신경(범주 이론)

범주 이론, 수학 내에서의 학문인 범주 이론에서, 작은 범주 C의 신경 N(C)은 C의 대상과 형태론에서 구성된 단순한 집합이다.이 단순한 집합의 기하학적 실현은 범주 C의 분류 공간이라 불리는 위상학적 공간이다.이러한 밀접하게 연관된 물체는 대수적 위상, 가장 흔히 호모토피 이론을 사용하여 친숙하고 유용한 범주에 대한 정보를 제공할 수 있다.

동기

범주의 신경은 종종 모듈리 공간의 위상학적 버전을 구성하는 데 사용된다.만약 X가 C의 물체라면, 그것의 모듈리 공간은 어떻게든 모든 이형체를 X로 인코딩하고 그 범주에 있는 이 모든 물체들 사이의 다양한 이형성을 추적해야 한다.이것은 다소 복잡해질 수 있는데, 특히 그 물체들이 많은 비식별 자동화를 가지고 있다면 더욱 그러하다.신경은 이 자료를 정리하는 결합적인 방법을 제공한다.단순 집합은 호모토피 이론이 좋기 때문에 다양한 호모토피 그룹 π_n(N(C)의 의미에 대해 질문할 수 있다.이러한 질문에 대한 답변이 원래의 범주 C 또는 관련 범주에 대한 흥미로운 정보를 제공하기를 희망한다.

신경의 개념은 분리된 그룹의 공간을 분류하는 고전적 개념을 직접적으로 일반화한 것이다. 자세한 것은 아래를 참조하라.

건설

C를 작은 범주로 하자.C의 각 대상에는 N(C)의 0-단순성이 있다.C에는 각 형태론 f : x → y에 대해 1-단순함이 있다.이제 f: x → y, g : y → z가 C의 형태론이라고 가정하자.그리고 우리는 또한 그들의 구성 gf : x → z를 가지고 있다.

도표는 우리의 행동 방향을 제시한다: 이 역삼각형에는 2-단순을 추가하라.N(C)의 모든 2단위는 이러한 방식으로 합성 가능한 형태화 한 쌍에서 나온다.이러한 2단계의 추가는 구성으로 얻은 형태론을 지우거나 다른 방법으로 무시하는 것이 아니라, 단지 이것이 그것들이 어떻게 발생하는지를 기억할 뿐이다.

일반적으로 N(C)_k은 합성형 형태론의 k-tuble로 구성된다.

${\displaystyle A_{0}\to A_{1}\to A_{1}\cdots \to A_{k-1}\to A_{k}}}}$

C의. N(C)의 정의를 단순 집합으로 완성하려면 얼굴과 퇴행 지도도 명시해야 한다.이것들은 또한 C의 구조로 우리에게 제공된다.얼굴 지도

${\displaystyle d_{i}\colon N(C)_{k}\to N(C)_{k-1}$

ith 개체의 형태 구성(또는 i가 0 또는 k일 때 시퀀스에서 ith 개체를 제거)에 의해 주어진다.^[1]이것은 d가_i k-tuple을 보낸다는 것을 의미한다.

${\displaystyle A_{0}\cdots \to A_{i-1}\to A_{i}\to \cdots \to A_{k}}}}$

끝까지 (k - 1)-tuple까지

${\displaystyle A_{0}\cdots \to A_{i-1}\to A_{k}\cdots \cdots \to A_{k}.}$

즉, 지도 d는_i 형태 A_i−1 → A → A_i → A를_ii+1 형태론 A_i−1 → A로_i+1 구성하여 모든 k-tuple에 대해 (k - 1)-tuple을 산출한다.

마찬가지로, 퇴보 지도도

${\displaystyle s_{i}:N(C)_{k}\to N(C)_{k+1}:{k+1}$

물체 A에_i 신분 형태론을 삽입하여 주어진다.

단순 집합은 펑커스 Δ^op → Set로도 간주될 수 있으며, 여기서 Δ는 완전 순서의 유한 집합과 순서 보존 형태론의 범주다.부분적으로 주문한 모든 세트 P는 (작은) 범주 i(P)를 산출하며, P의 p ≤ q가 나올 때마다 p에서 q까지의 독특한 형태론이다.따라서 우리는 작은 범주의 범주 Δ에서 functor i를 얻는다.이제 범주 C의 신경을 functor Δ^op → set라고 설명할 수 있다.

${\displaystyle N(C)(?)=\mathrm {Fun}(i(?),C).\,}$

이 신경에 대한 설명은 functoriality를 투명하게 한다. 예를 들어, 작은 범주 C와 D 사이의 functor는 단순 집합 N(C) → N(D)의 지도를 유도한다.더욱이, 그러한 두 펑커 사이의 자연스러운 변환은 유도된 지도 사이의 호모토피를 유도한다.이러한 관찰은 상위 범주 이론의 원칙 중 하나의 시작이라고 볼 수 있다.그것은 부호화 펑커스가 동종복제 동등성을 유도하는 것을 따른다.특히 C가 초기 물체나 최종 물체를 가지고 있다면 그 신경은 수축할 수 있다.

예

원시적인 예는 이산 그룹 G의 분류 공간이다.우리는 G를 내형성이 G의 요소인 하나의 대상을 가진 범주로 본다.그렇다면 N(G)의 k-simplices는 G의 원소의 k-tules일 뿐이다.얼굴 지도는 곱셈으로 작용하고, 퇴행 지도는 신분 요소를 삽입하여 작용한다.G가 두 개의 원소를 가진 그룹인 경우, 각각의 비음수 정수 k에 대해 정확히 하나의 비음수 k-심플렉스(non-degenerate k-simplex)가 존재하며, 이는 정체성이 없는 G 원소의 고유한 k-tuple에 해당한다.기하학적 실현으로 넘어간 후, 이 k-tuple은 무한 차원 실제 투영 공간에 있는 통상적인 CW 구조에서 독특한 k-cell과 동일시할 수 있다.후자는 두 가지 요소를 가진 집단의 공간 분류에 가장 인기 있는 모델이다.Milnor의 BG 가입 건설에 대한 자세한 내용과 위의 관계를 보려면 (Segal 1968)을 참조하십시오.

대부분의 공간은 공간을 분류하고 있다.

모든 "합리적인" 위상적 공간은 작은 범주의 분류 공간에 동형상이다.여기서 "합리적"은 문제의 공간이 단순한 집합의 기하학적 실현이라는 것을 의미한다.이것은 분명히 필요한 조건이다. 또한 충분하다.실로 X를 단순 집합 K의 기하학적 실현으로 삼자.K의 단순화 집합은 x가 y의 면인 경우에만 x ≤ y 관계에 의해 부분적으로 정렬된다.우리는 부분적으로 주문된 이 세트를 범주로 간주할 수 있다.이 범주의 신경은 K의 이심분할이며, 따라서 X는 가설로 K를 실현하고 이심분할은 실현의 이심분할 유형을 바꾸지 않기 때문에 X에 대한 이심분할은 동심분할이다.

오픈 커버의 신경

X가 개방형 커버 U를_i 가진 위상학적 공간인 경우 커버를 세트포함 관련 부분 순서 집합으로 간주하여 얻은 범주로 교체하여 위 정의에서 커버의 신경을 얻는다.이 신경의 실현은 일반적으로 X(혹은 호모토피 등가물)에 대한 동형질이 아니라는 점에 유의한다.

모듈리 예제

신경 구조를 이용해 지도 공간을 복구하고 지도에 대한 "고차원적" 정보도 얻을 수 있다.D를 범주로 하고, X와 Y를 D의 대상이 되게 한다.사람들은 종종 형태론 X → Y의 집합을 계산하는 것에 관심이 있다.우리는 이 세트를 회복하기 위해 신경 구조를 사용할 수 있다.C = C(X,Y)를 객체가 다이어그램인 범주로 한다.

${\displaystyle X\long 왼쪽 화살표 U\long 오른쪽 화살표 V\long 왼쪽 화살표 Y}$

D에서 U → X → Y → V 형태는 이형체라고 한다.C(X, Y)의 형태론은 다음과 같은 형태의 도표다.

여기서, 표시된 지도는 이형성 또는 정체성이어야 한다.C(X, Y)의 신경은 지도 X → Y의 모듈리 공간이다.적절한 모델 카테고리 설정에서, 이 모듈리 공간은 X에서 Y까지의 D 형태론의 단순한 집합에 상당하는 약한 호모토피다.

참조

• 블랑, D, W. G. 드와이어, P.G. 고어스." ${\displaystyle \Pi }$ -algebra$$: 대수 위상의 모듈리 문제.토폴로지 43(2004), 번호 4, 857–892.
• Guers, P. G., M. J. Hopkins."교환 링 스펙트럼의 모듈리 공간."구조화된 링 스펙트럼, 151–200, London Math.Soc. 강의 노트 세르, 315 케임브리지 유니브.2004년 캠브리지의 프레스
• 시걸, 그래미."공간과 스펙트럼 시퀀스를 분류한다."오트 에투데스 공상과학.퍼블리크. 수학.34번(1968) 105–112.
• 신경 인 nLab