냅킨 접힘 문제

Napkin folding problem

냅킨 접기 문제는 네모난 냅킨이나 직사각형 냅킨을 접는 것이 둘레를 늘릴 수 있는지를 탐구하는 종이접기 수학과 기하학에서의 문제이다.이 문제는 그리고리 마굴리스 문제, 블라디미르 아놀드와 러시아 루블 지폐 접힘과 관련된 아놀드의 루블 문제 등 여러 이름으로 알려져 있다.문제의 일부 버전은 Robert J. Lang, Svetlana Krat, Alexey S에 의해 해결되었습니다. 타라소프, 이반 야첸코.문제의 한 가지 형태는 아직 해결되지 않았다.

제제

접힘의 개념을 정의하는 방법은 여러 가지가 있으며, 다양한 해석을 제공합니다.관례상 냅킨은 항상 단위 정사각형이다.

직선을 따라 접기

냅킨의 모든 층을 반사하는 선을 따라 접히는 것을 반사라고 생각하면, 주변은 항상 증가하지 않기 때문에 [1][2]4를 넘지 않습니다.

냅킨의 한 층만을 반사할 가능성이 있는 보다 일반적인 접힘(이 경우 각 접힘은 직선의 한쪽에 있는 접힘 냅킨의 연결된 구성 요소의 반사)을 고려함으로써,[3] 이러한 접힘의 시퀀스가 경계를 증가시킬 수 있는 경우에도 여전히 열려 있습니다.즉, 산주름, 계곡주름, 역주름 및/또는 싱크주름의 조합을 사용하여 접을 수 있는 솔루션이 존재하는지 여부는 아직 알 수 없습니다(후자의 경우 모든 접힘이 단일 선을 따라 형성됨).물론 보다 제한적인 정토 종이접기를 사용하여 이러한 접기가 가능한지 여부도 알려지지 않았다.

스트레칭 없이 접기

냅킨을 접을 때 늘리지 않는 단단한 종이접기의 제약 속에서 실현 가능한 구성을 요구할 수 있다.2004년 A.타라소프는 그러한 건축물을 실제로 얻을 수 있다는 것을 보여주었다.이것은 원래의 [4]문제에 대한 완전한 해결책이라고 할 수 있습니다.

결과만 중요한 경우

접힌 평면 냅킨이 있는지(그 모양으로 어떻게 접혔는지와 상관없이) 물어볼 수 있다.

로버트 J. 랭은 1997년에[2] 몇몇 고전적인 종이접기 건축물이 쉬운 해결책을 만들어 [5]낸다는 것을 보여주었다.실제로 Lang은 구조를 더 복잡하게 함으로써 원하는 만큼 둘레를 크게 만들 수 있으며, 동시에 평평하게 접힌 솔루션을 만들 수 있음을 보여주었습니다.그러나 그의 건축물은 싱크폴드와 관련된 형태를 사용하기 때문에 반드시 단단한 종이접기는 아니다.싱크대나 움푹 패이지 않은 접힘에서는 스트레칭이 필요 없지만 평탄한 결과를 얻기 전에 중간 단계에서 용지를 통해 1개 이상의 주름을 연속적으로 구부리거나 쓸어야 하는 경우가 많습니다.싱크폴드를 기반으로 한 일반적인 접이식 솔루션이 존재하는지 여부는 미해결 문제입니다.[citation needed]

1998년, I. Yaschenco는 더 큰 [6]둘레의 평면에 투영된 3D 폴딩을 제작했습니다.이것은 수학자들에게 아마도 [citation needed]그 문제에 대한 납작한 접힌 해결책이 있을 것이라는 것을 암시했다.

스베틀라나 [7]크라트도 같은 결론을 내렸다.그녀의 접근 방식은 다릅니다. 그녀는 경계를 늘리는 "럼플링"을 매우 단순하게 구성한 다음 "럼플링"이 "접기"에 의해 임의로 잘 근사될 수 있음을 증명합니다.기본적으로 그녀는 중간 [citation needed]단계에서 스트레칭을 허용한다면 접는 방법에 대한 정확한 세부 사항은 별로 중요하지 않다는 것을 보여준다.

솔루션

Lang의 솔루션

N = 5인 Lang 성게 용액의 주름 패턴

랭은 두 가지 [5][8]다른 해결책을 고안했다.둘 다 가라앉는 플랩을 포함했기 때문에 반드시 단단하게 접을 수 있는 것은 아니었다.가장 간단한 것은 종이접기를 기반으로 한 것으로 원래 둘레가 4였던 것에 비해 둘레가 약 4.12인 솔루션을 제공했습니다.

두 번째 솔루션을 사용하여 원하는 만큼 큰 둘레를 가진 도형을 만들 수 있습니다.그는 광장을 여러 개의 작은 정사각형으로 나누고 1990년 저서 '오리가미 바다 생활'[8]에 묘사된 '성게' 형태의 종이접기 구조를 사용한다.표시된 주름 패턴은 n = 5 케이스이며 큰 원마다 하나씩 25개의 플랩을 가진 평평한 형상을 만드는 데 사용할 수 있으며, 침하를 사용하여 얇게 만듭니다.매우 얇을 때 25개의 암은 25개의 뾰족한 별과 작은 중심과 N/(N - 1)에 근접하는2 둘레를 갖게 됩니다.N = 5의 경우 이는 약 6.25이며, 총 길이는 대략 N만큼 증가합니다.

역사

아놀드는 그의 책에서 1956년에 그 문제를 공식화했다고 기술하고 있지만, 그 [1][9]공식은 의도적으로 모호하게 남겨졌다.그는 이것을 '구겨진 루블 문제'라고 불렀고, 이것은 그가 40년 동안 모스크바에서 열린 세미나에서 제기했던 많은 흥미로운 문제들 중 첫 번째였다.서양에서는 1996년 [2]Jim Propp의 뉴스 그룹 투고 이후 Margulis 냅킨 문제로 알려지게 되었다.주목에도 불구하고, 그것은 민속적인 지위를 받았고 그 기원은 종종 "알 수 없는"[6] 것으로 언급된다.

레퍼런스

  1. ^ a b Arnold, Vladimir Igorevich (2005). Arnold's Problems. Berlin: Springer. ISBN 3-540-20748-1.
  2. ^ a b c "The Margulis Napkin Problem, newsgroup discussion of 1996". Geometry Junkyard.
  3. ^ Petrunin, Anton (2008). "Arnold's problem on paper folding". Zadachi Sankt-peterburgskoj Matematicheskoj Olimpiady Shkol'nikov Po Matematike (in Russian). arXiv:1004.0545. Bibcode:2010arXiv1004.0545P.
  4. ^ Tarasov, A. S. (2004). "Solution of Arnold's "folded ruble" problem". Chebyshevskii Sbornik (in Russian). 5 (1): 174–187. Archived from the original on 2007-08-25.
  5. ^ a b Lang, Robert J. (2003). Origami Design Secrets: Mathematical Methods for an Ancient Art. A K Peters. pp. 315–319. ISBN 9781568811949.
  6. ^ a b Yaschenko, I. (1998). "Make your dollar bigger now!!!". Math. Intelligencer. 20 (2): 38–40. doi:10.1007/BF03025296. S2CID 124667472.
  7. ^ S. Krat, 길이기하학의 근사문제, 펜실베니아 주립대학교 박사논문, 2005
  8. ^ a b Montroll, John and Robert J. Lang (1990). Origami Sea Life. Dover Publications. pp. 195–201.
  9. ^ Tabachnikov, Sergei (2007). "Book review of "Arnold's problems"" (PDF). Math. Intelligencer. 29 (1): 49–52. doi:10.1007/BF02984760. S2CID 120833539.

외부 링크