비선형 기대치

확률론에서 비선형 기대는 기대의 비선형 일반화다.비선형 기대는 전통적인 기대보다 인간의 행동과 더 밀접하게 일치하기 때문에 효용 이론에서 유용하다.^[1]비선형 기대치의 일반적인 용도는 불확실성 하에서 위험을 평가하는 데 있다.일반적으로 비선형 기대치는 주어진 집합의 첨가 특성에 따라 하위 선형과 초선형 기대치로 분류된다.비선형적 기대치에 대한 연구의 상당 부분은 지난 20년 내 수학자들의 연구 덕분이다.

정의

기능 $E{\displaystyle \mathbb{}}$: ${\displaystyle H}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$$여기$서 H ${\$은 확률 공간의 벡터 격자 격자임$$)를 만족한다면 비선형 기대치가 된다.^[2][3]

1. Monotonicity: if ${\displaystyle X,Y\in {\mathcal {H}}}$ such that ${\displaystyle X\geq Y}$ then ${\displaystyle \mathbb {E} [X]\geq \mathbb {E} [Y]}$
2. ${\displaystyle 상수\mathbb{}}$ 보존: $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ R ${\$인 $경우{\displaystyle \mathbb{}}$ E${\displaystyle }$[ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mathb {E} [c]=c}$

주어진 집합에 대한 완전한 고려, 주어진 집합에 대한 함수에 대한 선형 공간 및 비선형 기대값을 비선형 기대 공간이라고 한다.

흔히 볼록함, 부차성, 양의 동질성, 상수의 번역과 같은 다른 특성도 바람직하다.^[2]비선형 기대치를 하위선형 기대치로 추가 분류하려면 다음 두 가지 조건도 충족해야 한다.

1. Subadditivity: for ${\displaystyle X,Y\in {\mathcal {H}}}$ then ${\displaystyle \mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [Y]\geq \mathbb {E} [X+Y]}$
2. 양의 동질성: ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \lambda \geq$ 0$}$의 경우 $E$ [${\displaystyle }$[ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle ]}$ =$$= ${\displaystyle E\mathbb{}}$ [${\displaystyle }$] $displaystyle \mathb$ {$E}$ [\$lambda$ X$]=\lambda \mathb$ {$E}$ [$X]}$

대신 비선형 기대치를 초선형 기대치로 분류하기 위해 위의 하위 부가성 조건은 대신 다음과 같은 조건으로 대체된다.^[4]

1. Superadditivity: for ${\displaystyle X,Y\in {\mathcal {H}}}$ then ${\displaystyle \mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [Y]\leq \mathbb {E} [X+Y]}$

예

• Choquet expective: 이미지 처리 및 행동 결정 이론에 사용되는 아첨가성 또는 초첨가성 적분.
• 비선형 BSDE를 통한 g-기대: 금융 변동성을 모형화하는 데 자주 사용된다.^[5]
• ▼ ${\displaystyle \rho }$이(가) 위험 조치인 경우 $E{\displaystyle \mathbb{}}$[ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle ]}$ :${\displaystyle \rho }$ (${\displaystyle }$- ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle \mathb$ {$E}$ [$X]:$$=\rho(-X)}$는 비선형 기대를 정의한다.
• 마르코프 체인: 모델 불확실성을 겪고 있는 사건의 예측.^[6]

참조