대수적 다양성의 단수점
Singular point of an algebraic variety |
대수 기하학의 수학적 분야에서 대수적 다양성 V의 단수점은 '특수'(그러므로, 단수)인 점 P로, 기하학적 의미에서는 이 시점에서 다양성의 접선 공간이 정기적으로 정의되지 않을 수 있다. 실제에 걸쳐 정의되는 품종의 경우, 이 개념은 국소 비평탄성의 개념을 일반화한다. 단수가 아닌 대수적 다양성의 점은 규칙적이라고 한다. 단수점이 없는 대수적 품종은 가수성이 없거나 매끄럽다고 한다.
정의
암묵적 방정식에 의해 정의된 평면 곡선
- ( , )=
여기서 F는 매끄러운 기능이다. 만약 Taylor 시리즈 F가 적어도 이 시점에서 2의 오더를 가지고 있다면, 한 점에서 단수라고 한다.
그 이유는 미분학에서 그러한 곡선의 점(x0, y0)의 탄젠트가 방정식으로 정의되기 때문이다.
왼쪽이 테일러 팽창의 학위 1번이다. 따라서 이 용어가 0이면 접선은 존재하지 않거나 특별한 정의가 제공되어야 하기 때문에 표준적인 방법으로 정의되지 않을 수 있다.
일반적으로 하이퍼 페이스의 경우
단수점은 모든 부분파생상품이 동시에 소멸되는 점이다. 일반 대수적 품종 V는 여러 다항식의 공통 0으로 정의되고 있는데, 단수점이 되는 V의 점 P에 대한 조건은 다항식 1차 부분파생물의 자코비안 행렬이 품종의 다른 지점의 순위보다 낮은 P에 랭크를 가지고 있다는 것이다.
단수가 아닌 V의 점들을 비곡어 또는 정규어라고 한다. 거의 모든 점이 비음속적이라는 것은 항상 사실이며, 비음속 점들이 품종에서 개방적이고 밀도 높은 세트를 형성한다는 것이다(자리스키 토폴로지는 물론, 복잡한 숫자에 걸쳐 정의된 품종의 경우 일반적인 토폴로지의 경우).[1]
실제 다양성(실제 계수를 갖는 다항식으로 정의된 다양성의 실제 좌표를 갖는 점들의 집합)의 경우, 그 다양성은 모든 정규점 근처에 있는 다지관이다. 그러나 실제 다양성은 다지관일 수 있고 단수점을 가지고 있다는 점에 유의해야 한다. 예를 들어 y3 + 2xy2 - x4 = 0 등식은 실제 분석 다지관을 정의하지만 원점에 단수점이 있다.[2] 이것은 곡선에 두 개의 복잡한 결합 가지가 있어서 실제 가지를 원점에서 자른다고 설명될 수 있다.
매끄러운 매핑의 단수점
단수점의 개념은 순전히 국부적 속성이기 때문에 위의 정의는 보다 광범위한 종류의 매끄러운 매핑(모든 파생상품이 존재하는 M에서 R까지의n 기능)을 포괄하도록 확장할 수 있다. 이러한 단수점의 분석은 지도 제작의 제트를 고려하여 대수적 버라이어티 사례로 줄일 수 있다. k번째 제트기는 도 k에서 잘리고 상수 항을 삭제하는 매핑의 테일러 시리즈다.
노드
고전 대수 기하학에서는 특정한 특수한 단수점을 노드라고도 불렀다. 노드는 헤시안 행렬이 비성격인 단수점이다. 이는 단수점이 다중성 2를 가지며 접선 원뿔이 정점 바깥의 단수점이 아님을 의미한다.
참고 항목
참조
- ^ Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Berlin, New York: Springer-Verlag. p. 33. ISBN 978-0-387-90244-9. MR 0463157. Zbl 0367.14001.
- ^ Milnor, John (1969). Singular Points of Complex Hypersurfaces. Annals of Mathematics Studies. Vol. 61. Princeton University Press. pp. 12–13. ISBN 0-691-08065-8.
