모듈 텐서 제품

수학에서 모듈의 텐서(tensor) 산출물은 이선형 지도(예: 곱셈)에 대한 논거를 선형 지도 관점에서 수행할 수 있도록 하는 구조다.모듈 구조는 벡터 공간의 텐서 생산물의 구조와 유사하지만, 제3의 모듈을 생성하는 정류 링을 통한 한 쌍의 모듈에 대해 수행될 수 있으며, 또한 어떤 링 위에 있는 한 쌍의 오른쪽 모듈과 왼쪽 모듈에 대해서도 수행될 수 있으며, 결과적으로는 아벨리아 그룹이다.텐서 제품은 추상 대수학, 동질 대수학, 대수학 위상, 대수학 기하학, 연산자 알헤브라와 비확정 기하학의 영역에서 중요하다.벡터 공간의 텐서 생성물의 보편적 특성은 추상 대수학에서 보다 일반적인 상황으로 확장된다.선형 연산을 통한 이선 또는 다선 연산을 연구할 수 있다.대수학과 모듈의 텐서 제품은 스칼라의 확장에 사용될 수 있다.정류 링의 경우 모듈의 텐서 제품을 반복하여 모듈의 텐서 대수학(tensor 대수학)을 형성할 수 있어 모듈에서 보편적인 방법으로 곱셈을 정의할 수 있다.

균형상품

링 R, 우측 R-모듈 M, 좌측 R-모듈 N, 아벨 그룹 G의 경우, $지도$ $::$ $M \times N$ → $G$ 는 모든 m, M ′, N ′, R hold의 m-balance 제품 또는 R-balance 제품이라고 한다.^[1]^{: 126}

{\begin{aligned}\varphi (m,n+n')&=\varphi (m,n)+\varphi (m,n')&&{\text{Dl}}_{\varphi }\\\varphi (m+m',n)&=\varphi (m,n)+\varphi (m',n)&&{\text{Dr}}_{\varphi }\\\varphi (m\cdot r,n)&=\varphi (m,r\cdot n)&&{\text{A}}_{\varphi }\\\end{정렬}}

$M$ × $N$ 에서 G까지 R에 걸쳐 균형 잡힌 모든 제품의 세트는 $L R (M,$ $N;$ $G$ )으로 표시된다 $.$

만약 ,, ψ이 균형 잡힌 상품이라면, + + $ψ$ , -φ 정의한 각각의 영업은 균형 잡힌 상품이다.이렇게 하면 세트 $L R (M,$ N; $G)$ 이 아벨 그룹으로 바뀐다.

M과 N이 고정된 경우, $지도$ G $l R$ L $(M,$ $N;$ $G)$ 은 아벨리아 그룹의 범주에서 자체적으로 functor이다.형태론 부분은 L $(M R,$ $N;$ G $)$ 에서 $L R (M,$ N; $G;$ G $)$ 으로 이어지는 $φ$ $g φ$ 함수에 그룹 동형성 $g$ : $G$ → $G'$ 를 매핑하여 주어진다.

언급

속성(Dl)과 (Dr)은 덧셈에 대한 φ의 분배성으로 간주될 수 있는 φ의 생물addivity를 표현한다.
속성(A)은 φ의 어떤 연관성 속성과 닮았다.
모든 링 R은 R-비모듈이다.따라서 R의 링 곱셈 $(r,$ r $')$ ↦ r $'$ 은 R-균형 $제품$ R $\times R$ → $R$ 이다.

정의

링 R, 우측 R-모듈 M, 좌측 R-모듈 N, R에 대한 텐서 제품의 경우

M\otimes _{R}N}

균형 잡힌 제품과 함께 아벨 그룹(위 정의)

\otimes :M\to M\otimes _{R}N

다음과 같은 의미에서 보편적인 것이다.^[2]

모든 아벨 그룹 G와 모든 균형 잡힌 제품에 대해

f:M\time N\to G

독특한 집단 동형성이 있다.

{\tilde{f}:M\otimes _{R}N\to G

그런

{\tilde{f}\cHB\times \otimes =f.

모든 보편적 특성과 마찬가지로, 위의 특성은 독특한 이소모르피즘에 이르기까지 텐서 제품을 고유하게 정의한다: $동일$ 한 성질을 가진 다른 아벨리아 그룹과 균형 잡힌 제품은 M $\otimes R$ $N$ 과 ⊗에 이소모르픽이 될 것이다.실제로 맵핑 ⊗을 표준적, 또는 보다 명시적으로: 텐서 제품의 표준적 맵핑(또는 균형 잡힌 제품)이라고 한다.^[3]

이 정의는 $M$ $\otimes R$ $N$ 의 존재를 증명하지 않는다. 구조는 아래를 참조하라.

텐서 제품은 또한 $functor R$ G → $L (M,N; G$ )을 나타내는 물체로 정의될 수 있다 $.$ 이는 명백하게 자연 이형성이 있음을 의미한다.

{\begin}\operatorname {Hom} _{\mathb {Z}}(M\otimes _{R}N,G)\simeq \operatorname {L} _{R}(M,N;G)\g\capstossotes \case}}}

이것은 위에 주어진 보편적 매핑 속성을 명기하는 간결한 방법이다.(선행자가 자연 이형성인 경우, $G=M\otimes _{R}N$ = $G=M\otimes _{R}N$ $G=M\otimes _{R}N$ N $G=M\otimes _{R}N$ {\ $displaystyle$ G= $M\otimes$ _ ${R}N}$ 을 취한 다음 $G=M\otimes _{R}N$ ID 맵을 매핑하여 $\otimes$ ${\displaystyle \otimes$ }을(를) 복구할 수 있다 $\otimes$ .)

Similarly, given the natural identification $\operatorname {L} _{R}(M,N;G)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(N,G))$ ,^[4] one can also define $M \otimes R N$ by the formula

\operatorname {Hom} _{\mathb {Z}}(M\otimes _{R}N,G)\simeq \operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom}) _{\mathb {Z}(N,G)}).

이를 텐서-홈 연결로 알려져 있다. § 속성도 참조한다.

각 x의 경우 M, y의 경우 N의 경우 한 개씩 쓰기

x ⊗ y

표준 지도 $\otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N$ : $\otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N$ $\otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N$ N $\otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N$ → $\otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N$ $\otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N$ R $\otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N$ $\otimes :M\to M\otimes _{R}N$ 의 영상에 대해, 흔히 순수한 텐서라고 부른다 $\otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N$ 엄밀히 말하면, 정확한 표기법은 x _Ry y가 되겠지만 여기서 R을 떨어뜨리는 것은 관습이다.그 다음, 정의에서 바로 다음과 같은 관계가 있다.

x ⊗ (y + y′) = x ⊗ y + x ⊗ y′	(Dl_⊗)
(x + x′) ⊗ y = x ⊗ y + x ′ y	(Dr_⊗)
(x ⋅ r) ⊗ y = x ⊗ (r ⋅ y)	(A_⊗)

텐서 제품의 보편적 특성은 다음과 같은 중요한 결과를 가져온다.

제안 — M $M\otimes _{R}N$ $M\otimes _{R}N$ $M\otimes _{R}N$ $M\otimes _{R}N$ 의 모든 요소를 다음과 같이 고유하지 않게 작성할 수 있다 $M\otimes _{R}N$ .

\sum _{i}\otimes y_{i}}\,x_{i}\in M,y_{i}\in N.

In other words, the image of

\otimes

generates

M\otimes _{R}N

. Furthermore, if f is a function defined on elements

x\otimes y

with values in an abelian group G, then f extends uniquely to the homomorphism defined on the whole

{\displaysty

f(x\otimes y)

⊗

f(x\otimes y)

) {\

displaystyle f(x\otimes

y

)}

이

M\otimes _{R}N

f(x\otimes y)

(가)

\mathbb {Z}

{\

bilinar $\mathbb {Z}$ in x와 y인 경우에만

le M\otimes _{R}N}

Proof: For the first statement, let L be the subgroup of $M\otimes _{R}N$ generated by elements of the form in question, $Q=(M\otimes _{R}N)/L$ and q the quotient map to Q. $0=q\circ \otimes$ = $0=q\circ \otimes$ $0=q\circ \otimes$ $0=q\circule \otimes$ 및 $0=0\circ \otimes$ = $0=0\circ \otimes$ $0=0\circ \otimes$ $0=0\circ \otimes$ ${\displaystyle 0=0\circle \otimes$ 따라서 범용 속성의 고유성 부분에 의해 q = 0.두 번째 진술은 모듈 동형성을 정의하기 위해서 모듈의 생성 집합에서 그것을 정의하기에 충분하기 때문이다. $\square$

텐서 제품의 보편적 특성 적용

모듈의 텐서 제품이 0인지 여부 확인

실제로 R-modules $M\otimes _{R}N$ $M\otimes _{R}N$ $M\otimes _{R}N$ $M\otimes _{R}N$ $M\otimes _{R}N$ 의 텐서 제품이 0임을 나타내는 것보다 0이 $M\otimes _{R}N$ 아니라는 것을 보여주는 것이 더 어려울 때가 있다.보편적 재산은 이것을 확인하는 편리한 방법을 제공한다.

텐서 제품 $M\otimes _{R}N$ $M\otimes _{R}N$ $M\otimes _{R}N$ $M\otimes _{R}N$ $M\otimes _{R}N$ 이 $M\otimes _{R}N$ (가) 0이 아닌지 확인하려면 R-bilinar 지도 $f:M\times N\rightarrow G$ : $f:M\times N\rightarrow G$ $f:M\times N\rightarrow G$ $f:M\times N\rightarrow G$ → G ${\displaystyle f:$ $f(m,n)\neq 0$ $\times$ N $\rightarrow G}$ 을(를) 아벨 $그룹$ G {\ $displaystyle$ $G}$ 에 $G$ 대해 $f:M\times N\rightarrow G$ f $f(m,n)\neq 0$ , $f(m,n)\neq 0$ ) ${\displaystyle f(m,n)\neq$ 0 $f(m,n)\neq 0$ $m\otimes n=0$ 는 m $m\otimes n=0$ ⊗ $m\otimes n=0$ = $m\otimes n=0$ ${\displaystyle m\otimes$ n $=0$ 이면 $f(m,n)={\bar {f}}(m\otimes n)={\bar {(f)}}(0)=0$ ( $f(m,n)={\bar {f}}(m\otimes n)={\bar {(f)}}(0)=0$ $f(m,n)={\bar {f}}(m\otimes n)={\bar {(f)}}(0)=0$ ) $f(m,n)={\bar {f}}(m\otimes n)={\bar {(f)}}(0)=0$ = $f(m,n)={\bar {f}}(m\otimes n)={\bar {(f)}}(0)=0$ ) $f(m,n)={\bar {f}}(m\otimes n)={\bar {(f)}}(0)=0$ = $f(m,n)={\bar {f}}(m\otimes n)={\bar {(f)}}(0)=0$ 0 $f(m,n)={\bar {f}}(m\otimes n)={\bar {(f)}}(0)=0$ = $({\displaystyle f(m,n)={\bar {f}(m\otimes$ n $)={\bar {(f)}}}=0}$ 이 되기 때문이다 $f(m,n)={\bar {f}}(m\otimes n)={\bar {(f)}}(0)=0$

For example, to see that $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \otimes _{Z}\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ , is nonzero, take $G$ to be $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ and $(m,n)\mapsto mn$ . $이것$ 은 $m$ $mn$ 이 $m\otimes n\neq 0$ (가) $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ / p $Z$ {\ $displaystyle$ mn}이(가 $mn$ ) 0이 아닌 경우 $m\otimes n\neq 0$ 텐서 m $m\otimes n\neq 0$ ≠ $≠$ ≠ n $\$ otzero in Z /p / $p$ $\mathb {Z}$

등가 모듈의 경우

그 명제는 매번 보편적인 속성을 직접적으로 발현하지 않고 텐서 상품의 노골적인 요소들로 작업할 수 있다는 것이다.이것은 실제로 매우 편리하다.예를 들어 R이 역순이고 모듈에 대한 R에 의한 좌우 동작이 동등한 것으로 간주되는 경우, $M\otimes _{R}N$ $M\otimes _{R}N$ $M\otimes _{R}N$ $M\otimes _{R}N$ $M\otimes _{R}N$ 을 확장하여 자연스럽게 R-scalar 곱셈을 제공할 수 있다 $M\otimes _{R}N$ .

(x\displaystyle r\cdot(x\otime y):=(r\cdot x)\otimes y=x\otimes(r\cdot y)}

이전 명제에 의한 $M\otimes _{R}N$ 전체 $M\otimes _{R}N$ $M\otimes _{R}N$ R $M\otimes _{R}N$ $M\otimes _{R}N$ 에 대해 (엄밀히 말하면, 필요한 것은 동일성이 아닌 바이모듈 구조다. 아래 단락 참조).이러한 R-모듈 구조를 갖춘 $M\otimes _{R}N$ $M\otimes _{R}N$ $M\otimes _{R}N$ $M\otimes _{R}N$ $M\otimes _{R}N$ 은 위와 유사한 보편적 특성을 만족시킨다 $M\otimes _{R}N$ . 어떤 R-모듈 G에 대해서도 자연 이형성이 있다.

{\begin}\operatorname {Hom} _{R}otimes _{R}N,G)\simeq \{R{\text{bilinear maps \}}M\time N\to G\}\capsortimes \end{case}}}

R이 반드시 유사하지는 않지만, M이 링 S(예: R)에 의해 좌측 작용을 하는 경우, $M\otimes _{R}N$ $M\otimes _{R}N$ R $M\otimes _{R}N$ $M\otimes _{R}N$ 은 공식에 의해 위와 같이 좌측 S-module 구조를 부여할 수 있다 $M\otimes _{R}N$ .

(x\displaystyle s\cdot(x\otimes y):=(s\cdot x)\여러 번 y.}

마찬가지로 N이 링 S에 의해 올바른 동작을 하는 경우 M $M\otimes _{R}N$ R $M\otimes _{R}N$ $M\otimes _{R}N$ 이 오른쪽 S-모듈이 된다 $M\otimes _{R}N$ .

선형 지도 및 베이스 링 변경의 텐서 제품

선형 지도 $f:M\to M'$ : $f:M\to M'$ → M $f:M\to M'$ ${\$ 링 R 및 $g:N\to N'$ 위에 있는 오른쪽 $f:M\to M'$ 모듈의 $M\to M'}:$ $g:N\to N'$ → N $g:N\to N'$ ${\$ $왼쪽$ 모듈의 N $\to$ N $'},$ 고유한 그룹 동형성이 있음

{\displaysty}f\time g:M\otimes _{R}N\to M'\time _{R}N'\x\time y\mapsto f(x)\time g(y)\end{case}}}}

이 구조는 텐서링이 펑터(functor)라는 결과를 가져온다. 즉, 우측 R-모듈 M이 각각 펑터를 결정한다.

M\otimes _{R}-:R{\text{-Mod}\longrightarrow {\text{Ab}}

왼쪽 모듈의 범주에서 $M$ ⊗ $N$ 으로 N을 보내는 아벨리아 그룹의 범주, 그리고 모듈 동형성 f를 그룹 동형성 1⊗ $f$ 로 보내는 아벨리아 그룹의 범주까지.

$f:R\to S$ : $f:R\to S$ → S ${\displaystyle f:$ $R\to S}$ 는 $f:R\to S$ 고리 동형이며 M이 오른쪽 S-모듈이고 N이 왼쪽 S-모듈이라면 다음과 같은 정론적 과부하 동형설이 있다.

M\otimes _{R}N\to M\otimes _{S}N

에 의해 유도된.

M\times N{\otimes _{S}{{S}{\longrightarrow }}}M\otimes _{S}N.

^[5]

순수 텐서 $x$ ⊗ $y$ 는 전체 모듈을 생성하므로 결과 맵은 추상적이다.특히 R을 $\mathbb {Z}$ ${\$ 로 가져가는 $\mathbb {Z}$ 것은 모듈의 모든 텐서 제품이 아벨 그룹 텐서 제품의 몫임을 보여준다.

여러 모듈

(이 섹션은 업데이트되어야 한다.자세한 내용은 § 속성을 참조하십시오.)

동일한 교환 링을 통해 임의 수의 모듈로 구성된 텐서 제품으로 정의를 확장할 수 있다.예를 들어, 의 보편적 특성

M₁ ⊗ M₂ ⊗ M₃

각각의 지도들이

M₁ × M₂ × M₃ → Z

고유한 선형 지도에 해당함

M₁ ⊗ M₂ ⊗ M₃ → Z.

바이너리 텐서 제품은 연관성이 있다: (M₁₂ ) M) ⊗ M은₃ 자연적으로₁ M ⊗ (M₂ ( M₃)과 이형성이다.삼선지도의 보편적 속성에 의해 정의된 3개 모듈의 텐서 제품은 이러한 두 개의 반복된 텐서 제품과 이형성이 있다.

특성.

일반 링 위의 모듈

R₁, R₂, R₃, R을 반드시 반향적이지는 않게 하라.

R-R-비모듈₁₂ M과₁₂ 좌측 R-모듈₂ M의₂₀ 경우, M $M_{12}\otimes _{R_{2}}M_{20}$ $M_{12}\otimes _{R_{2}}M_{20}$ R $M_{12}\otimes _{R_{2}}M_{20}$ $M_{12}\otimes _{R_{2}}M_{20}$ $M_{12}\otimes _{R_{2}}M_{20}$ ${\$ }} $M_{20}}}$ 은 좌측 R-모듈이다 $M_{12}\otimes _{R_{2}}M_{20}$ ₁.
오른쪽 R-모듈₂ M과₀₂ R-R-비모듈₂₃ M의₂₃ 경우, $M_{02}\otimes _{R_{2}}M_{23}$ 02 $M_{02}\otimes _{R_{2}}M_{23}$ R $M_{02}\otimes _{R_{2}}M_{23}$ $M_{02}\otimes _{R_{2}}M_{23}$ $M_{02}\otimes _{R_{2}}M_{23}$ ${\$ }} $M_{23}}}$ 는 오른쪽 $M_{02}\otimes _{R_{2}}M_{23}$ R-모듈이다₃.
(연관성) 오른쪽 R-모듈₁ M₀₁, R-R-비모듈₁₂ M₁₂ 및 왼쪽 R-모듈₂ M의₂₀ 경우,^[6] $\left(M_{01}\otimes _{R_{1}{1}M_{12}\rights _{R_{2}}M_{12}\i1}\otimes _{R_{2}}M_{20}\right}\imes _{R_{20}\rig}\rig}\rig}\right.$
R은 R-R-bimodule이기 때문에 $R\otimes _{R}R=R$ $R\otimes _{R}R=R$ $R\otimes _{R}R=R$ = R ${\displaystyle R\otimes _{R}R이 있으며$ , ring $mn=:m\otimes _{R}n$ m $mn=:m\otimes _{R}n$ $mn=:m\otimes _{R}n$ $mn=:m\otimes _{R}n$ n ${\displaystym mn=:m\otimes _{R}n}$ 이 $R\otimes _{R}R=R$ 표준균형 제품이다 $mn=:m\otimes _{R}n$ .

모듈 오버 정류 링

R을 정류 링으로 하고, M, N, P를 R-모듈로 한다.그러면.

(ID) $R\otimes _{R}M=M.$ ) R $R\otimes _{R}M=M.$ = $R\otimes _{R}M=M.$ . $R\otimes _{R}M=M.$
(관계) $(M\otimes _{R}N)\otimes _{R}P=M\otimes _{R}(N\otimes _{R}P).$ ( $(M\otimes _{R}N)\otimes _{R}P=M\otimes _{R}(N\otimes _{R}P).$ $(M\otimes _{R}N)\otimes _{R}P=M\otimes _{R}(N\otimes _{R}P).$ $(M\otimes _{R}N)\otimes _{R}P=M\otimes _{R}(N\otimes _{R}P).$ $(M\otimes _{R}N)\otimes _{R}P=M\otimes _{R}(N\otimes _{R}P).$ ) $(M\otimes _{R}N)\otimes _{R}P=M\otimes _{R}(N\otimes _{R}P).$ $(M\otimes _{R}N)\otimes _{R}P=M\otimes _{R}(N\otimes _{R}P).$ = $(M\otimes _{R}N)\otimes _{R}P=M\otimes _{R}(N\otimes _{R}P).$ $(M\otimes _{R}N)\otimes _{R}P=M\otimes _{R}(N\otimes _{R}P).$ R $(M\otimes _{R}N)\otimes _{R}P=M\otimes _{R}(N\otimes _{R}P).$ ( $(M\otimes _{R}N)\otimes _{R}P=M\otimes _{R}(N\otimes _{R}P).$ $(M\otimes _{R}N)\otimes _{R}P=M\otimes _{R}(N\otimes _{R}P).$ R $(M\otimes _{R}N)\otimes _{R}P=M\otimes _{R}(N\otimes _{R}P).$ ) . ${\displaystyle (M\otimes _{R}N)\otimes _{R}P(N\otimes$ P). $}$ 따라서 $(M\otimes _{R}N)\otimes _{R}P=M\otimes _{R}(N\otimes _{R}P).$ ^[7] $M\otimes _{R}N\otimes _{R}P$ $M\otimes _{R}N\otimes _{R}P$ $M\otimes _{R}N\otimes _{R}P$ $M\otimes _{R}N\otimes _{R}P$ $M\otimes _{R}N\otimes _{R}P$ R $M\otimes _{R}N\otimes _{R}P$ $M\otimes _{R}N\otimes _{R}P$ 가 잘 정의되어 있다 $M\otimes _{R}N\otimes _{R}P$ .
(대칭) $M\otimes _{R}N=N\otimes _{R}M.$ $M\otimes _{R}N=N\otimes _{R}M.$ $M\otimes _{R}N=N\otimes _{R}M.$ $M\otimes _{R}N=N\otimes _{R}M.$ = $M\otimes _{R}N=N\otimes _{R}M.$ $M\otimes _{R}N=N\otimes _{R}M.$ R $M\otimes _{R}N=N\otimes _{R}M.$ . ${\displaystyle M\otimes _{R}N=N\otimes _{R}M.$ 사실 $M\otimes _{R}N=N\otimes _{R}M.$ 집합 {1, ..., n}의 순열 σ에 대해서는 다음과 같은 고유한 이형성이 있다. ${\displaysty}M_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}M_{n}\longrightarrow M_{\sigma (1)}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}M_{\sigma (n)}\\x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{n}\longmapsto x_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes x_{\sigma (n)}\end{cases}}$
( $M\otimes _{R}(N\oplus P)=(M\otimes _{R}N)\oplus (M\otimes _{R}P).$ 속성) $M\otimes _{R}(N\oplus P)=(M\otimes _{R}N)\oplus (M\otimes _{R}P).$ $M\otimes _{R}(N\oplus P)=(M\otimes _{R}N)\oplus (M\otimes _{R}P).$ R $M\otimes _{R}(N\oplus P)=(M\otimes _{R}N)\oplus (M\otimes _{R}P).$ ( $M\otimes _{R}(N\oplus P)=(M\otimes _{R}N)\oplus (M\otimes _{R}P).$ $M\otimes _{R}(N\oplus P)=(M\otimes _{R}N)\oplus (M\otimes _{R}P).$ P $M\otimes _{R}(N\oplus P)=(M\otimes _{R}N)\oplus (M\otimes _{R}P).$ ) $M\otimes _{R}(N\oplus P)=(M\otimes _{R}N)\oplus (M\otimes _{R}P).$ = $M\otimes _{R}(N\oplus P)=(M\otimes _{R}N)\oplus (M\otimes _{R}P).$ ( $M\otimes _{R}(N\oplus P)=(M\otimes _{R}N)\oplus (M\otimes _{R}P).$ $M\otimes _{R}(N\oplus P)=(M\otimes _{R}N)\oplus (M\otimes _{R}P).$ R $M\otimes _{R}(N\oplus P)=(M\otimes _{R}N)\oplus (M\otimes _{R}P).$ ) $M\otimes _{R}(N\oplus P)=(M\otimes _{R}N)\oplus (M\otimes _{R}P).$ ( $M\otimes _{R}(N\oplus P)=(M\otimes _{R}N)\oplus (M\otimes _{R}P).$ $M\otimes _{R}(N\oplus P)=(M\otimes _{R}N)\oplus (M\otimes _{R}P).$ R $M\otimes _{R}(N\oplus P)=(M\otimes _{R}N)\oplus (M\otimes _{R}P).$ ) $M\otimes _{R}(N\oplus P)=(M\otimes _{R}N)\oplus (M\otimes _{R}P).$ . ${\displaystyle M\otimes _{R}Oplus P)=(M\otimes _{R}N)\oplus (M\otimes$ ) $}}$ 사실 $M\otimes _{R}(N\oplus P)=(M\otimes _{R}N)\oplus (M\otimes _{R}P).$ , $M\otimes _{R}\left(\bigoplus \nolimits _{i}\right)=\bigoplus \nolimits _{i\in I}\limits _{R}N_{i}\ri}\right),}}$ 임의 카디널리티의 인덱스 세트I에 대해.
(유한 제품을 사용하는 커밋) 모든 $N_{i}$ ${\$ $M\otimes _{R}\prod _{i=1}{n_{i}=\prod _{i=1}{i=1}^{{n}M\otimes _{R}N_{i}.$
(국소화가 가능한 커밋) R의 모든 승법적으로 닫힌 부분 집합 S에 대해, $S^{-1}(M\otimes _{R}N)=S^{-1}M\otimes _{S^{-1}R}S^{-1}N$ $S^{-1}R$ - $S^{-1}R$ $S^{-1}R$ ${\displaystyle$ S $^{-1}R}$ - module로 $S^{-1}R$ 한다. $S^{-1}R$ - $S^{-1}R$ $S^{-1}R$ ${\displaystyle$ S $^{-1}R}$ 은 $S^{{-1}}R$ (는) R-algebra이고 $S^{-1}-=S^{-1}R\otimes _{R}-$ - $S^{-1}-=S^{-1}R\otimes _{R}-$ - $S^{-1}-=S^{-1}R\otimes _{R}-$ 1 $S^{-1}-=S^{-1}R\otimes _{R}-$ R $S^{-1}-=S^{-1}R\otimes _{R}-$ - $S^{-1}-=S^{-1}R\otimes _{R}-$ 의 특별한 경우 $S^{-1}-=S^{-1}R\otimes _{R}-$
(기본 확장자가 있는 comments) S가 R-algebra인 경우, 쓰기 $-_{S}=S\otimes _{R}-$ - $-_{S}=S\otimes _{R}-$ = $-_{S}=S\otimes _{R}-$ $-_{S}=S\otimes _{R}-$ $-_{S}=S\otimes _{R}-$ - ${\displaystyle -_{S}=S\otimes _{R$ ${\displaystyle(M\otimes _{R}N)_{S}=M_{S}\otimes _{S};}$ ^[8] cf. § 스칼라의 확장.
(직접 한도가 있는 커미션) R-모듈 M의_i 모든 직접 시스템에 대해, $(\varinjlim M_{i})\otimes _{R}N=\varinjlim(M_{i}\otimes _{R}N).$
(추적하는 것이 정확하다) $0\to N'{\\coverset {f}{\\}{{g}}{\n}}to 0$ 그렇다면 정확한 R-모듈의 연속이다. $M\otimes _{R}N'{{R}N'{1\otimes f}{{R}N}{1\otimes g}{{}}}}}{{R}N}}}Overset _{R}O}N"\to 0$ R-모듈의 정확한 시퀀스로, 여기서 ( $(1\otimes f)(x\otimes y)=x\otimes f(y).$ $(1\otimes f)(x\otimes y)=x\otimes f(y).$ ) $(1\otimes f)(x\otimes y)=x\otimes f(y).$ ( x $(1\otimes f)(x\otimes y)=x\otimes f(y).$ y $(1\otimes f)(x\otimes y)=x\otimes f(y).$ ) $(1\otimes f)(x\otimes y)=x\otimes f(y).$ = $(1\otimes f)(x\otimes y)=x\otimes f(y).$ ⊗ f $(1\otimes f)(x\otimes y)=x\otimes f(y).$ ( y $(1\otimes f)(x\otimes y)=x\otimes f(y).$ ) . ${\displaystyle (1\otimes$ f)( $x\otimes y)=x\otimes$ f $(y)$ 이다 $.$ $}$ 이는 $(1\otimes f)(x\otimes y)=x\otimes f(y).$ 다음과 같은 결과로 나타난다.
(점수 관계) $\operatorname {Hom} _{R}(M\otimes _{R}N,P)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{R}(N,P))$ .
(텐소르-홈 관계) 표준 R-선형 지도가 있다. $\operatorname {Hom} _{R}(M,N)\otimes P\to \operatorname {Hom} _{R}(M,N\otimes P),$ M 또는 P 중 하나가 정밀하게 생성된 투영 모듈인 경우 이형성(Non-commuttive case에 대한 선형성 보존 지도 참조),^[9] 보다 일반적으로 표준 R-선형 지도가 있다. $\operatorname {Hom} _{R}(M,N)\otimes \operatorname {Hom} _{R}(M',N') _{R}(M\otimes M',N)}$ $(M,N)$ , $(M,N)$ ) $(M,N)$ 또는 $(M,N)$ $(M,M')$ , $(M,M')$ $(M,M')$ ) ${\displaystyle (M,M$ ') 중 하나가 $(M,M')$ 정밀하게 $(M,M')$ 생성된 투영 모듈 쌍인 경우 이형성이다.

To give a practical example, suppose M, N are free modules with bases $e_{i},i\in I$ and $f_{j},j\in J$ . Then M is the direct sum $M=\bigoplus _{i\in I}Re_{i}$ and the same for N. By the distributive property, one has:

M\otimes _{R}N=\bigoplus _{i}R(e_{i}\otimes f_{j});

i.e., $e_{i}\otimes f_{j},\,i\in I,j\in J$ are the R-basis of $M\otimes _{R}N$ . Even if M is not free, a free presentation of M can be used to compute tensor products.

일반적으로 텐서 제품은 역 한도를 가지고 통근하지 않는다: 한편으로는,

\mathb {Q} \otimes _{\mathb {Z}\mathb {Z} /p^{n}=0

(cf. "cf").다른 한편으로는

\left(\varprojlim \mathbb {Z} /p^{n}\right)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Z} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Z} _{p}\left[p^{-1}\right]=\mathbb {Q} _{p}

여기서 $\mathbb {Z} _{p},\mathbb {Q} _{p}$ $\mathbb {Z} _{p},\mathbb {Q} _{p}$ , $\mathbb {Z} _{p},\mathbb {Q} _{p}$ $\mathbb {Z} _{p},\mathbb {Q} _{p}$ ${\$ 는 $\mathbb {Z} _{p},\mathbb {Q} _{p}$ p-adic 정수의 링이며 p-adic 숫자 필드다.유사한 정신의 예는 "확실한 정수"를 참조하십시오.

If R is not commutative, the order of tensor products could matter in the following way: we "use up" the right action of M and the left action of N to form the tensor product $M\otimes _{R}N$ ; in particular, $N\otimes _{R}M$ would not even be defined.If M, N are bi-modules, then $M\otimes _{R}N$ has the left action coming from the left action of M and the right action coming from the right action of N; those actions need not be the same as the left and right actions of $N\otimes _{R}M$ .

연관성은 일반적으로 비확정 링에 대해 더 일반적으로 유지된다: 만약 M이 우측 R-모듈이라면, N a (R, S)-모듈, 그리고 P는 좌측 S-모듈이다.

{\displaystyle(M\otimes _{R}N)\otimes _{S}P=M\otimes _{R}(N\otimes _{S}P)}}

아벨 집단

텐서 제품의 조정관계의 일반적인 형태는 다음과 같다: 만약 R이 반드시 상응하지 않는다면, M은 우측 R-모듈이고, N은 (R, S)모듈이고, P는 우측 S-모듈이고, 그 다음 아벨 그룹이다^[10].

\operatorname {Hom} _{S}(M\otimes _{R}N,P)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{S}(N,P),\,f\mapsto f'

여기서 $f$ $'$ ${\$ 는 $f'$ $f'(x)(y)=f(x\otimes y).$ $y$ ( x $f'(x)(y)=f(x\otimes y).$ ) $f'(x)(y)=f(x\otimes y).$ = $f'(x)(y)=f(x\otimes y).$ ( $f'(x)(y)=f(x\otimes y).$ $($ $f'(x)(y)=f(x\otimes y).$ ) $f'(x)(y)=f(x\otimes y).$ . $f'(x)(y)=f(x\otimes y).$ displaystyle f'( $x)(y)=f(x\otimes$ y $)$ 로 $주어진다$ . $}$

분수 필드를 갖는 R-모듈의 텐서 제품

R은 분수 필드 K를 가진 통합 도메인이 되도록 하자.

For any R-module M, $K\otimes _{R}M\cong K\otimes _{R}(M/M_{\operatorname {tor} })$ as R-modules, where $M_{\operatorname {tor} }$ is the torsion submodule of M.
M이 비틀림 R모듈인 $K\otimes _{R}M=0$ K $K\otimes _{R}M=0$ $K\otimes _{R}M=0$ = $K\otimes _{R}M=0$ {\ $displaystyle K\otimes _{R}$ M $=0$ 비틀림 모듈이 아닌 경우 $K\otimes _{R}M\neq 0$ $K\otimes _{R}M\neq 0$ $K\otimes _{R}M\neq 0$ $K\otimes _{R}M\neq 0$ $K\otimes _{R}M\neq 0$ $K\otimes _{R}M\neq 0$ ${\displaystyle K\otimes _{R}M\neq$ 0 $K\otimes _{R}M\neq 0$
If N is a submodule of M such that $M/N$ is a torsion module then $K\otimes _{R}N\cong K\otimes _{R}M$ as R-modules by $x\otimes n\mapsto x\otimes n$ .
In $K\otimes _{R}M$ , $x\otimes m=0$ if and only if $x=0$ or $m\in M_{\operatorname {tor} }$ . In particular, ${\displaystyle M_{\operatorname {tor} }=\operatorname {ker} (M\to K\$ $m\mapsto 1\otimes m$ $m\mapsto 1\otimes m$ $m\mapsto 1\otimes m$ $m\mapsto 1\otimes m$ $m\mapsto 1\otimes m$ ${\displaystyle m\mapsto 1\otimes m$ 인 $M_{\operatorname {tor} }=\operatorname {ker} (M\to K\otimes _{R}M)$ $오타 _{R}M).$
$K\otimes _{R}M\cong M_{(0)}$ where $M_{(0)}$ is the localization of the module $M$ at the prime ideal $(0)$ (i.e., the localization with respect to the nonzero elements).

스칼라의 연장

일반적인 형태의 부선 관계는 중요한 특별한 경우를 가지고 있다: 모든 R-알지브라 S, M 오른쪽 R-모듈, P 오른쪽 S-모듈에 대해 $\operatorname {Hom} _{S}(S,-)=-$ S $\operatorname {Hom} _{S}(S,-)=-$ ( S $\operatorname {Hom} _{S}(S,-)=-$ , $\operatorname {Hom} _{S}(S,-)=-$ - $\operatorname {Hom} _{S}(S,-)=-$ ) $\operatorname {Hom} _{S}(S,-)=-$ = $\operatorname {Hom} _{S}(S,-)=-$ - ${\displaysty \operatorname {Hom} _{S,-}=-}$ 을 $\operatorname {Hom} _{S}(S,-)=-$ 를) 사용하여 자연적 등형성을 갖는다.

\operatorname {Hom} _{S}(M\otimes _{R}S,P)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Res} _{R}(P)).

이것은 펑터 - $-\otimes _{R}S$ $-\otimes _{R}S$ $-\otimes _{R}S$ ${\displaystyle$ - $\otimes _{R}S}$ 가 $-\otimes_R S$ 건망증이 있는 펑터 $\operatorname {Res} _{R}$ R $\operatorname {Res} _{R}$ {\ $displaystyle \operatorname {Res$ $_{R}}$ 에 대한 좌표라고 말하고 있는데, 이것은 S-action을 R-action으로 제한한다.이 때문에 - $-\otimes _{R}S$ $-\otimes _{R}S$ $-\otimes _{R}S$ $-\otimes _{R}S$ 는 $-\otimes _{R}S$ 흔히 R에서 S로 스칼라의 확장이라고 불린다.대표론에서 R, S가 집단 알제브라일 때 위의 관계는 프로베니우스 상호주의가 된다.

예

$R^{n}\otimes _{R}S=S^{n},$ R $R^{n}\otimes _{R}S=S^{n},$ $R^{n}\otimes _{R}S=S^{n},$ al $R^{n}\otimes _{R}S=S^{n},$ $R^{n}\otimes _{R}S=S^{n},$ = $R^{n}\otimes _{R}S=S^{n},$ $R^{n}\otimes _{R}S=S^{n},$ , ${\displaystyle R^{n}\otimes _{R}S=S^{n}}($ 즉, 스칼라를 확장한 후에도 무료 모듈이 유지됨)
정류 링 $R$ $R$ 과 $R$ (와) 정류 링 R-알지브라 S의 경우 다음 사항을 참조하십시오. $S\otimes _{R}R[x_{1},\dots ,x_{n}]=S[x_{1},\dots,x_{n}];$ 사실, 더 일반적으로는 $S\otimes _{R}(R[x_{1},\dots ,x_{n}]/I)=S[x_{1},\dots ,x_{n}]/IS[x_{1},\dots,x_{n},$ $I$ 서 I $I$ 은 $I$ (는) 이상적이다.
$\mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1),$ = $\mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1),$ [ $\mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1),$ $\mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1),$ / ( $\mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1),$ $\mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1),$ + 1 $\mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1),$ ) $\mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1),$ , ${\displaystyle \mathb {C} =\mathb {R} [x]/(x^{2}+1$ )를 $\mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1),$ 사용하여 이전 예와 중국어 나머지 정리를 링으로 사용한다 $.$ $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =\mathbb {C} [x]/(x^{2}+1)=\mathbb {C} [x]/(x+i)\times \mathbb {C} [x]/(x-i)=\mathbb {C} ^{2}.$ 이것은 텐서 제품이 직접 제품일 때 예를 들어준다.
$\mathb {R} \otimes _{\mathb {Z}\mathb {Z}[i]=\mathb {R}[i]=\mathb {C} .$

예

꽤 일반적인 모듈의 텐서 제품의 구조는 예측할 수 없을지도 모른다.

G는 모든 원소의 순서가 유한한 아벨 그룹(예: G는 토션 아벨리안 그룹이다. G는 $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ 아벨리안 그룹 또는 Q $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ ${\$ 이 되도록 하라. $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ 다음:^[11]

\mathb {Q} \otimes _{\mathb {Z} }G=0.

실제로 $x\in \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }G$ $x\in \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }G$ $x\in \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }G$ Q $x\in \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }G$ $x\in \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }G$ G $x\in \mathb {Q} \otimes _{\mathb {Z} }G$ 은 $x\in \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }G$ (는) 형식이다.

x=\sum _{i}\otimes g_{i},\qquad r_{i}\in \mathb {Q}, g_{i}\in G.

$n_{i}$ $n_{i}$ ${\$ 의 $n_{i}$ 순서가 $g_{i}$ $g_{i}$ ${\$ 인 경우 다음을 계산한다.

x=\sum(r_{i}/n_{i}n)_{i}\otimes g_{i}=\sum r_{i}/n_{i}\otimes n_{i}g_{i}=0.

비슷하게, 사람은 본다.

\mathb {Q} /\mathb {Z} \otimes _{\mathb {Q} /\mathb {Z} = 0.

계산에 유용한 몇 가지 ID:R을 교감반지가 되게 하라 I, J 이상, M, N R-모듈.그러면.

$R/I\otimes _{R}M=M/IM$ / $R/I\otimes _{R}M=M/IM$ $R/I\otimes _{R}M=M/IM$ $R/I\otimes _{R}M=M/IM$ $R/I\otimes _{R}M=M/IM$ = M $R/I\otimes _{R}M=M/IM$ / $R/I\otimes _{R}M=M/IM$ $R/I\otimes _{R}M=M/IM$ ${\displaystyle R/I\otimes _{R}M=M/IM$ $IM=I\otimes _{R}M$ 이 평평하면 I = $IM=I\otimes _{R}M$ $IM=I\otimes _{R}M$ $IM=I\otimes _{R}M$ ${\displaystyle IM=$ $나는$ 종종 $_{R}M}$ ^{[proof 1]}.
$M/IM\otimes _{R/I}N/IN=M\otimes _{R}N\otimes _{R}R/I$ (because tensoring commutes with base extensions)
$R/I\otimes _{R}R/J=R/(I+J)$ / $R/I\otimes _{R}R/J=R/(I+J)$ $R/I\otimes _{R}R/J=R/(I+J)$ $R/I\otimes _{R}R/J=R/(I+J)$ / $R/I\otimes _{R}R/J=R/(I+J)$ = R $R/I\otimes _{R}R/J=R/(I+J)$ / $R/I\otimes _{R}R/J=R/(I+J)$ / ( $R/I\otimes _{R}R/J=R/(I+J)$ + $R/I\otimes _{R}R/J=R/(I+J)$ ) $R/I\otimes _{R}R/J=R/(I+J)$ ^{[proof 2]}.

예:G가 아벨 그룹이라면, $G\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /n=G/nG$ $G\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /n=G/nG$ $G\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /n=G/nG$ / n $G\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /n=G/nG$ = G $G\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /n=G/nG$ / $G\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /n=G/nG$ $G\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /n=G/nG$ $G\otimes _{\mathb {Z}}\mathb {Z$ / $n=G/nG$ 이것은 1부터이다.

예: $\mathbb {Z} /n\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /m=\mathbb {Z} /{\gcd(n,m)}$ / $\mathbb {Z} /n\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /m=\mathbb {Z} /{\gcd(n,m)}$ $\mathbb {Z} /n\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /m=\mathbb {Z} /{\gcd(n,m)}$ $\mathbb {Z} /n\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /m=\mathbb {Z} /{\gcd(n,m)}$ / $\mathbb {Z} /n\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /m=\mathbb {Z} /{\gcd(n,m)}$ = Z $\mathbb {Z} /n\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /m=\mathbb {Z} /{\gcd(n,m)}$ / $\mathbb {Z} /n\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /m=\mathbb {Z} /{\gcd(n,m)}$ ( $\mathbb {Z} /n\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /m=\mathbb {Z} /{\gcd(n,m)}$ , m $\mathbb {Z} /n\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /m=\mathbb {Z} /{\gcd(n,m)}$ ) ${\$ 이것은 3부터입니다.특히 뚜렷한 소수 p, q에 대해서는

\mathb {Z} /p\mathb {Z} \mathb {Z} /q\mathb {Z} = 0.

텐서 제품은 그룹 요소 순서를 조절하기 위해 적용할 수 있다.G를 아벨의 집단이 되게 하라.그러면 2in의 배수가

G\otimes \mathb {Z} /2\mathb {Z}

0이다.

예: $\mu _{n}$ ${\$ 을(를) 통일의 n번째 뿌리의 그룹이 $\mu _{n}$ 되도록 한다.순환집단이며 순환집단은 순서에 따라 분류된다.따라서 비수학적으로 $\mu _{n}\approx \mathbb {Z} /n$ μn μn $\mu _{n}\approx \mathbb {Z} /n$ Z $\mu _{n}\approx \mathbb {Z} /n$ / $\mu _{n}\approx \mathbb {Z} /n$ n {\ $displaystyle \mu _{n}\$ 약 \ $mathb$ { $Z}$ / $n}$ 을(를) 나타내며 $\mu _{n}\approx \mathbb {Z} /n$ , g가 n과 m의 gcd일 때

\displaystyle \mu _{n}\otimes _{\mathb {Z}\mu _{m}\cHB \cHB \cHB \cHB \cHB \cHBFF}

예:Consider $\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} .$ Since $\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q}$ is obtained from $\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$ by imposing ${\displaystyle \mathbb$ ${Q} }$ -중간에 $\mathbb {Q}$ 선형성이 있고, 우리는 추출을 한다.

\mathb {Q} \otimes _{\mathb {Z}}\mathb {Q} \mathb {Q} \otimes _{\mathb {Q}\mathb {Q}}}}}}

이 커널은 r ${r \over s}x\otimes y-x\otimes {r \over s}y$ ${r \over s}x\otimes y-x\otimes {r \over s}y$ x ${r \over s}x\otimes y-x\otimes {r \over s}y$ x ${r \over s}x\otimes y-x\otimes {r \over s}y$ x ${r \over s}x\otimes y-x\otimes {r \over s}y$ x ${r \over s}x\otimes y-x\otimes {r \over s}y$ ⊗ ${r \over s}x\otimes y-x\otimes {r \over s}y$ y ${\displaystyle {$ r $\over s}x\otimes y-x\otimes {$ r $\over s}y}($ 여기서 ${r \over s}x\otimes y-x\otimes {r \over s}y$ r, s, x, u는 정수이고 s는 nonzero이다.이후

{r \over s}x\otimes y={r \over s}x\otimes {s \over s}y=x\otimes {r \over s}y,

커널은 실제로 사라진다. $\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} =\mathbb {Q} .$ Q $\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} =\mathbb {Q} .$ Z $\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} =\mathbb {Q} .$ Q = $\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} =\mathbb {Q} .$ Q = $\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} =\mathbb {Q} .$ Q $\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} =\mathbb {Q} .$ ${\displaystyle \mathb {Q} \otimes$ _ ${\mathb {Z}}\mathb$ { $Q}$ \mathb { $Q} \mathb$ {Q} $\mathb$ { $Q}$ = { $Q}.$

However, consider $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ and $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C}$ . As $\mathbb {R}$ -vector space, $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ 치수 4가 있지만 $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C}$ $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C}$ $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C}$ ${\$ 에는 치수 2가 있다 $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C}$ .

따라서 $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ C ${\$ $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C}$ $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ { $C$ $}$ $\$ { $C}}$ \mathb {C $}}$ }}은 $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ 이형질이 아니다 $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C}$ .

예:We propose to compare $\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R}$ and $\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R}$ . Like in the previous example, we have: ${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {$ $R} =\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} }$ as abelian group and thus as $\mathbb {Q}$ -vector space (any $\mathbb {Z}$ -linear map between $\mathbb {Q}$ -vector spaces is $\mathbb {Q}$ -linear). $\mathbb {Q}$ ${\$ -벡터 $\mathbb {Q}$ 공간처럼 $\mathbb {R}$ ${\$ 는) 연속체의 치수(기준의 카디널리티)를 $\mathbb {R}$ 갖는다.따라서 $\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R}$ $\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R}$ $\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R}$ $\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R}$ ${\$ 은(는) $\mathbb {Q}$ ${\$ $\mathb$ $\mathbb {Q}$ { $Q}$ $\mathbb {Q}$ -dimension이 $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$ 연속체의 $\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R}$ 산물에 의해 색인화되므로 Q ${\displaystythylease$ 가 $\mathbb {Q}$ 이다.따라서 차원적 이유로 $\mathbb {Q}$ ${\$ - 벡터 $\mathbb {Q}$ 공간의 비카논적 이형성이 존재한다.

\mathb {R}\otimes _{\mathb {Z}\mathb {R}\mathb {R} \otimes _{\mathb {R}\mathb {R}}} \mathb {R}} \mathb {R}}}}} \mathb {R}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

.

Consider the modules $M=\mathbb {C} [x,y,z]/(f),N=\mathbb {C} [x,y,z]/(g)$ for $f,g\in \mathbb {C} [x,y,z]$ irreducible polynomials such that $\gcd(f,g)=1.$ Then,

{\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(f)}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y,z]}{\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(g)}}\cong {\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(f,g)}}

또 다른 유용한 예시들은 스칼라를 바꾸는 것에서 온다.에 유의하십시오.

{\frac {\mathbb {Z} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}\otimes _{\mathbb {Z} }R\cong {\frac {R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}

이러한 현상의 좋은 예는 $R=\mathbb {Q} ,\mathbb {C} ,\mathbb {Z} /(p^{k}),\mathbb {Z} _{p},\mathbb {Q} _{p}.$ = Q $R=\mathbb {Q} ,\mathbb {C} ,\mathbb {Z} /(p^{k}),\mathbb {Z} _{p},\mathbb {Q} _{p}.$ $R=\mathbb {Q} ,\mathbb {C} ,\mathbb {Z} /(p^{k}),\mathbb {Z} _{p},\mathbb {Q} _{p}.$ $R=\mathbb {Q} ,\mathbb {C} ,\mathbb {Z} /(p^{k}),\mathbb {Z} _{p},\mathbb {Q} _{p}.$ $R=\mathbb {Q} ,\mathbb {C} ,\mathbb {Z} /(p^{k}),\mathbb {Z} _{p},\mathbb {Q} _{p}.$ $R=\mathbb {Q} ,\mathbb {C} ,\mathbb {Z} /(p^{k}),\mathbb {Z} _{p},\mathbb {Q} _{p}.$ k $R=\mathbb {Q} ,\mathbb {C} ,\mathbb {Z} /(p^{k}),\mathbb {Z} _{p},\mathbb {Q} _{p}.$ ) $R=\mathbb {Q} ,\mathbb {C} ,\mathbb {Z} /(p^{k}),\mathbb {Z} _{p},\mathbb {Q} _{p}.$ , Z $R=\mathbb {Q} ,\mathbb {C} ,\mathbb {Z} /(p^{k}),\mathbb {Z} _{p},\mathbb {Q} _{p}.$ , Q $R=\mathbb {Q} ,\mathbb {C} ,\mathbb {Z} /(p^{k}),\mathbb {Z} _{p},\mathbb {Q} _{p}.$ . ${\displaystyle$ R $=\mathb {Q} ,\mathb {C} ,\mathb {Z} /(p^{k}),\mathb {Z} _{p},\mathb {$ Q $} _{p}.$ $}$

건설

$M$ ⊗ $N$ 의 구성에서는 자유 아벨리아 집단의 몫을 구하는데, 여기에는 형식상의 모든 요소에 의해 생성된 부분군에 의해 M과 N의 순서가 지정된 쌍 $(m,$ $n$ )을 나타내기 위해 사용되는 $기호$ m ∗ $n$ 을 기초로 한다.

−m ∗ (n + n′) + m ∗ n + m ∗ n′
-(m + m³) ∗ n + m ∗ n + m ∗ n
(m · r) ∗ n − m ∗ (r · n)

여기서 m, m′ in M, n, n′, r in R. $m$ ∗ $n =$ ( $m,$ $n)$ 를 m ∗ $n$ 을 포함하는 코셋에 사용하는 지수 지도, 즉,

\otimes :M\to M\time _{R}N,\,(m,n)\mapsto[m*n]

균형이 잡혔으며, 이 지도가 균형이 잡히도록 최소로 선택되었다.⊗의 보편적 속성은 자유 아벨리아 집단의 보편적 속성과 인용구에서 따온 것이다.

좀 더 범주론적으로, ,은 M에 대한 R의 주어진 오른쪽 작용이 되게 한다. 즉, σ(m, r) = m · r과 τ N의 R의 왼쪽 작용이 되도록 한다.그런 다음 R에 대한 M과 N의 텐서 제품을 동일 평준화기로 정의할 수 있다.

M\times R\times N{{{} \atop {\overset {\sigma \times 1}{\to }}} \atop {{\underset {1\times \tau }{\to }} \atop {}}}M\times N{\overset {\otimes }{\to }}M\otimes _{R}N,

요구 사항과 함께

[\displaystyle m\otimes(n+n')=m\otimes n+m\otimes n',}

#\displaystyle (m+m')\otimes n=m\otimes n+m'\otimes n.}

If S is a subring of a ring R, then $M\otimes _{R}N$ is the quotient group of $M\otimes _{S}N$ by the subgroup generated by $xr\otimes _{S}y-x\otimes _{S}ry,\,r\in R,x\in M,y\in N$ , where $x\otimes _{S}y$ $x\otimes _{S}y$ is the image of $(x,y)$ under $\otimes :M\times N\to M\otimes _{S}N.$ In particular, any tensor product of R-modules can be constructed, if so desired, as a quotient of a tensor product of abelian groups by imposing the R-balanced product 속성

정류 링 R에 대한 텐서 제품의 구성에서, R-모듈 구조는 일반 시공에 대해 위에 주어진 요소들에 의해 생성된 하위 모듈들에 의해 자유 R-모듈의 몫을 형성하고, $r$ $\cdot$ ( $m$ ∗ $n)$ - $m$ $*$ ( $r$ ⋅ n)로 증분하여 처음부터 내장할 수 있다 $.$ 또는 R의 중심인 r ∈ Z(R)가 정확하게 정의되었을 때 스칼라 작용을 $r \cdot(m$ ⊗ $n)$ = $m$ $\otimes(r$ ⋅ $n)$ 로 정의하여 일반구축에 Z(R)-모듈 구조를 부여할 수 있다.

M과 N의 직접 생산물은 M과 N의 텐서 제품과 이형성이 거의 없다.R이 역호작용하지 않는 경우, 텐서 제품은 M과 N이 반대편의 모듈이 되어야 하는 반면, 직접 제품은 같은 쪽의 모듈이 되어야 한다.모든 경우에 $선형$ 과 이선 둘 다인 M × $N$ 에서 G까지의 유일한 함수는 영도다.

선형 지도로서

일반적인 경우에 벡터 공간의 텐서 제품의 모든 특성이 모듈로 확장되는 것은 아니다.그러나 모듈 동형성으로 간주되는 텐서 제품의 일부 유용한 특성이 남아 있다.

듀얼 모듈

우측 R-모듈 E의 이중 모듈은 표준 좌측 R-모듈 구조를 가진 $Hom R (E,$ $R)$ 으로 정의되며 E로^∗ 표시된다.^[12]표준적 구조는 덧셈과 메스칼 곱셈의 점적 연산이다.따라서 E는^∗ 모든 R-선형 지도 $E$ → $R$ (일명 선형 형태)의 집합이며, 연산도 있다.

{\displaystyle(\phi +\psi )=\pi(u)+\psi(u),\quad \phi ,\psi \in E^{*},u\in E}

{\displaystyle(r\cdot \phi )(u)=r\cdot \phi(u),\quad \phi \in E^{*},u\in E,r\in R,}}

왼쪽 R-모듈의 이중은 동일한 표기법으로 유사하게 정의된다.

E에서 두 번째 이중으로 이어지는 정론적인 $동형상$ E → $E$ 가^∗∗ 항상 존재한다.E가 유한 계급의 자유로운 모듈이라면 그것은 이형성이다.일반적으로 E는 정론적 동형성이 이형성이라면 반사적 모듈이라 불린다.

이중성 페어링

우리는 그것의 이중 E와^∗ 오른쪽 R-모듈 E의 자연스러운 쌍 또는 왼쪽 R-모듈 F와 그것의 이중 F를^∗ 다음과 같이 나타낸다.

\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :E^{*}\time E\to R:(e',e)\mapsto \langle e', e\angle =e'(e)}

\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :F\time F^{*}\to R:(f,f')\mapsto \langle f,f'\rangele =f'(f)\mapsto.}

쌍은 왼쪽 인수에서는 왼쪽 R-선형이고 오른쪽 인수에서는 오른쪽 R-선형이다.

\displaystyle \langle r\cdot g,h\cdot s\r\cdot =r\langle g,h\langle \cdot s,\quad r,s\in R.}

(bi)선형 지도로서의 요소

일반적인 경우에 모듈의 텐서 제품의 각 요소는 왼쪽 R-선형 지도, 오른쪽 R-선형 지도, 그리고 R-이변형 형태로 나타난다.일반적으로는 상쇄적인 경우와 달리 텐서 제품이 R-모듈이 아니므로 스칼라 곱셈을 지원하지 않는다.

오른쪽 R-모듈 E와 오른쪽 R-모듈 F를 주어, $θ (f$ $\otimes R$ $e')$ 가 지도 $e$ ↦ $f$ ⋅ $e$ $e *$ , ,, $⟩$ ^[13] $e R$ e e e , e e $e$ e e e.

왼쪽 R-모듈 E와 오른쪽 R-모듈 F를 고려할 때, $((f e$ e $)$ 가 $지도$ e $f$ f $⟨ e,$ $e ⟩)$ ^[14]인 것과 같은 표준적 동형성 $ism$ : $F$ $\otimes R$ E → $Hom R (E *,$ F $)$ 이 있다.

두 경우 모두 일반 모듈을 대상으로 하며, 모듈 E와 F가 정밀하게 생성된 투영 모듈(특히 유한 등급의 자유 모듈)로 제한될 경우 이형화 현상이 된다.그러므로 R형 지도에 표준적으로 R-선형 지도에 대한 R-선형 지도에 대한 모듈의 텐서 제품의 요소는 벡터 공간과 마찬가지로, 이러한 선형 지도의 전체 공간과 동등한 제약을 모듈에 적용한다.

오른쪽 R-모듈 E와 왼쪽 R-모듈 F를 주어, $θ R (R f' \times)$ 가 지도 $(f,$ $e) \mapsto f,$ $f'$ e $eee,$ $e ⟩)$ ^{[citation needed]}인 것과 같은 표준적 동형성 $θ$ 이^∗^∗ 있다.따라서 텐서 제품 an F^∗ ⊗_R E의^∗ 요소는 R-편향 지도 $F$ × $E$ → $R$ 을 발생시키거나 그 역할을 하는 것으로 생각할 수 있다.

트레이스

R은 교감반지가 되고 E는 R-모듈이 되게 하라.그 다음 표준 R-선형 지도가 있다.

E^{*}\otimes _{R}E\to R

$\phi \otimes x\mapsto \phi (x)$ $\phi \otimes x\mapsto \phi (x)$ ( $\phi \otimes x\mapsto \phi (x)$ ) $\phi \otimes x\mapsto \phi (x)$ {에 의해 선형성을 통해 유도된 $\phi$ \phi $\otimes x\mapsto \phi (x$ 자연 쌍에 해당하는 고유한 R-선형 맵이다.

E가 정밀하게 생성된 투영 R-모듈인 경우 위에서 $E^{*}\otimes _{R}E=\operatorname {End} _{R}(E)$ 언급한 표준 동형성을 통해 $E^{*}\otimes _{R}E=\operatorname {End} _{R}(E)$ $E^{*}\otimes _{R}E=\operatorname {End} _{R}(E)$ $E^{*}\otimes _{R}E=\operatorname {End} _{R}(E)$ ⊗ ⊗ $E^{*}\otimes _{R}E=\operatorname {End} _{R}(E)$ R $E^{*}\otimes _{R}E=\operatorname {End} _{R}(E)$ = $E^{*}\otimes _{R}E=\operatorname {End} _{R}(E)$ R $E^{*}\otimes _{R}E=\operatorname {End} _{R}(E)$ (E ){\ $displaystyle$ E $^{*}\otimes _{R}$ E=\ $operatorname {End} _{R}($ E)을 식별할 수 있으며, 위의 내용은 다음과 같다.

\operatorname {tr} :\operatorname {End} _{R}(E)\to R.

R이 필드일 때, 이것은 일반적으로 선형 변환의 흔적이다.

차동 지오메트리 예제: 텐서 필드

미분 기하학에서 모듈의 텐서 곱의 가장 두드러진 예는 벡터 장과 미분 형태의 공간의 텐서 곱이다.보다 정확히 말하면, R이 매끄러운 다지관 M에 매끄러운 기능의 (선봉) 링이라면, 그 다음, 그 링을 넣는다.

{\mathfak{T}_{q}^{p}=\Gamma(M,TM)^{\otimes p}^{R}\otimes _{R}\T^{*}M)^{\otimes q}}

여기서 γ은 섹션의 공간을 의미하며, 위첨자 $\otimes p$ $\otimes p$ $\otimes p$ 은 R에 걸쳐 반복 p를 의미한다 $\otimes p$ .정의상 ${\mathfrak {T}}_{q}^{p}$ ${\mathfrak {T}}_{q}^{p}$ ${\mathfrak {T}}_{q}^{p}$ ${\$ 의 요소는 유형(p, q)의 텐서 필드다 ${\mathfrak {T}}_{q}^{p}$ .

R-modules로서 T ${\mathfrak {T}}_{q}^{p}.$ ${\mathfrak {T}}_{p}^{q}$ {\ $displaystyle$ {\ $mathfrak{T}_{p$ }^{ $}}}$ 의 이중 모듈이다 ${\mathfrak {T}}_{p}^{q}$ $.$ $}$ ^[15]

To lighten the notation, put $E=\Gamma (M,TM)$ and so $E^{*}=\Gamma (M,T^{*}M)$ .^[16] When p, q ≥ 1, for each (k, l) with 1 ≤ k ≤ p, 1 ≤ l ≤ q, there is an R-multilinear map:

E^{p}\times {E^{*}}^{q}\to {\mathfrak {T}}_{q-1}^{p-1},\,(X_{1},\dots ,X_{p},\omega _{1},\dots ,\omega _{q})\mapsto \langle X_{k},\omega _{l}\rangle X_{1}\otimes \cdots \otimes {\widehat {X_{l}}}\otimes \cdots \otimes X_{p}\otimes \omega _{1}\otimes \cdots {\widehat {\omega _{l}}}\otimes \cdots \otimes \omega _{q}

여기서 $E^{p}$ $E^{p}$ ${\$ 는 $\prod _{1}^{p}E$ $\prod _{1}^{p}E$ $\prod _{1}^{p}E$ $\prod _{1}^{p}E$ $\prod _{1}^{p}E$ 를 $E^p$ 의미하며 $\prod _{1}^{p}E$ , 모자는 용어가 생략되었음을 의미한다.보편적 속성에 의해, 그것은 고유한 R-선형 지도에 해당한다.

C_{l}^{k}:{k}\mathfrak {T}_{q}^{p}\to {\mathfrak {T}_{q-1}^{p-1}}.

지수(k, l)에서 텐서의 수축이라고 한다.보편적 자산이 본다고 하는 것을 푸는 것은 다음과 같다.

C_{l}^{k}(X_{1}\otimes \cdots \otimes X_{p}\otimes \omega _{1}\otimes \cdots \otimes \omega _{q})=\langle X_{k},\omega _{l}\rangle X_{1}\otimes \cdots {\widehat {X_{l}}}\cdots \otimes X_{p}\otimes \omega _{1}\otimes \cdots {\widehat {\omega _{l}}}\cdots \otimes \omega _{q}.

비고: 앞의 논의는 차등 기하학 교과서(예: 헬가슨)에서 표준으로 한다.어떤 면에서는 피복구조(즉, 모듈의 피복 언어)가 더 자연스럽고 점점 더 보편화된다. 이를 위해, 모듈 피복의 § 텐서(Tensor) 제품 섹션을 참조하라.

플랫 모듈과의 관계

대체적으로.

-\otimes _{R}-\text{}\text{-Mod}\longrightarrow \mathrm {Ab}}

우측 및 좌측 R 모듈 쌍을 입력으로 받아들이고, 아벨리아 그룹 범주의 텐서 제품에 할당하는 분기점이다.

Functor인 우측 R 모듈 M을 고정하여

M\otimes _{R}-:R{\text{-Mod}\longrightarrow \mathrm {Ab}}

발생하며, 대칭적으로 왼쪽 R 모듈 N을 고정하여 펑터를 생성할 수 있다.

-\otimes _{R}N:{\text{Mod-}R\longrightarrow \mathrm {Ab} .

Home bifunctor $\mathrm {Hom} _{R}(-,-),$ $\mathrm {Hom} _{R}(-,-),$ $\mathrm {Hom} _{R}(-,-),$ $\mathrm {Hom} _{R}(-,-),$ ( $\mathrm {Hom} _{R}(-,-),$ - $\mathrm {Hom} _{R}(-,-),$ , $\mathrm {Hom} _{R}(-,-),$ - $\mathrm {Hom} _{R}(-,-),$ ) $\mathrm {Hom} _{R}(-,-),$ , ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(-,-)$ 와 달리 텐서 펑터는 두 $\mathrm {Hom} _{R}(-,-),$ 입력 모두 공변량이다.

It can be shown that $M\otimes _{R}-$ and $-\otimes _{R}N$ are always right exact functors, but not necessarily left exact ( $0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} _{n}\to 0,$ where the first map is multiplication by $n$ $n$ $n$ 은 $n$ 는) $\mathbb {Z} _{n}$ 하지만 $\mathbb {Z} _{n}$ n ${\$ 이(가) 있는 텐서를 사용한 후에는 정확하지 않다.정의상 T $T\otimes _{R}-$ T는 $T\otimes _{R}-$ $T\otimes _{R}-$ R $T\otimes _{R}-$ - ${\displaystyle T\otimes _{$ R}-}가 정확한 $T\otimes _{R}-$ 펑터라면 플랫 모듈이다.

If $\{m_{i}\mid i\in I\}$ and $\{n_{j}\mid j\in J\}$ are generating sets for M and N, respectively, then $\{m_{i}\otimes n_{j}\mid i\in I,j\in J\}$ will be a generating set for ${\display$ $스타일 M\otimes _{R}N.}$ 텐서 펑터 $M\otimes _{R}-$ $M\otimes _{R}-$ R $M\otimes _{R}-$ - $M\otimes _{R}-$ 이(가) 정확하게 유지되지 못하는 경우가 $M\otimes _{R}-$ 있기 때문에 $M\otimes _{R}N.$ , 원래 생성 세트가 최소가 되더라도 최소 생성 세트가 아닐 수 있다.M이 플랫 모듈인 경우 $M\otimes _{R}-$ M $M\otimes _{R}-$ r $M\otimes _{R}-$ - $M\otimes _{R}-$ 는 $M\otimes _{R}-$ 플랫 모듈의 정의에 의해 정확하다.텐서 제품이 필드 F를 인수하면 위와 같이 벡터 공간의 경우다.Since all F modules are flat, the bifunctor $-\otimes _{R}-$ is exact in both positions, and the two given generating sets are bases, then $\{m_{i}\otimes n_{j}\mid i\in I,j\in J\}$ indeed forms a basis for $M\otimes _{F$ $N.}$

추가구조

만약 S와 T가 역행적 R-알게브라라면, $S$ $\otimes R$ $T$ 도 역행적 R-알게브라일 것이며, ( $m 1 1$ ⊗ $mn 2 2)$ ( $n 11$ n n) = (mn ⊗ $mn 22)$ 로 정의되고 선형성에 의해 확장된 곱셈 지도가 될 것이다.이 설정에서 텐서 제품은 R-알게브라의 범주에서 섬유화된 결합체가 된다.

만약 M과 N이 모두 정류 링 위에 있는 R-모듈이라면, 텐서 제품은 다시 R-모듈이다.R이 링이라면 M은 좌측 R-모듈, 정류자

rs − sr

R의 어떤 두 요소 중 r과 s는 M의 전멸기에 있다. 그러면 우리는 M을 설정함으로써 우측 R 모듈로 만들 수 있다.

mr = rm.

지분의 교감반지의 작용을 통한 M 인자에 대한 R의 작용.이 경우 스스로 R을 초과하는 M의 텐서 제품은 다시 R-모듈이다.이것은 역학 대수학에서 매우 흔한 기술이다.

일반화

모듈 복합체의 텐서 제품

X, Y가 R-modules(R a communative ring)의 콤플렉스라면, 그 텐서 제품은 다음과 같이 주어지는 콤플렉스다.

{\displaystyle(X\otimes _{R}Y)_{n}=\sum _{i+j=n}X_{i}\otimes _{R}Y_{j}}

X의_i 경우 X의 경우 X의_j 경우 Y의 경우

d_{X\otimes Y}(x\otimes y)=d_{X}(x)\otimes y+(-1)^{i}x\otimes d_{Y}(y).

^[17]

예를 들어 C가 평탄한 아벨 그룹의 연쇄 복합체이고 G가 아벨 그룹이라면 $C\otimes _{\mathbb {Z} }G$ $C\otimes _{\mathbb {Z} }G$ $C\otimes _{\mathbb {Z} }G$ $C\otimes _{\mathbb {Z} }G$ $C\otimes _{\mathb {Z} }G$ 의 호몰로지 그룹은 G에 계수가 있는 C의 호몰로지 그룹이다 $C\otimes _{\mathbb {Z} }G$ (또한: 범용계수 정리 참조).

모듈 조각의 텐서 제품

예를 들어 이 설정에서는 매끄러운 다지관 M의 텐서 필드를 텐서 제품(텐서 번들이라고 함)의 (글로벌 또는 로컬) 섹션으로 정의할 수 있다.

(TM)^{\otimes p}\otimes _{O}(T^{*}M)^{\otimes q}}

여기서 O는 M에 매끄러운 기능의 고리 조각이며

TM,T^{*}M

TM,T^{*}M

M

TM, T^{*}M

은(는) M에 로컬로 프리 셰이브로 간주된다

TM,T^{*}M

.^[18]

M의 외부 번들은 모든 비대칭 공변량 텐서로 구성된 텐서 번들의 하위 번들이다.외부 번들의 섹션은 M의 차등 형태다.

비고정 반지 한 조각 위에 텐서 제품을 형성하는 중요한 경우 중 하나는 D-모듈 이론, 즉 차동 연산자의 피복 위에 텐서 제품을 형성하는 이론에 나타난다.

참고 항목

메모들

^ M을 사용하여 정확한 시퀀스 $0\to I\to R\to R/I\to 0$ → $0\to I\to R\to R/I\to 0$ → R $0\to I\to R\to R/I\to 0$ → $0\to I\to R\to R/I\to 0$ → $0\to I\to R\to R/I\to 0$ / I $0\to I\to R\to R/I\to 0$ → $0\to I\to R\to R/I\to 0$ $[\displaystyle 0\to R/I\to$ 0 $}$ 을 $0\to I\to R\to R/I\to 0$ (를) 강조하면 $I\otimes _{R}M{\\overset {f}{\\}{{R}M=M\to R/I\otimes _{R}M\to 0$ 여기서 f는 $i\otimes x\mapsto ix$ $i\otimes x\mapsto ix$ $i\otimes x\mapsto ix$ $i\otimes x\mapsto ix$ $i\otimes x\mapsto ix$ $i\otimes x\mapsto ix$ ${\displaystyle i\otimes$ x $\mapsto ix}$ 에 의해 주어진다 $i\otimes x\mapsto ix$ f의 이미지는 IM이기 때문에 우리는 1의 첫 번째 부분을 얻는다.만약 M이 평평하다면, f는 주입식이고 그것의 이미지에 대한 이형성 또한 그렇다.
^ $R/I\otimes _{R}R/J={R/J \over I(R/J)}={R/J \over (I+J)/J}=R/(I+J)=R/(I+J).$ Q.E.D.

참조

^ Nathan Jacobson (2009), Basic Algebra II (2nd ed.), Dover Publications
^ 헤이즈윙클 등(2004), 페이지 95, 4.5.1 참조
^ 부르바키, ch.II §3.1
^ First, if $R=\mathbb {Z} ,$ then the claimed identification is given by $f\mapsto f'$ with $f'(x)(y)=f(x,y)$ . In general, $\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(N,G)$ has the structure of $(g\cdot r)(y)=g(ry)$ $(g\cdot r)(y)=g(ry)$ by $(g\cdot r)(y)=g(ry)$ ( $(g\cdot r)(y)=g(ry)$ $(g\cdot r)(y)=g(ry)$ r $(g\cdot r)(y)=g(ry)$ ) $(g\cdot r)(y)=g(ry)$ ( y $(g\cdot r)(y)=g(ry)$ ) $(g\cdot r)(y)=g(ry)$ = g $(g\cdot r)(y)=g(ry)$ ( $(g\cdot r)(y)=g(ry)$ $(g\cdot r)(y)=g(ry)$ ) ${\displaystyle (g\cdot r)(y)=g(ry$ Thus, for any $\mathbb {Z}$ -bilinear map f, f′ is R-linear ${\displaystyle \Leftrightarrow f'(xr)=f'(x)\cdot r\Leftrightarrow f(xr,y)=f(x,ry).$ $}$
^ 부르바키, ch.II §3.2.
^ 부르바키, ch.II §3.8
^ 첫 번째 세 가지 특성(모형에 대한 ID 포함)은 R-모듈의 범주가 R 정류자를 갖는 대칭 단노이드 범주를 형성한다고 말한다.
^ Proof: (using associativity in a general form) $(M\otimes _{R}N)_{S}=(S\otimes _{R}M)\otimes _{R}N=M_{S}\otimes _{R}N=M_{S}\otimes _{S}S\otimes _{R}N=M_{S}\otimes _{S}N_{S}$
^ 부르바키, ch.II §4.4
^ 부르바키, ch.II §4.1 제안 1
^ http://www.math.uconn.edu/~kconrad/multibs/linmultialg/multorprod.pdf의 예 3.6
^ 부르바키, ch.II §2.3
^ 부르바키, ch.II §4.2 eq. (11)
^ 부르바키, ch.II §4.2 eq. (15)
^ 헬가슨, Lema 2.3' harvnb 오류: 대상 없음: CITREFHelgason(도움말)
^ 이것은 실제로 헬가손에서 $T^{*}M$ $T^{*}M$ $T^{*}M$ ${\displaystyle T^{*}M$ 의 글로벌 섹션인 미분원형 정의이지만, 모듈 이론을 사용하지 않는 통상적인 정의와 동등하다.
^ 5월 12일 §3
^ 수학 백과사전 - 텐서 번들 참조

부르바키, 대수학
Helgason, Sigurdur (1978), Differential geometry, Lie groups and symmetric spaces, Academic Press, ISBN 0-12-338460-5
Northcott, D.G. (1984), Multilinear Algebra, Cambridge University Press, ISBN 613-0-04808-4.
Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, Vladimir V. (2004), Algebras, rings and modules, Springer, ISBN 978-1-4020-2690-4.
피터 메이(1999년), 시카고 대학 출판부의 대수학 토폴로지 간결한 과정.

[12] M을 사용하여 정확한 시퀀스 $0\to I\to R\to R/I\to 0$ → $0\to I\to R\to R/I\to 0$ → R $0\to I\to R\to R/I\to 0$ → $0\to I\to R\to R/I\to 0$ → $0\to I\to R\to R/I\to 0$ / I $0\to I\to R\to R/I\to 0$ → $0\to I\to R\to R/I\to 0$ $[\displaystyle 0\to R/I\to$ 0 $}$ 을 $0\to I\to R\to R/I\to 0$ (를) 강조하면 $I\otimes _{R}M{\\overset {f}{\\}{{R}M=M\to R/I\otimes _{R}M\to 0$ 여기서 f는 $i\otimes x\mapsto ix$ $i\otimes x\mapsto ix$ $i\otimes x\mapsto ix$ $i\otimes x\mapsto ix$ $i\otimes x\mapsto ix$ $i\otimes x\mapsto ix$ ${\displaystyle i\otimes$ x $\mapsto ix}$ 에 의해 주어진다 $i\otimes x\mapsto ix$ f의 이미지는 IM이기 때문에 우리는 1의 첫 번째 부분을 얻는다.만약 M이 평평하다면, f는 주입식이고 그것의 이미지에 대한 이형성 또한 그렇다.

[13] $R/I\otimes _{R}R/J={R/J \over I(R/J)}={R/J \over (I+J)/J}=R/(I+J)=R/(I+J).$ Q.E.D.

[1] Nathan Jacobson (2009), Basic Algebra II (2nd ed.), Dover Publications

[2] 헤이즈윙클 등(2004), 페이지 95, 4.5.1 참조

[3] 부르바키, ch.II §3.1

[4] First, if $R=\mathbb {Z} ,$ then the claimed identification is given by $f\mapsto f'$ with $f'(x)(y)=f(x,y)$ . In general, $\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(N,G)$ has the structure of $(g\cdot r)(y)=g(ry)$ $(g\cdot r)(y)=g(ry)$ by $(g\cdot r)(y)=g(ry)$ ( $(g\cdot r)(y)=g(ry)$ $(g\cdot r)(y)=g(ry)$ r $(g\cdot r)(y)=g(ry)$ ) $(g\cdot r)(y)=g(ry)$ ( y $(g\cdot r)(y)=g(ry)$ ) $(g\cdot r)(y)=g(ry)$ = g $(g\cdot r)(y)=g(ry)$ ( $(g\cdot r)(y)=g(ry)$ $(g\cdot r)(y)=g(ry)$ ) ${\displaystyle (g\cdot r)(y)=g(ry$ Thus, for any $\mathbb {Z}$ -bilinear map f, f′ is R-linear ${\displaystyle \Leftrightarrow f'(xr)=f'(x)\cdot r\Leftrightarrow f(xr,y)=f(x,ry).$ $}$

[5] 부르바키, ch.II §3.2.

[6] 부르바키, ch.II §3.8

[7] 첫 번째 세 가지 특성(모형에 대한 ID 포함)은 R-모듈의 범주가 R 정류자를 갖는 대칭 단노이드 범주를 형성한다고 말한다.

[8] Proof: (using associativity in a general form) $(M\otimes _{R}N)_{S}=(S\otimes _{R}M)\otimes _{R}N=M_{S}\otimes _{R}N=M_{S}\otimes _{S}S\otimes _{R}N=M_{S}\otimes _{S}N_{S}$

[9] 부르바키, ch.II §4.4

[10] 부르바키, ch.II §4.1 제안 1

[11] ttp://www.math.uconn.edu/~kconrad/multibs/linmultialg/multorprod.pdf의 예 3.6

[14] 부르바키, ch.II §2.3

[15] 부르바키, ch.II §4.2 eq. (11)

[16] 부르바키, ch.II §4.2 eq. (15)

[17] 헬가슨, Lema 2.3' harvnb 오류: 대상 없음: CITREFHelgason(도움말)

[18] 이것은 실제로 헬가손에서 $T^{*}M$ $T^{*}M$ $T^{*}M$ ${\displaystyle T^{*}M$ 의 글로벌 섹션인 미분원형 정의이지만, 모듈 이론을 사용하지 않는 통상적인 정의와 동등하다.

[19] 5월 12일 §3

[20] 수학 백과사전 - 텐서 번들 참조

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[3]

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[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[proof 1]

[proof 2]

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[15]

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