다.

유사한 방법으로 f와 g가 두 다항식 산술 함수인 경우, 하나는 f * g, dirichlet convolution of f와 g를 정의한다.

여기서 합계는 m의 모든 단수 d에 걸쳐 있거나, 또는 m의 곱이 m인 단수 다항식의 모든 쌍(a, b)에 대해 동등하게 된다.ID $D{\displaystyle {}_{}}$ h ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle h_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\$는 여전히$$ 고정되어 있다.

참고 항목

• 오일러 제품
• 벨 시리즈
• 램버트 시리즈

참조

• 의 2장 참조Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001

외부 링크

• 플래닛 수학