노모그램

노모그램(그리스 nomos νόμο, "법" 및 grammē γαμμμline, "라인")은 노모그래프, 정렬 차트 또는 아바크라고도 불리는 그래픽 계산 장치로서, 수학 함수의 대략적인 그래픽 연산이 가능하도록 고안된 2차원 도표다. 노모그래피 분야는 1884년 프랑스의 엔지니어 필버트 모리스 도카뉴(1862–1938)에 의해 발명되어 수년간 광범위하게 사용되어 기술자들에게 복잡한 공식의 빠른 그래픽 계산을 실제적인 정밀도로 제공하였다. 노모그램은 표준적인 카르테시안 좌표가 아닌 도카뉴에 의해 발명된 평행 좌표계를 사용한다.

노모그램은 방정식의 각 변수마다 하나씩 n개의 척도 집합으로 구성된다. n-1 변수의 값을 알면 알 수 없는 변수의 값을 찾거나, 일부 변수의 값을 고정하여 미확정 변수의 관계를 연구할 수 있다. 결과는 척도의 알려진 값에 걸쳐 직선자를 배치하고 해당 변수의 척도를 교차하는 위치에서 알 수 없는 값을 판독함으로써 얻는다. 직선자가 만든 가상 또는 그려진 선을 지수선 또는 등각선이라고 한다.

노모그램은 포켓 계산기 시대 이전에 빠르고 정확한 계산을 허용했기 때문에 대략 75년 동안 많은 다양한 맥락에서 번성했다. 노모그램의 결과는 한 개 이상의 선을 그리기만 하면 매우 빠르고 신뢰할 수 있게 얻어진다. 사용자는 결과를 얻기 위해 대수 방정식을 푸는 방법, 표의 데이터를 찾는 방법, 슬라이드 규칙을 사용하는 방법 또는 숫자를 방정식으로 대체하는 방법을 알 필요가 없다. 사용자는 노모그램이 나타내는 기본 방정식조차 알 필요가 없다. 또한, 노모그램은 자연스럽게 그들의 설계에 암시적 또는 명시적 도메인 지식을 통합한다. 예를 들어, 더 높은 정확도를 위해 더 큰 노모그램을 작성하기 위해 노모그래퍼는 보통 합리적이고 문제에 관심 있는 척도 범위만 포함한다. 많은 유목 문자에는 참조 라벨과 색상 영역과 같은 다른 유용한 표시가 포함되어 있다. 이 모든 것은 사용자에게 유용한 안내문을 제공한다.

슬라이드 규칙처럼 노모그램은 그래픽 아날로그 연산 장치다. 또한 슬라이드 규칙과 마찬가지로, 그 정확도는 물리적 표시를 그려내고 재생하고 보고 정렬할 수 있는 정밀도에 의해 제한된다. 일반용도 계산장치인 슬라이드 규칙과 달리 노모그램은 장치의 저울에 내장된 값 테이블을 사용하여 특정 계산을 수행하도록 설계되어 있다. 노모그램은 일반적으로 노모그램이 제공하는 정확도 수준이 충분하고 유용한 애플리케이션에서 사용된다. 또는 보다 정확하지만 오류가 발생하기 쉬운 계산으로 얻은 답을 확인하기 위해 노모그램을 사용할 수 있다.

가로채기 차트, 세로막대형 다이어그램, 육각형 차트 등 다른 유형의 그래픽 계산기를 노모그램이라고도 한다. 이러한 기기는 하나 이상의 선형 등화관절의 사용으로 해결책이 발견되는 그래픽 계산기로서의 노모그램의 정의를 충족하지 못한다.

설명

3변수 방정식의 노모그램은 2개 또는 심지어 3개 척도가 모두 공통인 노모그램이 존재하지만, 일반적으로 3개의 척도를 가진다. 여기서 두 척도는 알려진 값을 나타내고 세 번째 척도는 결과가 판독되는 척도를 나타낸다. 가장 간단한 등식은 u₁, u₂, u, u₃ 세 변수에 대한 u₁ + u₂₃ = 0이다. 이러한 유형의 노모그램의 예는 오른쪽에 표시되며, 노모그램의 부분을 설명하는 데 사용되는 용어로 주석을 달았다.

더 복잡한 방정식은 때때로 세 변수의 함수의 합으로 표현될 수 있다. 예를 들어, 이 글의 상단에 있는 노모그램은 방정식의 양쪽의 로그들을 취해서 그러한 합으로 표현할 수 있기 때문에 평행 척도의 노모그램으로 구성할 수 있었다.

알 수 없는 변수의 척도는 다른 두 척도 사이에 있거나 척도 외부에 있을 수 있다. 계산의 알려진 값은 해당 변수에 대한 척도에 표시되며, 이들 표시 사이에 선이 그려진다. 그 결과는 선이 그 척도와 교차하는 지점에서 알 수 없는 척도로 판독된다. 척도에는 정확한 숫자 위치를 나타내는 '틱 마크'가 포함되며, 라벨이 부착된 기준 값도 포함될 수 있다. 이러한 척도는 선형, 로그 또는 좀 더 복잡한 관계를 가질 수 있다.

이 글의 상단에 있는 노모그램에 빨간색으로 표시된 표본은 S = 7.30, R = 1.17일 때 T 값을 계산한다. 이등분율은 4.65에서 T의 척도를 약간 밑돌며 종이 위에 고해상도로 인쇄하면 T = 4.64에서 3자리의 정밀도를 얻을 수 있다. 변수를 다른 두 변수와 대수적으로 분리할 수 없는 방정식에 특히 유용한 노모그램의 특징인 다른 두 변수의 값에서 변수를 계산할 수 있다는 점에 유의하십시오.

직선 눈금은 비교적 간단한 계산에 유용하지만, 보다 복잡한 계산의 경우 단순하거나 정교한 곡선 눈금을 사용해야 할 수 있다. 세 개 이상의 변수에 대한 노모그램은 변수 두 개에 대한 척도 격자를 통합하거나 변수 수가 적은 개별 노모그램을 복합 노모그램에 연결하여 구성할 수 있다.

적용들

노모그램은 광범위한 어플리케이션에서 사용되어 왔다. 샘플에는 다음이 포함된다.

• 도카뉴에 의한 원래 적용, 프랑스 국가 철도 시스템 건설 중 토사 제거를 위한 복잡한 절단 및 충진 계산 자동화. 이것은 중요한 개념 증명이었다. 왜냐하면 계산은 비교가 되지 않고, 그 결과는 시간, 노력, 그리고 돈을 상당히 절약하기 때문이다.
• 물의 흐름을 조절하기 위한 채널, 파이프 및 와이어의 설계.
• 혈액 생리학의 많은 다른 측면들을 연관시키기 위해 노모그램이 사용되었던 로렌스 헨더슨의 작품. 그것은 미국에서 최초로 노모그램의 주요한 사용이었고 또한 어디에서나 최초의 의학 노모그램이었다. 노모그램은 의학 분야에서 광범위하게 사용되고 있다.
• 시간 계산이 중요한 화재 제어 시스템 이전의 탄도 계산.
• 머신 숍 계산: Blueprint 치수를 변환하고 재료 치수와 특성에 따라 계산을 수행하십시오. 이러한 명암에는 표준 치수 및 사용 가능한 제조 부품에 대한 표시가 종종 포함되었다.
• 분포 속성의 복잡한 계산 및 품질 관리를 위한 합격 시험 설계를 포함한 운영 연구를 위한 통계.
• 운영 연구, 다양한 최적화 문제의 결과 도출.
• 화학 및 화학 공학, 특정 화합물에 대한 일반적인 물리적 관계와 경험적 데이터를 모두 캡슐화한다.
• 항공학, 모든 설명의 항공기에서 수십 년 동안 노모그램이 사용되었다. 항법 및 비행 제어 보조 도구로서, 노모그램은 빠르고, 소형이며, 사용하기 쉬운 계산기였다.
• P.E.에 의한 스푸트니크 1호의 발사 후 궤도 계산에서와 같이 천문학적 계산. 엘리야스버그.^[1]
• 모든 종류의 엔지니어링 작업: 필터와 전송 라인의 전기 설계, 응력과 부하에 대한 기계적 계산, 광학적 계산 등
• 전기 장치에 의존하지 않는 신뢰성과 함께 현장에서 복잡한 계산을 신속하게 수행해야 하는 군사.
• 지진학(지진 규모 추정 및 확률론적 지진 위험^[2] 분석의 결과를 나타내기 위해 노모그램이 개발된 경우)

예

병렬 저항/씬-렌즈

아래의 노모그램이 계산을 수행한다.

이 노모그램은 동일한 등급의 직선만을 사용하여 유용한 비선형 계산을 수행하기 때문에 흥미롭다. 대각선은 축척의 척도 ${\$}}배$$$$큰 반면, 그 위에 있는 숫자는 바로 아래 또는 왼쪽에 있는 것과 정확히 일치하므로, 그래프 종이에 대각선으로 직선을 그려서 쉽게 만들 수 있다.

A와 B는 수평 및 수직 저울에 입력되며, 결과는 대각선 저울에서 읽힌다. 이 공식은 A와 B의 조화 평균에 비례하여 여러 가지 용도가 있다. 예를 들어 전자공학에서는 병렬 저항 공식이고 광학에서는 얇은 렌즈 방정식이다.

예를 들어, 빨간색 선은 56옴과 42옴의 병렬 저항기가 24옴의 결합 저항을 가지고 있음을 보여준다. 초점 길이가 24cm인 렌즈에서 56cm 거리에 있는 물체가 42cm 거리에서 실제 이미지를 형성한다는 사실도 증명한다.

카이-제곱 검정 계산

아래의 노모그램은 익숙한 통계 테스트인 Pearson의 카이-제곱 테스트를 수행할 때 필요한 일부 값의 근사 계산을 수행하는 데 사용할 수 있다. 이 노모그램은 균일하지 않은 간격의 눈금이 있는 곡선 눈금을 사용하는 것을 보여준다.

관련 표현은 다음과 같다.

상단의 척도는 A, B, C, D, E의 다섯 가지 관측치 범위 간에 공유된다. 관측된 값은 이러한 범위 중 하나에서 발견되며, 해당 척도에 사용된 눈금 표시는 바로 위에서 발견된다. 그런 다음 범위를 기준으로 기대값에 사용되는 곡선 스케일을 선택한다. 예를 들어 관측값 9는 범위 A의 9보다 높은 눈금을 사용하고, 기대값에는 곡선 척도 A가 사용된다. 관측치 81은 범위 E에서 81 이상의 눈금을 사용하고, 기대값에는 곡선 눈금 E가 사용된다. 이를 통해 5개의 서로 다른 노모그램이 단일 도표로 통합될 수 있다.

이러한 방식으로 파란색 선은 다음 사항의 연산을 보여준다.

(9 − 5)² / 5 = 3.2

빨간색 선은 다음과 같은 계산을 나타낸다.

(81 − 70)² / 70 = 1.7

테스트를 수행할 때, 연속성에 대한 예이츠의 보정이 종종 적용되며 단순히 관측치에서 0.5를 빼는 것을 포함한다. 예이츠의 보정으로 시험을 수행하기 위한 노모그램은 각 "관찰된" 척도를 왼쪽으로 반씩 이동하여 1.0, 2.0, 3.0, ... 눈금이 현재 도표에 0.5, 1.5, 2.5의 값이 나타나는 곳에 배치되도록 구성될 수 있다.

식품위험도평가

비록 명문이 수학적인 관계를 나타내지만, 모든 것이 수학적으로 파생된 것은 아니다. 다음의 것은 수치적으로가 아니라 주관적인 단위로 그들의 관계의 산물로 쉽게 정의될 수 있는 적절한 최종 결과를 얻기 위해 그래픽으로 개발되었다. 비병렬 축을 사용하여 비선형 관계를 모델에 통합할 수 있었다.

사각형 상자의 숫자는 적절한 평가 후 입력이 필요한 축을 나타낸다.

영상 상단의 노모그램 쌍은 발생 확률과 가용성을 결정하며, 이 쌍은 그 후 하위 다단계 노모그램에 통합된다.

8행과 10행은 '타이 라인' 또는 '피봇 라인'으로 복합 노모그램의 단계 간 전환에 사용된다.

최종 병렬 로그 척도 쌍(12)은 이와 같은 명문이 아니라 위험 점수(11, 원격에서 매우 높음)를 샘플링 빈도로 변환하여 안전 측면과 기타 '소비자 보호' 측면을 각각 다루는 판독 척도다. 이 단계에서는 비용과 위험의 균형을 맞추는 정치적 '매수'가 필요하다. 두 측면에 대해 척도의 높은 위험 끝은 다르지만, 두 측면에 대해 서로 다른 빈도를 제공하지만, 둘 다 모든 측면에 대해 최소한 3년에 한 번 모든 식품의 전체 최소 샘플링을 받아야 한다.

이 위험 평가 노모그램은 영국 공공 분석 기관이 영국 식품 표준국의 자금후원으로 개발하여 공식 식품 통제 목적을 위한 식품의 적절한 샘플링 및 분석 빈도를 안내하는 도구로 사용되었으며, 아직 채택되지는 않았지만 모든 식품의 모든 잠재적 문제를 평가하기 위해 사용되었다.

기타 빠른 노모그램

자를 사용하면 씨네 법칙의 누락된 용어나 이차 방정식과 입방정식의 뿌리를 쉽게 읽을 수 있다.^[3]

참고 항목

• 카토그램
• 힐베르트의 열세 번째 문제
• 로드 라인(전자공학)
• 로그 로그 그래프
• 세미로그 그래프

참조

추가 읽기

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Nomogram". MathWorld.
• 노모그래피 기술은 기하학, 결정인자, 변환을 이용한 노모그램의 설계를 기술한다.
• 노모그래피의 잃어버린 예술은 노모그래피 분야를 조사하는 수학 저널 기사다.
• Wargames를 위한 노모그램이지만 일반적 관심도 있다.
• PyNomo – 노모그램 구성을 위한 오픈 소스 소프트웨어.
• 간단한 노모그램 작성을 위한 Java 애플릿.
• 세 변수 간의 관계를 시각화하기 위한 노모그램 - Jonathan Rougier가 useR!2011을 위해 초대한 강연 슬라이드와 비디오.