곱셈으로 닫힌 집합

추상 대수학에서 승법적으로 닫힌 집합(또는 승법 집합)은 다음과 같은 두 조건이 유지되도록 링 R의 부분 집합 S이다.^[1][2]

• ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \in }$ S ${\displaystyle 1\in$ S$\},$
• ${\displaystyle xy}$ $S{\displaystyle }$${\displaystyle xy\in S},$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ S ${\displaystyle$ x$,y\in$ S$\}.$

즉, S는 빈 제품 1을 포함하여 유한한 제품을 취하하여 폐쇄된다.^[3]동등하게, 곱셈 집합은 반지의 곱셈 단모형의 하위모형이다.

곱셈 집합은 특히 역행 대수에서 중요하다. 역행 링의 국소화를 만드는 데 사용된다.

반지 R의 부분집합 S는 분할자 아래에 닫힌 경우 포화상태라고 불린다. 즉, 제품 xy가 S에 있을 때마다 원소 x와 y도 S에 있다.

예

승법 집합의 예는 다음과 같다.

• 교환 링에 있는 주요 이상에 대한 설정-제곱 보완물
• 세트 {1, x, x², x³, x, ...}, 여기서 x는 링의 요소다.
• 반지의 단위 세트
• 링에 있는 비제로디바이스 세트
• 이상적인 I을 위한 1 + I
• 요르단-요르단 강Polya 숫자, 요인들에 대한 승법적 폐쇄

특성.

• 교감 링 R의 이상적인 P는 그것의 보완 R ∖ P가 곱절적으로 닫힌 경우에만 프라임이다.
• 부분집합 S는 포화상태에 있고 S가 원시 이상 조합의 보완인 경우에만 복수적으로 닫힌다.^[4]특히, 주요한 이상에 대한 보완은 포화상태와 승법적으로 폐쇄되어 있다.
• 승법 집합의 계열의 교차점은 승법 집합이다.
• 포화상태의 집단의 교차점은 포화상태다.

참고 항목

• 링의 국소화
• 우측 분모 세트

메모들

참조

• M. F. 아티야와 I. G. 맥도날드, 정류 대수학 소개, 애디슨 웨슬리, 1969.
• 데이비드 아이젠부드, 대수 기하학을 바라보는 정류 대수학, 스프링거, 1995.
• Kaplansky, Irving (1974), Commutative rings (Revised ed.), University of Chicago Press, MR 0345945
• 2002년 스프링거, 대수학 3부 세르게이 랭입니다