편도함수

에 관한 일련의 기사의 일부
미적분학.
기본 정리 라이프니츠 적분 규칙 기능의 제한 연속성 평균값 정리 롤의 정리
차동 정의들 도함수(일반화) 차동 극소수의 함수의 총 개념 미분 표기법 이차 도함수 암묵적 미분 로그 미분 관련 요금 테일러의 정리 규칙과 아이덴티티 합 제품. 체인 힘 몫 로피탈의 법칙 역 라이프니츠 장군 파디 브루노의 공식 레이놀즈.
일체형 적분 목록 적분 변환 정의들 반파생적 내장(부적합) 리만 적분 르베그 적분 등고선 통합 역함수의 적분 통합: 부품. 디스크 원통형 셸 치환(트리거메트릭, 탄젠트 반각, 오일러) 오일러 공식 부분 분수 순서 변경 환원 공식 적분 기호로 구분 라이시 알고리즘
시리즈 기하학(산술-기하학) 고조파 교대로 힘 이항 테일러 컨버전스 테스트 Summand limit(항 검정) 비율 뿌리 일체형 직접 비교 한계 비교 교대 급수 코시 응축 디리클레 아벨
벡터 그라데이션 발산 컬 라플라시안 방향 도함수 아이덴티티 정리 그라데이션 녹색의 스토크스 발산 일반화 스토크스
다변수 형식주의 매트릭스 텐서 외부 기하학 정의들 편도함수 다중 적분 라인 적분 표면적분 볼륨 적분 야코비안 헤시안
고급. 유클리드 공간의 미적분 분배의 한계
특화된 프랙셔널 말리아빈 확률적 바리에이션
여러가지 종류의 계산 전 역사 용어집 토픽 리스트 인테그레이션 분석.
v t

수학에서, 여러 변수의 함수에 대한 부분 도함수는 그 변수들 중 하나에 대한 도함수이며, 다른 변수들은 상수이다(모든 변수가 변화하도록 허용된 총 도함수와 반대).부분 도함수는 벡터 미적분과 미분 기하학에서 사용된다.

$변수$ x$(\displaystyle$x)에$$ 대한 $함수{\displaystyle }$ f$(x,y,\dots)$의 부분 도함수는 다음과 같이 다양하게 표시됩니다.

x$(\displaystyle$ x$)$ $방향$의 기능 변화율이라고 할 수 있습니다.

z ${\displaystyle =f}$ (${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle y}$ , ${\displaystyle ...}$ )$${ $displaystyle$ z $= f$ ($x$ ,$y$ , \$ldots$의 $경우{\displaystyle }$ x ${\displaystyle$z$}$에 대한$$z {\$displaystyle$ z}의$$ $부분{\displaystyle }$ 도함수가${\displaystyle \frac{\mathrm{}z}{}}$ z${\displaystyle \frac{\mathrm{}x}{}}$x$$. { $tfrac${\$displaystyle z}$로 표시될 수 있습니다.} 일반적으로$$ 부분파생물은 원래의 함수와 동일한 논거를 가지므로, 그 함수 의존성은 다음과 같이 표기법에 의해 명확하게 나타나기도 한다$.$

${\displaystyle f'_{x}(x,y,\ldots), {\frac {\frac f}{\frac x}(x,y,\ldots)}$

편도함수를 나타낼 때 사용하는 기호는 ∂이다.수학에서 이 기호의 최초 사용법 중 하나는 1770년 콘도르세 후작에 의해 알려졌는데, 그는 부분 차이에 그것을 사용했다.현대의 편도함수 표기법은 Adrien-Marie Legendre (1786년)에 의해 만들어졌지만 나중에 그는 그것을 포기했다; Carl Gustav Jacobi는 1841년에 ^[1]그 기호를 다시 도입했다.

정의.

일반파생상품과 마찬가지로 부분파생상품은 한계로 정의된다.$U$를 R $(\displaystyle \mathbb {$R$} ^{$n$$${\displaystyle \})}$ ${\displaystyle 및}$ f: ${\displaystyle U\mathbb{}}$ R(\$display$ f$:$$U\to \mathbb {R}$ 함수$$.$i번째{\displaystyle \mathbf{}}$ 변수_i x에 대한 점 a$=$ (${\displaystyle {}_{}{a\mathrm{}}_{}{}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$ )${\displaystyle u}$U ${\displaystyle$ \$mathbf${a} $=(a_{1},\ldots,a_{$n}\$in$ U$$$})$에서의 f의 편도함수는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\frac}{\frac x_{i}}f(\mathbf {a})=\lim _ {h\to 0}{\frac {f(a_{1}\ldots, a_{i}+h, a_i+1}\ldots, {a}{a})-{f}-}{h}\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {a} +h\mathbf {e_{i}})-f(\mathbf {a}}}}{h}}\end{aligned}}}$

소정의 점 a에 모든 편도함수 θf_i/θx(a)가 존재하더라도 함수는 연속적일 필요가 없다.그러나 모든 부분 도함수가 a의 근방에 존재하고 그 근방에서 연속적인 경우 f는 그 근방에서 완전히 미분 가능하며 총 도함수는 연속적이다.이 경우 f는 C함수라고¹ 한다.이는 벡터 값 함수 $f{\displaystyle }$ :${\displaystyle }$U ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle {}^{}}$m \ $displaystyle$f:에 대해 ${\displaystyle \mathrm{일반화}}$ 할 수 있습니다.$componentwise 인수$를 신중하게 사용하여 $U$\to \$mathbb$ {R$}$ ^{m$\}$$。$

편도함수${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$f ${\displaystyle \frac{f}{}}$ f$$ x ($$\ $displaystyle$ \$frac$ \ $partial$f { \ $partial$ x$$} )는$$ U에 정의되어 있는 다른 함수로 볼 수 있으며, 다시 부분적으로 미분될 수 있다.모든 혼합 2차 편도함수가 한 점(또는 집합)에서 연속이라면 f는 해당 점(또는 집합)에서 C 함수라고² 한다. 이 경우, 부분 도함수는 Clairaut의 정리에 의해 교환될 수 있다.

${\displaystyle {\frac x_{i}\displaystyle {\frac x_{j}={frac x_{j}\displaystyle x_{i}}}.}$

표기법

다음 예에서는 f$\$$displaystyle$$$f를$$ x$, y$ $및{\displaystyle }$$$z$$$\displaystyle$$z$의$$함수로 $합니다{\displaystyle }$.

1차 편도함수:

$(\displaystyle\frac f{\displaystyle}=f'_{x}=\displaystyle_{x}f).}$

2차 편도함수:

${\displaystyle {\frac ^{2}f}=f'_{x}=\display_{x}f=\display_{x}^{2}f.}$

2차 혼합 파생상품:

${\displaystyle {\frac ^{2}f} {\fac x} = leftfrac {\fac} {\fac f} {\f} = (f'_{x} ) = \fac _ {x} = \fac _ {x} f = \f} \fac _ {\f} {\f} {f}}$

고차 부분 및 혼합 도함수:

${\displaystyle {{i+j+k}f{\display x^{i}\display y^{j}=f^{(i,j,k)}=\display _{x}^{i}\display _{z}^{k}f.}$

여러 변수의 함수를 다룰 때 이들 변수 중 일부는 서로 관련이 있을 수 있으므로 모호성을 피하기 위해 일정하게 유지되는 변수를 명시적으로 지정해야 할 수 있습니다.통계역학 등의 분야에서는$$x$(\displaystyle$ x$)$에 대해 y$(\$$displaystyle y$$)$와$z{\displaystyle }$(\$displaystyle$ z$)$를 일정하게 $유지$하는 f(\$displaystyle$ f$)$의 부분 도함수는 다음과 같이 표현된다.

$(\displaystyle\leftfrac\frac\fright)_{y,z}.}$

종래에는 표기의 명확성과 단순성을 위해 편도함수와 특정점에서의 함수값을 편도함수 기호(Leibniz 표기법)를 사용할 때 함수 인수를 포함시킴으로써 결합한다.이렇게 표현하면

$(\displaystyle\frac f(x,y,z){\display x}}$

이 기능에 사용됩니다.

${\displaystyle\frac f(u,v,w)}{\display u}}$

( x ,${\displaystyle y}$,${\displaystyle z}$ )${\displaystyle =}$ (${\displaystyle u}$ ,${\displaystyle v}$ ,${\displaystyle w}$ ) {$displaystyle ( x$ ,$y$ , z ) = ($$${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$,${\displaystyle }$z ) ${\displaystyle =}$ ( ${\displaystyle 17}$,${\displaystyle u}$ +${\displaystyle {}^{}}$ , ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$) $displaystyle$ ($x$ , y , w$$) = ( x , y , v , w )$$}$$에서의 함수 값에 사용할 수 있습니다.e 함수는 다루기 어려운 방식으로 다음과 같이 표현되어야 한다.

${\displaystyle {\frac f(x,y,z)}{\frac x}(17,u+v,v^{2})}$

또는

$(\displaystyle\왼쪽).{{frac f(x,y,z)}{\right_{(x,y,z)=(17,u+v,v^{2})}$

라이프니츠 표기법을 사용하기 위해서입니다.따라서 이 경우 ih 변수에 대한 편도함수 기호로서 $(\$})를 사용하는 것이 바람직할 수 있다.예를 들어 위의 예에서는 ${\displaystyle {}_{}}$f (${\displaystyle \mathrm{17}}$ ,${\displaystyle u}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ , ${\displaystyle {v\mathrm{}}^{}}$2$$) { $displaystyle D_{1}$ f ( $17 , u$ +$v$ , $v^{2$} $)$ 라고 $하면$, $식{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$f { $displaystyle D_{1}f}$ 는$$ 첫 ^[2]번째 변수에 대한 편미분함수를 나타냅니다.

고차 편도함수의 경우, J번째 변수에 대한 $(Displaystyle D_{i}f)$의 편도함수(함수)는 ${\displaystyle {Dj}_{}{}_{}}$ f${\displaystyle )}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {Di,}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$f {$displaystyle D_{j}(D_{i}f)$로 표시된다.=$D_{i,j}$f$\}.$ $즉{\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {Dj}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {Di}_{}}$=$,$ j \ $displaystyle D_{$j}\$circ D_{$i}=$D_{i,$j$\}$이다. 따라서 변수는 도함수가 취해지는 순서와 일반적으로 표기되는 역순으로 나열된다.물론 Clairaut의 정리는 f에 대한 비교적 가벼운 규칙성 조건이 충족되는 ${\displaystyle {한\mathrm{Di}}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ $=$ i({$displaystyle D_{i$,j}=$D_{j,$i$$})를 $의미$한다.

그라데이션

여러 변수의 함수의 중요한 예로는 유클리드 ${\displaystyle {}^{}}$ R$$n$(\displaystyle$ \$mathbb${${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$} ^{$n}$ （ R 2$$\$displaystyle \mathbb$${R$$}$^{$2}}$ $또는$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$3 \$displaystyle \mathbbb${R}$^}$ $$^})의 도메인에서 스칼라 값 함수 f(x₁, ..., x, ..., x_n)가 있습니다.이 경우 f는 각 변수_j x에 대해 편도함수 θf/θx를_j 가진다.a 지점에서, 이러한 편도함수는 다음 벡터를 정의한다.

$(\displaystyle \displayla f(a)=\left frac(a),\ldots, {\frac x_{n}(a)\right).}$

이 벡터는 a에서의 f의 기울기라고 불립니다.어떤 영역의 모든 점에서 f가 미분 가능한 경우, 그 구배는 a점을 벡터 f(a)로 하는 벡터값 함수 θf가 된다.그 결과, 구배는 벡터장을 생성한다.

표기법의 일반적인 남용은 단위 $벡터$가${\displaystyle i\stackrel{}{\mathbf{}}^,}$ ${\displaystyle j\stackrel{}{\mathbf{}}}$ k$^{${\$hat {mathbf {j}},$ {\$hat$ {$mathbf${k$\}\}\}$인$$3차원 유클리드 $공간{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ $(\${$R$$})$에서 다음과 같이 del 연산자(θ)를 정의하는 것입니다.

$(\displaystyle \displaystyle =\left[\frac {\frac x}\right] {\frac {i}}+\hat {\frac y}}+\left[\frac {j}\frac {\fright} zmathbhat {\f}\fright}$

또는 일반적으로 좌표 $x{\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle x_{}}$n {$1},\ldots, x_${${\displaystyle n_{\mathrm{}}}$$}$ 및$$ 단위 $벡터{\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{}}}_{}}$e${\displaystyle {}_{}}$^1$,$ e$$^${\displaystyle n_{}}$ {\$display$ {$hat\mathbbf {e}},$ {$1\$ldots$}$인 n차원 유클리드 $공간{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ n ${\$$displaystyle$ \$mathbbbb {R},$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\left[{\frac {\frac}{\frac x_{j}}\right] {\hat {mathbf {e}}}=\left[{\frac {\f}{\frac x_{1}}\right} {\h} {\f}$

방향 도함수

예

f가 둘 이상의 변수의 함수라고 가정합니다.예를 들어.

${\displaystyle z}$ ${\displaystyle =f}$ (${\displaystyle }$x ,${\displaystyle y}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle x}$y + ${\displaystyle {}^{}}$ ( \ $displaystyle$ z $= f$ ($x$ , y ) = x^ ${$2} +$xy$ + y$^ {$2}$$} 。

이 함수의 그래프는 유클리드 공간의 표면을 정의합니다.이 표면의 모든 점에는 무한히 많은 접선이 있습니다.편미분은 이 선들 중 하나를 선택하고 그 기울기를 구하는 행위입니다.일반적으로 가장 관심 있는 $선$은 ${\displaystyle x}$ z$\displaystyle xz$ 평면과$$ 평행한 선과 $y{\displaystyle }$ $\displaystyle yz$평면$$(각각 y$\displaystyle$ y$}$ $또는$ x\$displaystyle x}$를 일정하게 유지하는 선)입니다.

P${\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 1}$)$${$displaystyle$P($1,1)}$에서 함수에 접하고 ${\displaystyle x}$ z$${\$displaystyle xz}$ 평면과$$ 평행한 선의 기울기를 구하려면 y$${$displaystyle$ y$}$를 상수로 $취급$합니다.그래프와 이 평면이 오른쪽에 표시됩니다.아래에서는 ${\displaystyle \mathrm{함수}}$가 y$$ 1({$displaystyle$ y$=1$에서 어떻게 표시되는지 보여 줍니다. y$({displaystyle$y})를 상수라고 가정하면서 방정식의 도함수를 구하면 점$,$ $)$에서의$$f({$displaystyle$f$})$의 기울기가 다음과 같습니다.

${\displaystyle\frac z}=2x+y.}$

따라서 ($,$)에서${\displaystyle }$(1,1$)(\displaystyle$(1$,1$은 대체적으로 기울기가 3입니다.그러므로,

$(\displaystyle\frac z}{\display x}=3)$

$({\displaystyle 1,1}$)$${$displaystyle (1,1$ 즉${\displaystyle ,}$ (${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 1}$)$${$displaystyle (1,1)}$에서${\displaystyle }$x$${{$displaystyle$ x$}$에 대한$$z {$displaystyle$ z$}$의 부분 도함수는 그래프에서와 같이 3입니다.

함수 f는 다른 변수에 의해 색인화된 한 변수의 함수 집합으로 재해석될 수 있다.

$\displaystyle f(x,y)=f_{y}(x)=xy^{2}+xy+y^{2}.}$

즉, y의 모든 값은 f로 표시된_y 함수를 정의합니다. f는 변수 ^{[note 1]}x의 함수입니다.그것은,

${\displaystyle f_{y}(x)=x^{2}+xy+y^{2}.}$

이 절에서 첨자 표기법_y f는 부분 도함수가 아닌 고정값 y에 따른 함수를 나타낸다.

예를 들어 y 값을 선택하면 f(x,y)는 x$$ \$displaystyle xz}$ -평면에서$$ x + ax + a를²² 추적하는 함수_a f를 결정합니다.

${\displaystyle f_{a}(x)=x^{2}+ax+a^{2}.}$

이 식에서 a는 변수가 아닌 상수이므로_a f는 하나의 실제 변수, 즉 x의 함수이다. 따라서 하나의 변수의 함수에 대한 도함수의 정의가 적용된다.

${\displaystyle f_{a}'(x)=2x+a.}$

위의 절차는 임의의 선택지에 대해 수행할 수 있습니다.도함수를 함수로 결합하면 x 방향으로 f의 변동을 설명하는 함수를 얻을 수 있습니다.

$(x,y)=2x+y.}$

이것은 x에 대한 f의 편도함수이다.여기서 θ는 편도함수 기호라고 불리는 반올림d이며, 문자 d와 구별하기 위해 θ는 "부분"으로 발음되기도 한다.

고차 편도함수

2차 이상의 편도함수는 일변량 함수의 고차도함수와 유사하게 정의된다.$함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle (x,}$ ${\displaystyle y,}$ $...)$ {$displaystyle$ f$(x,y,...})$의 경우 x에 대한 "소유" 두 번째 부분 도함수는 단순히 (x에 대한) 부분 ^{[5]: 316–318} 도함수의 부분 도함수입니다.

${\displaystyle {\frac x^{2}\equiv\frac f_{x}\equiv f_{x}\equiv.}$

x와 y에 대한 교차 편도함수는 x에 대한 f의 편도함수를 취한 다음 y에 대한 결과의 편도함수를 취하여 구한다.

${\displaystyle {\frac y,\fac x}\equiv \frac f_{x}\equiv f_{xy}\equiv.}$

슈바르츠의 정리는 만약 2차 도함수가 연속이라면, 교차 편도함수에 대한 표현은 어떤 변수에 대해 편도함수가 첫 번째 변수와 두 번째 변수를 취하느냐에 영향을 받지 않는다는 것이다.그것은,

${\displaystyle {\frac ^{2}f}{\frac x,\frac y}={frac y,\frac x}$

또는 ${\displaystyle {동등}_{}}$하게 ${\displaystyle f_{}}$ y ${\displaystyle {}_{}}$ $=$ ${\displaystyle f_{}}$x y$$. { $displaystyle$f_{$yx$}=$f_{$$xy}.$$}$

자가 및 교차 부분 도함수는 최적화 문제에서 2차 조건에서 사용되는 헤시안 행렬에 나타난다.고차 편파생물은 순차적으로 미분하여 얻을 수 있습니다.

반파생 유사체

정규파생상품의 반파생상품과 유사한 부분파생상품의 개념이 있다.부분 도함수가 주어지면, 원래의 함수를 부분 회복할 수 있다.

예를 들어 보겠습니다.

${\displaystyle\frac z}=2x+y.}$

"부분" 적분은 x에 대해 취할 수 있다(부분 미분과 유사한 방식으로 y를 상수로 취급).

${\displaystyle z=\int\frac z{\frac x}}, param=x^{2}+xy+g(y)입니다.}$

여기서 적분의 "상수"는 더 이상 상수가 아니라 x를 제외한 원래 함수의 모든 변수의 함수이다.그 이유는 편도함수를 구할 때 다른 모든 변수는 일정하게 처리되기 때문에 편도함수를 구할 때$x를 포함$하지 않는$$함수는 사라지기 때문에 역도함수를 구할 때 이를 고려해야 하기 때문이다.이를 표현하는 가장 일반적인 방법은 "상수"가 다른 모든 변수의 알려지지 않은 함수를 나타내도록 하는 것입니다.

따라서 ${\displaystyle {x2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle x}$y +${\displaystyle g}$ ( ${\displaystyle y}$ $){displaystyle$ x$^{2}+xy+g(y$의 $함수{\displaystyle {}^{}}$ 집합은 x${\displaystyle ,}$ y 변수에서 x +$$ {displaystyle $2x+y$를 생성할 수 있는 함수 집합 전체를 나타냅니다.

함수의 모든 부분 도함수를 알고 있는 경우(예를 들어, 구배와 함께), 위의 과정을 통해 반도함수를 일치시켜 원래의 함수를 상수까지 재구성할 수 있습니다.단, 단일 변수의 경우와 달리, 모든 함수의 집합이 단일 함수의 모든 (첫 번째) 부분 도함수의 집합이 될 수 있는 것은 아닙니다.즉, 모든 벡터장이 보수적인 것은 아닙니다.

적용들

기하학.

원뿔의 부피 V는 다음 공식에 따라 원뿔의 높이 h와 반지름 r에 따라 달라진다.

${\displaystyle V(r,h)=black {pi r^{2}h}{3}}.}$

r에 대한 V의 편도함수는

${\displaystyle {\frac V}{\partial r}={2\pi rh}{3}}$

이는 원뿔의 반지름이 변화하고 높이가 일정하게 유지되는 경우 원뿔의 부피가 변화하는 속도를 나타냅니다.$h에$$대한{\displaystyle }$ 편도함수는 $r{\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{\mathrm{}}}$ $(\displaystyle\frac\pi$ r$^{2}}{3})$입니다.이것은 높이가 변화하고 반지름이 일정하게 유지되었을 때 볼륨이 변화하는 비율을 나타냅니다.

이와는 대조적으로, r과 h에 대한 V의 총 도함수는

${\displaystyle {frac {dV} {dr}=\overbrac {2\pi rh} {3} ^{\frac {partial r} ^{\frac {pi r^2} {3} ^{\frac {partial h} } ^{\frac {dr}$

그리고.

${{displaystyle}{dh}=\overbrac{frac}{{frac}{\pi r^2}{3}+\overbrac{frac {2\pi rh}{3}^{\frac {2\pi r}{\partial r}}{\frac {dr}}}}$

총파생상품과 부분파생상품의 차이는 부분파생상품에서 변수 사이의 간접의존성을 제거하는 것이다.

(임의적인 이유로) 원뿔의 비율이 동일하게 유지되어야 하며 높이와 반지름이 고정된 비율 k인 경우,

${\displaystyle k=snarfrac {h}{r}}=snarfrac {dh}{dr}}.}$

이는 r에 대한 총 파생값을 제공한다.

${\displaystyle {dV} {dr} = flac {2\pi rh} {3} } + {\frac {\pi r^{2}} {3}k}$

다음과 같이 심플화됩니다.

$(\displaystyle\frac {dV}{dr}}=k\pi r^{2})$

마찬가지로 h에 대한 총 도함수는 다음과 같다.

${\displaystyle {frac {dV} {dh}}=\pi r^{2}}$

이 두 변수의 스칼라 함수로 의도된 부피의 r과 h에 대한 총 도함수는 구배 벡터에 의해 주어진다.

$(\displaystyle \frac V=\left({\frac V}{\partial r}), {\frac {2}{3}}\pi rh, {\frac {1}{3}}\pi r^{2}\오른쪽).}$

최적화

편도함수는 둘 이상의 선택 변수가 있는 미적분 기반 최적화 문제에 나타납니다.예를 들어, 경제학에서 기업은 두 가지 다른 유형의 산출물의 수량 x와 y의 선택에 관해 이익 δ(x, y)를 극대화하고자 할 수 있다.이 최적화를 위한 1차 조건은 θ = 0 = θ이다_xy. 편도함수 θ와_x θ는_y 일반적으로 변수 x와 y의 함수이기 때문에 이들 2개의 1차 조건은 미지의 2개의 방정식의 시스템을 형성한다.

열역학, 양자역학 및 수리물리학

편도함수는 깁스-듀헴 방정식과 같은 열역학 방정식, 양자역학에서 슈뢰딩거 파동 방정식, 그리고 수리물리학의 다른 방정식에서 나타난다.여기서 편도함수에서 일정하게 유지되는 변수는 3원 혼합 시스템의 깁스 에너지를 포함하는 다음 예에서 몰 분율_i x와 같은 단순 변수의 비율이 될 수 있다.

${\displaystyle {G_{2}}=G+(1-x_{2})\left({\frac {\partial x_{2}}\right)_{\frac {x_{3}}}}$

구성 요소의 몰 분율을 다른 구성 요소의 몰 분율과 이진 몰 비율의 함수로 표현한다.

$({displaystyle x_{1}=black {1-x_{2}}}{1+{\flac {x_{3}}}{x_{1}}}})$

${\displaystyle x_{3}=subscfrac {1-x_{2}}{1+{\frac {x_{1}}{x_{3}}}}}}$

미분 지분은 위와 같은 일정한 비율로 형성될 수 있습니다.

$\displaystyle \frac {\frac x_{1}} {\frac {x_{1}} {x_{3}} =-{\frac {x_{1} {1-x_{2}}}}$

$\displaystyle \frac {\frac x_{3}} {\frac x_{1} {x_{3}} =-{\frac {x_{3}} {1-x_{2}}}$

몰 분율의 비율 X, Y, Z는 3진 및 다성분 시스템에 대해 작성할 수 있다.

${\displaystyle X=black {x_{3}} {x_{1}+x_{3}}}}}$

${\displaystyle Y=black {x_{3}}{x_{2}+x_{3}}}}}$

${\displaystyle Z=black {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}}}$

다음과 같은 편미분 방정식을 푸는 데 사용할 수 있습니다.

$\displaystyle \left\frac {\displaystyle \mu _{2} {\right}_{n_{2}=\left\frac {\displaystyle \mu _{2}}_{n_{1}}\right}_{n_{3}}_{n_right}_{n_n_{n_{n_{}}}}}}}}}$

이 등식은 몰 분율의 미분 비율을 한 변에 두도록 재배열할 수 있다.

이미지 크기 조정

대상 인식 이미지 크기 조정 알고리즘에서는 부분 파생 모델이 핵심입니다.심 조각으로 널리 알려진 이러한 알고리즘은 이미지 내의 각 픽셀에 직교 인접 픽셀과의 차이를 설명하기 위해 숫자 '에너지'를 할당해야 합니다.그런 다음 알고리즘은 에너지가 가장 낮은 행 또는 열을 점진적으로 제거합니다.픽셀의 에너지(픽셀에서의 구배 크기)를 결정하기 위해 확립된 공식은 편파생물의 구조에 크게 의존한다.

경제학

부분파생상품은 경제행동을 설명하는 대부분의 함수가 그 행동이 둘 이상의 변수에 의존한다고 가정하는 경제학에서 중요한 역할을 한다.예를 들어, 사회적 소비 함수는 소비재에 소비된 금액을 소득과 부에 따라 기술할 수 있다. 즉, 한계소비 성향은 소득에 대한 소비 함수의 부분파생물이 된다.

「 」를 참조해 주세요.

메모들

레퍼런스

외부 링크

• "Partial derivative", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• MathWorld의 부분 도함수