네프 라인 번들

대수 기하학에서 투영 품종의 선다발은 품종의 모든 곡선에서 음이 아닌 정도를 갖는 경우 nef이다.nef 라인 번들의 종류는 볼록한 원뿔에 의해 설명되며, 다양성의 가능한 수축은 nef 원뿔의 특정 면에 해당한다.선다발과 디비저의 일치성(코드미션-1 하위분리로 제작됨)을 볼 때, 네프 디비저의 등가 개념이 있다.

정의

More generally, a line bundle L on a proper scheme X over a field k is said to be nef if it has nonnegative degree on every (closed irreducible) curve in X.^[1] (The degree of a line bundle L on a proper curve C over k is the degree of the divisor (s) of any nonzero rational section s of L.) A line bundle may also be called an invertible sheaf.

"nef"라는 용어는 "수학적으로 효과적"(Zariski 1962, 정의 7.6)과 "수학적으로 효과적"이라는 구절뿐만 아니라 "수학적으로 결국 무료"^[2]라는 구절을 대체하기 위해 마일즈 리드에 의해 도입되었다.오래된 용어들은 아래 예들을 볼 때 오해의 소지가 있었다.

0이 아닌 전역 섹션을 가진 적절한 곡선 C 오버 k에 있는 모든 선다발 L은 음의 정도가 아니다.결과적으로, 적절한 체계 X over k에 대한 기준점 없는 선다발은 X의 모든 곡선에서 음이 아닌 정도를 가진다. 즉, nef이다.^[3]보다 일반적으로 선다발 L은 일부 양의 텐서 출력 $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\otimes }^{}}$ ${\displaystyle a^{}}$ ${\$ a$}}$이(가) 기준점이 없는 경우 반샘플이라고 불린다.준샘플 선다발이 nef라는 것을 따른다.반-샘플 라인 번들은 비록 두 개념이 동일하지는 않지만 nef 라인 번들의 주요 기하학적 근원으로 간주될 수 있다. 아래 예제를 참조하라.

필드 위에 있는 적절한 체계 X의 카르티에 디비저 D는 연관된 선다발 O(D)가 X에 nef이면 nef라고 한다.마찬가지로 X의 모든 곡선 C에 대해 교차로 번호 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D\cdot C}$이 음수가 아닌 경우 D는 nef이다.

라인 번들에서 디비저로 돌아가려면, 첫 번째 체르 클래스는 다양한 X에 있는 라인 번들의 피카르 그룹부터 카르티에 디비저 모듈로 선형 등가성 그룹까지의 이형성이다.명시적으로, 첫 ${\displaystyle {번째\mathrm{}}_{}}$ 체른 $클래스{\displaystyle {}_{}}$ c ${\displaystyle 1{}_{}}$( L${\displaystyle }$) ${\displaystyle c_{1}(L)}$은(는) L의 0이 아닌 합리적 섹션 s의 구분자(s)이다$$.^[4]

네프콘

불평등과 함께 일하기 위해서는 R-분할기를 고려하는 것이 편리하며, 이는 실제 계수를 가진 카르티에 분점들의 유한한 선형 결합을 의미한다.R-divisors modulo 수치 등가성은 유한 치수의$$ 실제 벡터 공간 ${\displaystyle {N\mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle X}$ $){\displaystyle N$^{1$}(X)}$을 형성하며, 네론-세베리 그룹은 실제 숫자로 긴장된다.(^[5]확실히: 두 개의 R-divisors가 X의 모든 곡선과 동일한 교차점을 갖는다면 수적으로 동등하다고 한다.)R-divisor는 모든 곡선에서 음이 아닌 정도를 갖는 경우 nef라고 불린다.Nef R-divisor는 N ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle X}$ )${\displaystyle N^{1}(X)},$Nef 콘 Nef(X)에서 닫힌 볼록 콘을 형성한다.

원뿔형 곡선은 1주기 모듈로 수치 등가성의 실제$$ 벡터 ${\displaystyle {공간\mathrm{}}_{}}$ N $1{\displaystyle {}_{}}$( X )${\displaystyle N_{1}(X)}$에서 음이 아닌 실제 계수가 있는 곡선의 선형 결합의 볼록형 원뿔로 정의된다.벡터 공간 $N{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle$ N$^{1}($${\displaystyle X}$$)}$과 ${\displaystyle {N\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle N_{1}(X)$은 교차 쌍에 의해 서로 이중이며, nef 콘은 (정의상) 곡선 원뿔의 이중 원뿔이다.^[6]

대수 기하학에서 중요한 문제는 어떤 선다발이 충분한지 분석하는 것이다. 이는 다양한 다양성이 투영 공간에 포함될 수 있는 다양한 방법을 설명하는 것과 같기 때문이다.한 가지 답은 Kleiman의 기준(${\displaystyle \mathrm{1966}}$)이다. 한 필드의 투영 체계 X의 경우, N ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$( X$){\displaystyle$ N$^{1}(X)$의 클래스가 네프콘 내부에 있는 경우에만 라인$$ 번들(또는 R-divisor)이 충분하다.^[7](R-divisor는 넉넉한 카르티에 디비저의 양의 선형 결합으로 쓸 수 있으면 vulum이라고 한다.)X 투영에 대해 X의 모든 nef $R-divisor$는 N${\displaystyle {}^{}{1\mathrm{}}^{}}$ (${\displaystyle X}$ $)[\displaystyle$ N$^{1}(X)}}$의 충분한 R-divisor의 한계라는 Kleiman의 기준에 따른다$.$ 실제로 D nef와 A lumpy의 경우 D + cA는 0 > 모든 실수에 충분하다.

nef 줄 번들의 메트릭 정의

고정된 에르 미트 메트릭과 X는 컴팩트한 복잡한 다양체, 긍정적인(1,1)-form ω{\displaystyle \omega}으로 보셨습니다.에 이어장 피에르 Demailly, 토마스 Peternell와 마이클 슈나이더, X에서 나는 기분이 적인. 라인 묶음마다 ϵ하는 경우 nef다고 한다;0{\displaystyle \epsilon>0}이 원활한 에르 미트 metr 것입니다.ic${\displaystyle h_{\epsilon }}$ on L whose curvature satisfies ${\displaystyle \Theta _{h_{\epsilon }}(L)\geq -\epsilon \omega }$. When X is projective over C, this is equivalent to the previous definition (that L has nonnegative degree on all curves in X).^[8]

X over C에 투영하는 경우에도, nef 라인 번들 L에는 곡률 ${\displaystyle {\theta }_{}}$ h (${\displaystyle L}$ )${\displaystyle 0}$ 0$displaystyle \Theta _{h}(L$)\$geq$ 0$\}$의 은둔자 메트릭 h가 필요하지 않으며, 이는 방금 주어진 더 복잡한 정의를 설명한다.^[9]

예

• X가 매끄러운 투영 표면이고 C가 자기 절개 $번호{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {C\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}0}$ 0$[\displaystyle$ C$^{2}\geq$ 0$}$인 X의 (불가역) 곡선이라면$,$ 표면의 어떤 두 개의 구별되는 곡선에는 음의 교차로 번호가 없기 때문에 X에서 C가 nef이다. 2 < ${\displaystyle C^{2}<0$ 그렇다면 X에서는 C가 유효하지만 nef는 유효하지 않다.예를 들어, X가 한 점에서 부드러운 투사 표면 Y의 블로우업인 경우${\displaystyle ,}$ 블로업 $\pi {\displaystyle }$ :${\displaystyle X}$ → Y$${\$displaystyle \pi \colon$ X\$to$ Y$}$의 예외 곡선 ${\displaystyle {E2\mathrm{}}^{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ E$^{2}=-1}$가 있다$.$
• 깃발 다지관이나 아벨 품종의 모든 유효 구분자는 이 품종들이 연결된 대수군의 전이 작용을 갖는 것을 이용하여 nef이다.^[10]
• 매끄러운 복잡한 투영 곡선 X의 도 0의 모든 선다발 L은 nef이지만, X의 Picard 그룹에서 L이 비틀어진 경우에만 L은 반샘플이다.속 g의 X에 대해 적어도 1의 경우, X의 자코비안이 아벨의 다양한 차원 g라는 것을 사용하는 0도의 대부분의 선다발은 비틀림이 아니다.
• 모든 세미-샘플 라인 번들은 nef이지만, 모든 nef 라인 번들이 심지어 숫자상으로도 반-샘플 라인 번들과 동등한 것은 아니다.예를 들어, 데이비드 뭄포드는 L이 모든 곡선에서 양도를 갖도록 적절한 지배 표면 X에 선다발 L을 구성했지만, 교차로 번호 c ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle L{}^{}}$) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$은 0이다$$.^[11]L은 nef이지만, ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle L}$ $){\displaystyle c_{1}(L)}$의 양배수는 숫자로 유효한 divisor와 동등하지$$ 않다.특히 글로벌 섹션 ${\displaystyle {H\mathrm{}}^{}}$ 0${\displaystyle {}^{}X,}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\otimes }^{}}$ ${\displaystyle a^{}}$) ${\displaystyle H^{0}(X,L^{\otimes a})$의 공간은 모든 양의 정수 a에 대해 0이다$$.

수축과 네프콘

A contraction of a normal projective variety X over a field k is a surjective morphism ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ with Y a normal projective variety over k such that ${\displaystyle f_{*}O_{X}=O_{Y}}$. (The latter condition implies that f has connected fibers, and it is equivalent to f having cok에 특성이 0인 경우 nected fibres.^[12]수축은 딤(Y) < 딤(X)이면 진동이라고 한다.딤(Y) = 딤(X)이 있는 수축은 자동으로 쌍생형 형태론이다.^[13] (예를 들어 X는 한 점에서 매끄러운 투영 표면 Y의 폭파일 수 있다.)

볼록콘 N의 면 F는 합계가 F인 N의 두 점 자체가 F여야 하는 볼록형 서브콘을 의미한다.A contraction of X determines a face F of the nef cone of X, namely the intersection of Nef(X) with the pullback ${\displaystyle f^{*}(N^{1}(Y))\subset N^{1}(X)}$. Conversely, given the variety X, the face F of the nef cone determines the contraction ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ up를 이형화하다실제로, X에는 $N{\displaystyle {}^{}{1\mathrm{}}^{}}$ ( ${\displaystyle X}$)$${\$displaystyle$N^{$1}(X)}$의 클래스가 F의 내부에$$ 있는 세미-샘플 라인 번들 L이 있다(예를 들어, Y에 있는 어떤 넉넉한 라인 번들의 X에 대한 풀백(pullback)이 되도록 L을 선택한다).그러한 모든 라인 번들은 Proj 구성에 의해 Y를 결정한다.^[14]

${\displaystyle Y={\text{Proj }}\bigoplus _{a\geq 0}H^{0}(X,L^{\otimes a}).}$

Y를 기하학적 용어로 설명하기 위해: X의 곡선 C는 L이 C에 0도를 갖는 경우에만 Y의 한 점에 매핑한다.

그 결과 X의 수축과 X의 네프콘의 일부 얼굴 사이에는 일대일 일치성이 있다(^[15]이 대응은 곡선 원뿔의 면에서도 다분히 공식화할 수 있다).어떤 nef 라인 번들이 반-샘플인지 알면 어떤 얼굴이 수축에 해당하는지를 결정할 수 있다.원추정리는 수축에 대응하는 얼굴의 상당 부류를 묘사하고 있으며, 풍요로운 추측이 더 많은 것을 줄 것이다.

예: X를 p 지점에서 복잡한$$ 투사 평면 $P{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$P$} ^{2}}$의 블로우업으로 한다.Let H be the pullback to X of a line on ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$, and let E be the exceptional curve of the blow-up ${\displaystyle \pi \colon X\to \mathbb {P} ^{2}}$. Then X has Picard number 2, meaning that the real vector space ${\displaystyle N^{1}(X)}$ has dimension 2.2의 볼록 콘의 기하학까지, 그nef 콘 두 광선에 의해;명시적으로 이들은 광선 H와 H− E.[16]에 의해 이 예에서 두었고, X의 수축에 모두 식장 해당한다 이어 가야 합니다. H및 H− E→ P1fibration X를 준다 → P2{\displaystyle X\to \mathbb{P}^{2}은birational 사상 X}을 준다. {\d섬유가 $P{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$$mathb${$P} ^1$}에$$ 이형화된 $isplaystyle X\to$\mathb {P} $^1$$}($${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ $$2 ${\$ {$P} ^{2}}:$ p 점을 통과하는 선에 대응).X의 nef 콘은 다른 비경쟁적인 얼굴을 가지고 있지 않기 때문에, 이것들은 X의 유일한 비경쟁적인 수축이다; 볼록한 콘과 관계가 없으면 보기 더 어려울 것이다.

메모들

참조

• Demailly, Jean-Pierre; Peternell, Thomas; Schneider, Michael (1994), "Compact complex manifolds with numerically effective tangent bundles" (PDF), Journal of Algebraic Geometry, 3: 295–345, MR 1257325
• Kollár, János; Mori, Shigefumi (1998), Birational geometry of algebraic varieties, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511662560, ISBN 978-0-521-63277-5, MR 1658959
• Lazarsfeld, Robert (2004), Positivity in algebraic geometry, vol. 1, Berlin: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-642-18808-4, ISBN 3-540-22533-1, MR 2095471
• Reid, Miles (1983), "Minimal models of canonical 3-folds", Algebraic varieties and analytic varieties (Tokyo, 1981), Advanced Studies in Pure Mathematics, vol. 1, North-Holland, pp. 131–180, doi:10.2969/aspm/00110131, ISBN 0-444-86612-4, MR 0715649
• Zariski, Oscar (1962), "The theorem of Riemann-Roch for high multiples of an effective divisor on an algebraic surface", Annals of Mathematics, 2, 76: 560–615, doi:10.2307/1970376, MR 0141668