뉴스벤더 모델

뉴스벤더(또는 뉴스보이나 단일 주기^[1] 또는 인양 가능) 모델은 최적의 재고 수준을 결정하는 데 사용되는 운영 관리 및 응용 경제학의 수학적 모델이다. 그것은 (일반적으로) 고정 가격과 부패하기 쉬운 제품에 대한 불확실한 수요로 특징지어진다. 재고 수준이$$$q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$인 경우, $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$ 이상의 각 수요 단위는 잠재적$$ 판매에서 손실된다. 이 모델은 수요의 불확실성에 직면하여 그날의 신문의 몇 부나 비축할지를 결정해야 하는 신문 판매업자가 직면하고 있는 상황과 유추하여 뉴스벤더 문제 또는 뉴스보이 문제로도 알려져 있다.

역사

이 수학적인 문제는 엣지워스가 예금자로부터의 무작위 출금을 만족시키기 위한 최적의 현금 보유량을 결정하기 위해 중앙 제한 정리를 사용한 1888년부터^[2] 현재까지 나타난다.^[3] 첸, 쳉, 최, 왕(2016년)에 따르면 '뉴스보이'라는 용어는 모스·김볼(1951)의 저서 예에서 처음 언급됐다.^[4] 현대적인 공식은 케네스 애로우, T. 해리스, 제이콥 마샤크의 에코모메타에 있는 논문과 관련이 있다.^[5]

특히 고전적인 뉴스벤더 문제에 대한 보다 최근의 연구는 행동적 측면에 초점을 맞췄다: 지저분한 현실 세계의 맥락에서 문제를 해결하려고 할 때, 의사 결정자들이 최적에서 체계적으로 어느 정도 차이가 나는가? 실험적이고 경험적인 연구는 의사결정자들이 예상 수요에 너무 가깝고(pull-to-center 효과^[6]), 이전 기간의 실현에 너무 가까운 주문(수요 추적^[7])에 치우치는 경향이 있다는 것을 보여주었다.

개요

이 모델은 정기 검토 시스템에도 적용될 수 있다.^[8]

가정

1. 제품은 분리 가능
2. 단일 기간 동안 계획 수행
3. 수요는 무작위다.
4. 배달은 수요에 앞서 이루어진다.
5. 연령 초과 또는 미성년 비용이 선형인 경우

이익함수와 임계 프랙탈 공식

표준 뉴스벤더 수익 기능은

${\displaystyle \operatorname {E}[{\text{peritive}=\operatorname {E} \left[p\min(q,D)\right]-cq}$

여기서 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$은(는) 수요를 나타내는$$ 확률 $분포{\displaystyle }$ F ${\displaystyle F}$을(를) 가진 랜덤 변수로서, 각 단위는 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $p$$}$에 대해 판매되고$,$ $q{\displaystyle }$$$${\displaystyle$$$$q}$은(가) 재고가 있는 단위 수이며, $E{\displaystyle }${\displaystytimeat$.$이온 연산자 기대이익을 극대화하는 뉴스벤더의 최적의 재고량 해결책은 다음과 같다.

여기서 $F{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ F$^{-1}$는 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$의 일반화된 역 누적 분포 함수를 나타낸다$$$.$

직관적으로, 이 비율은 중요한 프랙탈이라고 불리며, 재고 부족 비용$({\displaystyle p}$- ${\displaystyle c}$)과 재고 과잉 또는 재고 부족 총 비용($과다$ 재고가 재고 비용인 경우, $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c})$의 균형을 유지하므로 총 비용은 $단순$하게 p이다.$(\displaystyle p}$ $$)

임계 프랙탈 공식은 수익률 관리 문헌에서 리틀우드의 법칙으로 알려져 있다.

숫자 예제

다음의 경우, 소매 가격인 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이(가$)$ 개당 7달러, 구매 $가격$은 c ${\displaystyle c}$이라고 가정해 보자$.$ 이렇게 하면 p${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{}{}}$= ${\displaystyle 7\frac{\mathrm{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}\frac{7}{}}$ = 2 ${\displaystyle 7\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\$ {p-c$}{p}}}={\frac {7-5}{7$}}={\$frac {$2}{7$}}}}}$의 임계 프랙탈을 얻을 수 있다.

균등분포

요구 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ D}은(는$)$ ${\displaystyle {Dmin}_{}}$= ${\displaystyle 50}$ ${\displaystyle D_{\min }=50}$과(와) ${\displaystyle {Dmax}_{}}$= ${\displaystyle 80}$ ${\displaystyle D_{\max }=80}$ 사이의 균일한 분포(연속)를 따르십시오$.$

${\displaystyle q_{\text}}=F^{-1}\왼쪽({\frac {7-5}{7}\오른쪽)=F^{-1}\왼쪽(0.285\오른쪽)=D_{\min }+(D_{\max }-D_{\min }}\cdot 0.285=58.55\ 약 59.}$

따라서 최적 재고수준은 약 59단위다.

정규 분포

요구, $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$은$($는) 평균 $[\displaystyle \mu$ 요구는 50이고 표준 편차는 20의$$$of{\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$인 정규 분포를 따르십시오.

${\displaystyle q_{\text}}=F^{-1}\왼쪽({\frac {7-5}{7}\오른쪽)=\mu +\sigma Z^{-1}\왼쪽(0.285\오른쪽)=50+20(-0.56595)=38.68\약 39.}$

따라서 최적 재고수준은 약 39단위다.

대수 정규 분포

요구 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ D$}$은$($는) 평균 요구량 50, $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu$$}$ 및 표준 편차 $deviation{\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma$ $\}$의 대수 정규 분포를 따르십시오.

${\displaystyle q_{\text{opt}}=F^{-1}\left({\frac {7-5}{7}}\right)=\mu e^{Z^{-1}\left(0.285\right)\sigma }=50e^{\left(0.2\cdot (-0.56595)\right)}=44.64\approx 45.}$

따라서 최적 재고수준은 약 45단위가 된다.

극한 상황

p < ${\displaystyle p<c$}(즉, 소매 가격이 구매 가격보다 낮으면) 분자는 음수가 된다. 이런 상황에서는 어떤 품목도 재고에 보관할 가치가 없다.

최적재고수준의 도출

임계 프랙탈 공식

임계 프랙틸리케이트 공식을 $도출$하려면 E ${\displaystyle }$[${\displaystyle min}${${\displaystyle q}$, ${\displaystyle D}$} ${\displaystyle ]}${\$displaystyle \operatorname${E$$$}$ \$left[{\min\{q,$D\}}\$right]$ 및 $이벤트$ $D{\displaystyle q}$q {\$displaystyty D\leq}$의 조건으로 시작하십시오$.$

${\displaystyle{\begin{정렬}&,\operatorname{E}[\min\{q,D\}]=\operatorname{E}[D\leq q\mid \min\{q,D\}]\operatorname{P}(D\leq q)+\operatorname{E}[D> \mid \min\{q,D\};q]\operatorname{P}(D>, q)\.\[6pt]={}&,\operatorname{E}[D\mid D\leq q]F(q)+\operatorname{E}[q\mid D>, q][1-F를(q)]=\operatorname{E}[D\mid D\leq q]Fᆯ+q[1-F를(q)]\end{정렬}}}.$

이제 사용

${\displaystyle \operatorname {E} [D\mid D\leq q]={\frac {\int\leq}xf(x)\,dx}{\int \limits _{x\leq(x)\,dx},}}}}$

여기서 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)=F'(x$ 이 표현식의 분모는 $F{\displaystyle }$ (${\displaystyle q}$ ) ${\displaystyle F(q$이므로 이제 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {E}[\min\{q,D\}]=\int \limits _{x\leqq(x)\,dx+q[1-F(q)]}}$

그래서 $E{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle [\mathrm{이익}}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle \underset{}{p}}$ ${\displaystyle \underset{}{\int }}$ ${\displaystyle \underset{}{x}}$ ${\displaystyle \underset{}{}}$ x${\displaystyle xx}$ x + ${\displaystyle p}$q [${\displaystyle 1}$ - ${\displaystyle F}$ (${\displaystyle }$)${\displaystyle ]}$- c ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \operatorname {E}[{\text{f}}]=p\int \limits _{x\leq(x)\d+pq[-1-f(q$(q)-q)-q$)-$q)-q]-q]-q]-c}c}c}c}c}c}c$}$c}q.

$q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$에 대한 파생 모델 선택$:$

${\displaystyle {\frac {\partial q}{\partial q}\operatorname {E}[{\text{priency}}=pqf(q)+pq(-F')+p[1-F(q)]-c}$

Now optimize: ${\displaystyle p\left[1-F(q^{*})\right]-c=0\Rightarrow 1-F(q^{*})={\frac {c}{p}}\Rightarrow F(q^{*})={\frac {p-c}{p}}\Rightarrow q^{*}=F^{-1}\left({\frac {p-c}{p}}\right)}$

기술적으로 볼록함도 ${\displaystyle \frac{{확인}^{}}{}}$해야 한다: $\partial {\displaystyle \frac{{\mathrm{}}^{}}{}}$ 2${\displaystyle \frac{{}^{}}{\mathrm{}{}^{}}}$ 2 E${\displaystyle 2}$ [${\displaystyle ]}$= p${\displaystyle }$[${\displaystyle }$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ (${\displaystyle q}$ )$]$ {\$frac$ {\$partial ^{2}}:{\partial q^{2}}:}\operatorname {E}[{\text{finiti}}]=p[-F'(q)]}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

$F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$는 단조로운 비감소이므로 이 두 번째 파생상품은 항상 양성이 아니므로 위에서 결정된 임계점은 글로벌 최대치다.

대체 제형

위의 문제는 같은 결과를 가지고 약간 다르게 캐스팅할 수 있지만 이윤을 극대화하는 것의 하나로 캐스팅된다. 수요 D가 제공된 수량 q를 초과하는 경우${\displaystyle }$(${\displaystyle D}$ -${\displaystyle q}$)${\displaystyle }$( p${\displaystyle }$- ${\displaystyle c}$) ${\디스플레이$ 스타일 $(D-q)(p-c)}$의 기회 비용은 재고 부족으로 실현되지 못한 수익을 나타낸다$$. 한편, $만약{\displaystyle }$ D${\displaystyle q}$q {\$displaystyle D\leq}$이$($가) 판매되는 품목이 상하기 쉽기 때문에${\displaystyle }$(${\displaystyle q}$- ${\displaystyle D}$) ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (q-D)c}$의 초과 연령 비용이 발생한다$.$ 이 문제는 $또한{\displaystyle }$ D ${\displaystyle D}$의 특정 실현을 위해 이 중 하나만 발생한다는 점을 유념하면서 기회비용과 초과비용의 합계에 대한 예상을 최소화하는 것으로 제기될 수 있다$.$ 이 문제의 파생은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aigned}&\operatorname {E}[{\text{openancy cost}+{\text{overage cost}}]\\[6pt]={}&,\operatorname{E}[{\text{제한 연령을 넘은 비용}}\mid D\leq q]\operatorname{P}(D\leq q)+\operatorname{E}[D> \mid{\text{기회 비용}};q]\operatorname{P}(D>, q)\.\[6pt]={}&,\operatorname{E}[(q-D)c\mid D\leq q]F(q)+\operatorname{E}[(D-q)(p-c)D> \mid, q][1-F를(q)]\\[6pt]={}&,c\operatorname{E}[q-D\mid D\leq q]F(q)+(p-c)\operatorname{E}는 경우에는 D-q\mid. D>q][1-F(q)\\[6pt]={}&cqF(q)-c\int \limits _{x\leqq(x)\,dx+(p-c)[\int \int \{x>q(x)\,dx-q(1-f(q)]\\\\\\\[6pt]={}&p\int \limits _{x>q}xf(x)\,dx-pq(1-F(q))-c\int \limits _{x>q}xf(x)\,dx+cq(1-F(q))+cqF(q)-c\int \limits _{x\leq q}xf(x)\,dx\\[6pt]={}&p\int \limits _{x>q}xf(x)\,dx-pq+pqF(q)+cq-c\operatorname {E} [D]\end{aligned}}}$

$q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$에 대한$$이 식의 파생어는

${\displaystyle {\frac {\partial q}{\partial q}\operatorname {E}[{\text{operation cost}}}+{\text{overage cost}}}}}]=p(q)+pqF(q)+pF(q)+pF(q)+c+c+c+c-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p}}}}}}}}}}}}p}}p}p}$

이것은 분명히 위에 도착한 파생상품의 부정적인 면이며, 이는 최대화 제형이 아닌 최소화가므로 중요한 점은 동일할 것이다.

원가 기반 재고 수준 최적화

'뉴스벤더'가 사실 불확실한 시장에 상품을 생산하고자 하는 작은 회사라고 가정해보자. 이러한 보다 일반적인 상황에서 뉴스벤더(회사)의 비용기능은 다음과 같은 방법으로 공식화할 수 있다.

${\displaystyle K(q)=c_{f}+{v}(q-x)+p\operatorname {E} \left[\max(D-q,0)\right]+h\operatorname {E} \left[\max(q-D,0)\right]}$

개별 파라미터는 다음과 같다.

• ${\displaystyle c_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$ ${\$ $$– 고정 비용. 이 비용은 시리즈 생산이 시작되면 항상 존재한다. [$/생산]
• ${\displaystyle c_{}}$ ${\displaystyle v_{}}$ ${\$ $$– 가변 비용. 이 비용 유형은 한 제품의 생산 원가를 나타낸다. [$/제품]
• ${\displaystyle q}$ $[\displaystyle q}$ $$– 인벤토리의 제품 수량. 재고 관리 정책의 결정은 제품 결정 후 재고에서 제품 수량과 관련이 있다. 이 매개변수에는 초기 재고도 포함된다. 만약 아무것도 생산되지 않는다면, 이 수량은 초기 수량, 즉 기존 재고와 동일하다.
• ${\displaystyle x}$ $[\displaystyle x}$ $$– 초기 인벤토리 수준 우리는 공급업체가 납기 초기 재고에서 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$개의$$ 제품을 소유하고 있다고 가정한다.
• ${\displaystyle p}$ $[\displaystyle p}$ $$– 패널티 비용(또는 주문 후 비용) 재고에 수요를 충족시키는 데 필요한 것보다 원료가 적으면, 이는 미충족 주문에 따른 위약금이다. [$/제품]
• ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ $$– 불확실한 고객 수요를 나타내는$$ 누적 분포 함수 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$의 랜덤 변수. [단위]
• ${\displaystyle E}$[ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle E[D]}$ $$– 랜덤 변수 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$의 예상 값$.$
• ${\displaystyle h}$ $[\displaystyle h}$ $$– 재고 및 재고 보유 비용. [$ / 제품]

In ${\displaystyle K(q)}$, the first order loss function ${\displaystyle E\left[\max(D-q,0)\right]}$ captures the expected shortage quantity; its complement, ${\displaystyle E\left[\max(q-D,0)\right]}$, denotes the expected product quantity in stock at the end of the 마침표를 ^[9]찍다

이 비용 함수에 기초하여 최적의 재고 수준을 결정하는 것은 최소화 문제다. 따라서 장기적으로 비용-최적 최종 산출물의 양은 다음과 같은 관계에 기초하여 계산할 수 있다.^[1]

${\displaystyle q_{\text{opt}=F^{-1}\왼쪽({\frac {p-c_{v}}}{p+h}\오른쪽)}$

데이터 기반 모델

뉴스벤더 문제에는 여러 데이터 기반 모델이 있다. 그 중에서도 딥러닝 모델은 어떤 종류의 잡음이나 휘발성 데이터에서도 상당히 안정적인 결과를 제공한다.^[10] 자세한 내용은 모델을 설명하는 블로그에서 확인할 수 있다.^[11]

참고 항목

• 생산되는 부품의 무한 충전 속도: 경제주문수량
• 생산되는 부품의 일정 충전 속도: 경제생산수량
• 수요는 시간에 따라 달라진다. 동적 로트 크기 모델
• 동일한 기계에서 생산된 여러 제품: 경제적 로트 스케줄링 문제
• 재주문점
• 재고관리시스템
• 확장 뉴스벤더 모델

참조

추가 읽기

• Ayhan, Hayrie, Dai, Jim, Foley, R.D, Wu, Joe, 2004: Newsvendor Notes, ISYE 3232 Stochastic Manufacturing & Service Systems. [1]
• Tsan-Ming Choi (Ed.) 뉴스벤더 문제집: 2012년 Springer's International Series in Operations Research and Management Science, 모델, 확장 및 애플리케이션