정상순서

양자장 이론에서 양자장의 산물, 또는 동등하게 그들의 생성과 소멸 연산자는 일반적으로 모든 생성 연산자가 제품의 모든 소멸 연산자의 왼쪽에 있을 때 정상 순서(Wick 순서라고도 한다)라고 한다.제품을 정상 순서에 넣는 과정을 정상 순서(Wick ordering이라고도 한다)라고 한다.항모질서와 항모질서의 용어는 유사하게 정의되는데, 여기서 소멸 연산자는 생성 연산자의 왼쪽에 배치된다.

제품 양자장의 정상적인 순서나 생성 및 소멸 연산자도 여러 가지 다른 방법으로 정의할 수 있다.어떤 정의가 가장 적절한지는 주어진 계산에 필요한 기대치에 달려 있다.이 글의 대부분은 상기와 같이 정상적인 순서에 대한 가장 일반적인 정의를 사용하며, 이는 생성 및 소멸 연산자의 진공 상태를 이용하여 기대값을 취할 때 적절하다.

양자역학 해밀턴의 경우 정상적인 주문의 과정이 특히 중요하다.고전적인 해밀턴어를 계량할 때 연산자 순서를 선택할 때 약간의 자유가 있으며, 이러한 선택은 지상 상태 에너지의 차이로 이어진다.

표기법

${\hat {O}}$ ${\hat {O}}$ ${\hat {O}}$ ${\$ 이(가) 생성 및/또는 소멸 연산자(또는 동등하게 양자장)의 임의의 산물을 나타내는 ${\hat {O}}$ 경우 정상 ${\hat {O}}$ 형태의 O^ ${\$ 은 ${\mathopen {:}}{\hat {O}}{\mathclose {:}}$ 는) O ${\mathopen {:}}{\hat {O}}{\mathclose {:}}$ : ${\$ $}}{\hat{O}}{\mathclose{:}}}$ .

대체 표기법은 ${\mathcal {N}}({\hat {O}})$ ( ${\mathcal {N}}({\hat {O}})$ ${\mathcal {N}}({\hat {O}})$ ) ${\mathcal{N}({\hat {O})$ 입니다 ${\mathcal {N}}({\hat {O}})$

정상 순서는 연산자의 제품에만 이치에 맞는 개념이라는 점에 유의한다.정상 순서는 선형 연산이 아니기 때문에 연산자 합계에 정규 순서를 적용하려고 하는 것은 유용하지 않다.

보손스

보손은 보스-아인슈타인 통계를 만족시키는 입자다.우리는 이제 보소닉 생성과 소멸 연산자 제품의 정상적인 순서를 살펴볼 것이다.

싱글보손

만약 우리가 보손의 한 종류로 시작한다면, 두 가지 관심있는 운영자가 있다.

${\hat {b}}^{\dagger }$ ${\hat {b}}^{\dagger }$ $^{\$ : 보손의 생성 연산자.
${\hat {b}}$ ${\hat {b}}$ ${\$ : 보손의 소멸 연산자.

이것들은 정류자 관계를 만족시킨다.

\left[{\hat{b}^{\b}}},{\hat {b}^{b}}}{\hat }\right]_{-}=0

\left[{\hat {b},{\hat {b}\right]_{-}=0

\left[{\hat {{b},{\hat {b}^{\b}\right]_{-}=1

여기서 $\left[A,B\right]_{-}\equiv AB-BA$ [ $\left[A,B\right]_{-}\equiv AB-BA$ , $\left[A,B\right]_{-}\equiv AB-BA$ $\left[A,B\right]_{-}\equiv AB-BA$ - $\left[A,B\right]_{-}\equiv AB-BA$ $\left[A,B\right]_{-}\equiv AB-BA$ - $\left[A,B\right]_{-}\equiv AB-BA$ $\left[A,B\right]_{-}\equiv AB-BA$ $\left[A,B\right]_{-}\equiv AB-BA$ 는 정류자를 가리킨다 $\left[A,B\right]_{-}\equiv AB-BA$ . ${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}+1.$ 것을 b ${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}+1.$ ${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}+1.$ ${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}+1.$ ${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}+1.$ ^ = ${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}+1.$ ${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}+1.$ ${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}+1.$ ${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}+1.$ + 1. ${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}+1.$ {\ $displaystyle {\hat$ {b $}\,{\hat$ {b $}^{\dager}={\b}^{\dagger},{\$ hat ${b}+1$ 로 다시 쓸 수도 있다 $.$ $}$

예

1. 가장 간단한 경우를 먼저 고려하겠다. ${\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}$ ^ ${\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}$ ${\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}$ ^ ${\$ 의 정상적인 순서다 ${\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}$

{:\,}{\hat {b}^{\b}\,{\hat {b}{b}\,}={\hat {b}}, {\hat {b}.

${\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}$ ${\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}$ ${\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}$ ${\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}$ ^ ${\$ }\,{\ $hat{b}}$ 라는 표현은 이미 정상적인 순서로 되어 있기 때문에 변경되지 않았다 ${\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}$ - 생성 연산자 $({\hat {b}}^{\dagger })$ $({\hat {b}})$ $({\hat {b}}^{\dagger })$ ^ ^ $({\hat {b}}^{\dagger })$ ^ ) ${\displaystystyle({$ b $dager }}}}}}})$ 는 이미 전멸 연산자의 왼쪽에 있다 $({\hat {b}}^{\dagger })$ $.$ $}$ .

2. 더 흥미로운 예는 ${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }$ ${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }$ ${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }$ ^ ${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }$ ${\$ 의 정상적인 순서 입니다 ${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }$

{:\,}{\hat {b}\,{\hat {b}^{\}\,:}={\hat {b}^{b},{\hat {b}}.

여기서 정상적인 주문 작업은 ${\hat {b}}^{\dagger }$ ${\hat {b}}^{\dagger }$ ^ ${\hat {b}}^{\dagger }$ ${\$ 을(를) b ${\hat {b}}$ ${\$ 의 왼쪽에 ${\hat {b}}^{\dagger }$ 배치하여 용어를 다시 정렬했다 ${\hat {b}}$

이 두 결과를 ${\hat {b}}$ ${\hat {b}}$ ${\$ 및 ${\hat {b}}$ ${\hat {b}}^{\dagger }$ ${\hat {b}}^{\dagger }$ ${\$ 에 따른 정류 관계와 결합하여 얻을 ${\hat {b}}^{\dagger }$ 수 있다.

{\hat {{b}\,{\hat {b}^{\}={\hat {{b}^{\b}={b}}\{\hat {{b}\,{\}^{b}^{\}}}\:}\;+1.

또는

{\hat {{b}\,{\hat{b}^{\-}-{:\,}{\hat{b}}^{b}\, {\hat{b}^{\}\,:}=1.

이 방정식은 윅의 정리에 사용된 수축을 정의하는 데 사용된다.

3. 복수의 연산자를 가진 예는 다음과 같다.

{:\,}{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}=({\hat {b}}^{\dagger })^{3}\,{\hat {b}}^{4}.

4. 단순한 예를 들면, 정상적인 순서는 단수로부터 모든 연산자로의 선형성에 의해 자기 일치적인 방식으로 확장될 수 없다는 것을 알 수 있다.

{:\,}{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}={:\,}1+{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{\,:}={:\,}1{\,:}+{:\,}{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{\,:}=1+{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}\neq {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}={:\,}{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}

그 의미는 정상 순서가 연산자에 대한 선형 함수가 아니라는 것이다.

다중 보손

$N$ ${\displaystyle$ N $}$ 을(를) 다른 $N$ 보손으로 간주할 경우 $2N$ $2N$ 연산자가 $2N$ 있다.

${\hat {b}}_{i}^{\dagger }$ ${\hat {b}}_{i}^{\dagger }$ $†{\$ : $i^{th}$ $i^{th}$ $i^{th}$ ${\$ i $^{th}}}}$ 보손 $i^{th}$ 생성 연산자.
${\hat {b}}_{i}$ ${\hat {b}}_{i}$ ${\hat {b}}_{i}$ ${\$ : $i^{th}$ $i^{th}$ $i^{th}$ ${\$ i $^{th}}}$ 보손의 $i^{th}$ 소멸 연산자.

여기서 $i=1,\ldots ,N$ = $i=1,\ldots ,N$ , $i=1,\ldots ,N$ $i=1,\ldots ,N$ $i=1,\ldots,N$ .

이는 감화 관계를 만족시킨다.

\left[{\hat {b}_{i}^{\hat {b}_{j}^{\hat }\right]_{-}=0

\left[{\hat {b}_{i},{\hat {b}_{j}\right]_{-}=0

\left[{\hat {b}_{i},{\hat {b}_{j}^{\j}}{\filename }\ij}

$여기$ 서 $\delta _{ij}$ $i,j=1,\ldots ,N$ , $i,j=1,\ldots ,N$ = $i,j=1,\ldots ,N$ , $i,j=1,\ldots ,N$ ${\displaystyle$ i $,j=1,\ldots,N$ 및 $\delta _{ij}$ $\delta _{ij}$ $\delta _{ij}$ ${\$ 는 Kronecker 델타를 의미한다.

이러한 내용은 다음과 같이 다시 작성될 수 있다.

{\displaystyle {\b}_{i}^{\b}^{\\hat {b}_{j}^{\hat{b}^{j}^{\hat {b}}^{b}}}^,{\hat {b}_{i}^{\i}^}}}}}}}}}}}}}}.

{\b}_{i}\,{\hat {b}_{j}={\hat {b}_{j}\,{\hat {b}_{i}}}

{\b}_{i}\,{\hat {b}_{j}^{\n1}={\hat {b}_{j}^{j}^{\\hat {b}_{i}+\{ij}.

예

1. 두 개의 서로 다른 보손( $N=2$ = $N=2$ ${\displaystyle N=2$ 에 대해 다음을 수행하십시오.

{\displaystyle :{\hat{b}_{1}^{1}^{\\\,{\hat {b}_{2}:\,={\hat {{b}_{1}^{1}^}\,{\hat {b}_{1}}}}}}}, {\hat {b}_{2}}:

:{\hat {{b}_{2}\,{\hat {b}_{1}^{\n1}^\,={\hat {b}_{1}^{1}^{\n1},{\hat {b}_{2}}}}}

2. 세 개의 다른 보손( $N=3$ = $N=3$ ${\displaystyle N=3$ 에 대해 다음을 수행하십시오.

{\displaystyle :{\hat{b}_{1}^{{1}^{}\,{\hat{b}_{2}\,{\hat{b}_{3}}}\,={\hat{b}}^{1}^{1}}}\hat{b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}"

(통역 관계에 의한) ${\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}={\hat {b}}_{3}\,{\hat {b}}_{2}$ ${\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}={\hat {b}}_{3}\,{\hat {b}}_{2}$ ${\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}={\hat {b}}_{3}\,{\hat {b}}_{2}$ ${\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}={\hat {b}}_{3}\,{\hat {b}}_{2}$ ${\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}={\hat {b}}_{3}\,{\hat {b}}_{2}$ 3 ${\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}={\hat {b}}_{3}\,{\hat {b}}_{2}$ = ${\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}={\hat {b}}_{3}\,{\hat {b}}_{2}$ ${\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}={\hat {b}}_{3}\,{\hat {b}}_{2}$ ${\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}={\hat {b}}_{3}\,{\hat {b}}_{2}$ ${\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}={\hat {b}}_{3}\,{\hat {b}}_{2}$ ${\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}={\hat {b}}_{3}\,{\hat {b}}_{2}$ ${\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}={\hat {b}}_{3}\,{\hat {b}}_{2}$ ${\$ 우리가 섬멸 연산자를 작성하는 ${\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}={\hat {b}}_{3}\,{\hat {b}}_{2}$ 순서는 중요하지 않다는 점에 유의하십시오.

:{\hat {{b}_{2}\,{\hat{b}_{1}^{1}\,{\hat{b}_{3}\, {\hat {b}_{1}^}}\, {\hat{b}_{1}^}}, {\hat{b}}}}}}}}}{3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

:{\hat{b}_{3}{\hat {b}_{2}\,{\hat {b}^{1}^{1}}}\,={\hat {b}_{1}^}}\,{\hat {b}_{3}}}

페르미온스

페르미온(Permion)은 페르미-디락(Fermi-Dirac) 통계를 만족시키는 입자다.우리는 이제 페르미온 생성과 전멸 연산자 제품의 정상적인 순서를 검토할 것이다.

단일 페르미온

단일 페르미온의 경우 두 가지 관심 운영자가 있다.

${\hat {f}}^{\dagger }$ ${\hat {f}}^{\dagger }$ $^{\$ }}} ${\hat {f}}^{\dagger }$ : 페르미온의 생성 연산자.
${\hat {f}}$ ${\hat {f}}$ ${\$ : 페르미온의 소멸 연산자.

이것들은 반공소자 관계를 만족시킨다.

\left[{\f}^{\f}^{\f}^{\f}\right]_{+}=0

\left[{\hat {f},{\hat {f}\right]_{+}=0

\left[{\hat {f},{\hat {f}^{\put }\right]_{+}=1

여기서 $\left[A,B\right]_{+}\equiv AB+BA$ [ $\left[A,B\right]_{+}\equiv AB+BA$ , B $\left[A,B\right]_{+}\equiv AB+BA$ + $\left[A,B\right]_{+}\equiv AB+BA$ $\left[A,B\right]_{+}\equiv AB+BA$ + B $\left[A,B\right]_{+}\equiv AB+BA$ ${\displaystyle \left[A,B\right]_{+}\equiv AB+$ $BA}$ 은(는) 안티코무터를 가리킨다 $\left[A,B\right]_{+}\equiv AB+BA$ .이것은 다음과 같이 다시 쓰여질 수 있다.

{\f}^{\f}^{\hat {f}^{\f}}=0

{\hat {f}\,{\hat {f}=0

{\hat{f}\,{\hat {f}^{\f}}=1-{\hat{f}^{\hat {f}\,{\hat {f}}.

페르미온 생성 및 소멸 연산자 생산물의 정상적인 순서를 정의하기 위해 우리는 인접 연산자 사이의 상호 교환 수를 고려해야 한다.우리는 그러한 상호 교환마다 마이너스 신호를 받는다.

예

1. 우리는 다시 가장 간단한 사례로 시작한다.

:{\hat{f}^{\f}^{\f}\,{\hat {f}:\,={\hat{f}^{\f}}}}

이 표현은 이미 정상적인 순서로 되어 있어서 아무것도 바뀌지 않는다.역의 경우, 다음과 같은 두 연산자의 순서를 변경해야 하기 때문에 마이너스 부호를 도입한다.

:{\hat{f}\,{\hat{f}^{\f}}}:\,=-{\hat{f}^{\hat{f}}}}

이것들은 반공관계와 함께 결합되어 보여질 수 있다.

{\hat{f}\,{\hat{f}^{\f}\,=1-{\hat{f}^{\f}=1+:{\hat{f}\,{\hat {f}^{\message }:

또는

{\hat{f}\,{\hat {f}^{\f}-- {f}\hat {f}^{\f}^{\mat }=1.

위의 보소닉 케이스와 같은 형태인 이 방정식은 윅의 정리에 사용되는 수축을 정의하는 데 사용된다.

2. 더 복잡한 사건의 정상적인 순서는 0을 준다. 적어도 하나의 생성 또는 소멸 연산자가 두 번 나타날 것이기 때문이다.예를 들면 다음과 같다.

:{\hat {{f}\,{\hat{f}^{\f}^{f}^{f}}}\,{\hat{f}^{f}^{f}}\hat{f}}},{\hat {f}}}},{f}}}}}}=0},

다중 페르미온

$N$ $N$ 의 경우 $N$ $2N$ $2N$ 연산자가 $2N$ 있다.

${\hat {f}}_{i}^{\dagger }$ ${\hat {f}}_{i}^{\dagger }$ i ${\$ : $i^{th}$ $i^{th}$ $i^{th}$ ${\$ 페르미온의 $i^{th}$ 생성 연산자.
${\hat {f}}_{i}$ ${\hat {f}}_{i}$ ${\hat {f}}_{i}$ ${\$ : i $i^{th}$ $i^{th}$ ${\$ 페르미온의 $i^{th}$ 소멸 연산자.

여기서 $i=1,\ldots ,N$ = $i=1,\ldots ,N$ , $i=1,\ldots ,N$ $i=1,\ldots ,N$ $i=1,\ldots,N$ .

이것들은 반협정 관계를 만족시킨다.

\left[{\hat {f}_{i}^{\hat {f}_{j}^{\hat }\right]_{+}=0

\left[{\hat {f}_{i},{\hat {f}_{j}\right]_{+}=0

\left[{\hat {f}_{i},{\hat {f}_{j}^{\filename }\right]_{+}=\ij}}

$여기$ 서 $\delta _{ij}$ $i,j=1,\ldots ,N$ , $i,j=1,\ldots ,N$ = $i,j=1,\ldots ,N$ , $i,j=1,\ldots ,N$ ${\displaystyle$ i $,j=1,\ldots,N$ 및 $\delta _{ij}$ $\delta _{ij}$ $\delta _{ij}$ ${\$ 는 Kronecker 델타를 의미한다.

이러한 내용은 다음과 같이 다시 작성될 수 있다.

{\f}_{i}^{\mat{f}_{j}^,{\hat {f}^{j}^{}=-{\hat {f}^{j}^,{\hat {f}_{i}^}}}}, {\hat {f}_{i}^{\m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

{\f}_{i}\,{\hat {f}_{j}=-{\hat {f}_{j}\,{\hat {f}_{i}}}

{\f}_{i}\,{\hat {f}_{j}^{\j}=\i1}-{ij}-{f}^{j}^\,{\hat {f}_{i}.

페르미온 연산자의 정상적인 제품 순서를 계산할 때 우리는 표현식을 재배열하는 데 필요한 인접 연산자의 상호 교환 수를 고려해야 한다.그것은 마치 우리가 창조와 전멸 연산자를 반공산적으로 가장한 다음, 창조 연산자가 왼쪽에 있고 전멸 연산자가 오른쪽에 있는지 확인하기 위해 표현을 재정렬하는 것과 같다. 반공산 관계를 항상 고려하면서 말이다.

예

1. 서로 다른 두 페르미온( $N=2$ = $N=2$ ${\displaystyle N=$ 2 $N=2$ 의 경우

:{\hat{f}_{1}^{{1}^{{1}^{1}\,{\hat {f}_{2}}:\, {\hat {f}_{1}^}\, {\hat {f}_{2}}:\,

여기서 표현은 이미 정상적인 순서라서 아무것도 변하지 않는다.

:{\hat{f}_{2}\,{\hat {f}_{1}^{\1}^\,=-{\hat {f}_{1}^{1}^\,{\hat {f}_{2}}:\,

여기에 마이너스 부호를 도입하는 것은 두 연산자의 순서를 바꾸어 놓았기 때문이다.

:{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}=-{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}

보소닉 케이스와 달리 여기에 연산자를 쓰는 순서는 문제가 된다는 점에 유의하십시오.

2. 3가지 페르미온( $N=3$ = 3 ${\displaystyle N=3$ 의 경우

:{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}

(항소화 관계에 의한) ${\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}$ ${\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}$ ${\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}$ ${\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}$ ${\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}$ ${\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}$ = ${\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}$ - f ${\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}$ ${\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}$ ${\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}$ ${\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}$ ${\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}$ ${\$ 우리가 연산자를 작성하는 ${\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}$ 순서가 이 경우에 중요하다는 점에 유의하십시오.

비슷하게 우리는 가지고 있다.

:{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}:\,=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}

:{\hat {f}}_{3}{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}

양자장 이론에서 사용

생성 및 소멸 연산자의 정상적인 순서 제품의 진공 기대값은 0이다.0 $|0\rangle$ ${\displaystyle$ 0 $\rangele}만큼$ 진공 $|0\rangle$ 상태를 표시하면 생성 및 소멸 연산자가 만족하기 때문이다 $|0\rangle$

\langle 0{\hat{a}^{\n1}=0\qquad {\textrm {and}\qquad {\a} 0\rangle =0

( ${\hat {a}}^{\dagger }$ 서 ${\hat {a}}^{\dagger }$ $^{\$ $mat$ }} 및 ${\hat {a}}^{\dagger }$ ${\hat {a}}$ ${\$ hat { $a}})$ 는 ${\hat {a}}$ 및 소멸 연산자(상시 또는 페르미오닉)이다 ${\hat {a}}$ .

${\hat {O}}$ O ${\hat {O}}$ ^ {\ $displaystyle {\hat {O}}$ 은(는) 생성 및 소멸 연산자의 비어 있지 않은 산물을 나타낸다 ${\hat {O}}$ .비록 이것이 만족할지 모르지만

\langle 0 {\hat {O}0\rangele \neq 0,

우리는 가지고 있다.

\langle 0 :{\hat {O}: 0\rangele =0.

정상 순서 연산자는 양자 역학적 해밀턴을 정의할 때 특히 유용하다.이론의 해밀턴안이 정상적인 순서로 되어 있는 경우, 지면 상태 에너지는 0: $\langle 0|{\hat {H}}|0\rangle =0$ 0 $\langle 0|{\hat {H}}|0\rangle =0$ $\langle 0|{\hat {H}}|0\rangle =0$ $\langle 0|{\hat {H}}|0\rangle =0$ $\langle 0|{\hat {H}}|0\rangle =0$ = $\langle 0|{\hat {H}}|0\rangle =0$ ${\displaystyle \langle$ 0 ${\hat} 0\rangele =0}$ 이 된다 $\langle 0|{\hat {H}}|0\rangle =0$

자유 필드

fields과 χ 두 개의 자유 필드로,

[\displaystyle :\phi(x)\chi(y):=\phi (x)\chi (y)-\langle 0 \phi (x)\chi (y) 0\angle }

여기서 $|0\rangle$ $|0\rangle$ $0\rangele$ 은(는) 다시 진공 상태임 $|0\rangle$ .오른쪽의 두 용어는 일반적으로 y가 x에 가까워질 때 한계에 부딪히지만 그 차이는 정확히 정의된 한계에 있다.이것은 우리가 : define(x)χ(x):를 정의할 수 있게 해준다.

윅의 정리

Wick의 $n$ 에는 n $n$ 필드의 $n$ 시간 순서와 정상 순서의 총량 사이의 관계가 명시되어 있다. $이$ 는 다음과 같이 표현될 $n$ 수 있다 $.$

{\reasoned}T\phi[\phi(x_{1})\cdots \phi(x_{n}\right]=&:\phi(x_{1})\cdots \phi(x_{n}):+\sum _{\textm}}\langle 0 T\left[\phi(x_{1})\phi(x_{2}\right] 0\rangle :\phi(x_{3})\cdots \phi(x_{n}):\\&+\sum _{\textrm {perm}}\langle 0 T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right] 0\rangle \langle 0 T\left[\phi (x_{3})\phi (x_{4})\right] 0\rangle :\phi (x_{5})\cdots \phi (x_{n}):\\\vdots \&+\sum _{\textrm {perm}\langle 0 T\phi (x_{1}\phi ({2}\right] 0\langle \cdots \langle 0 T\ft[\phi (x_{n-1}}\lig}\}\line)}}}}}}}}}}{line \liglineed}

합계가 필드를 쌍으로 구성할 수 있는 모든 뚜렷한 방법에 걸쳐 있는 경우. $n$ $n$ 홀수 $n$ 결과는 마지막 줄만 제외하고 동일하게 표시됨

\sum_{\text{perm}}\langle 0 T\left[\phi(x_{1}\phi)(x_{n-2})\langle \cdots 0\langle 0 T\left[\phi(x_{n-1}\ri)\pi (x_{n}\right]

이 정리는 연산자의 시간 순서 제품의 진공 기대치를 계산하는 간단한 방법을 제공하며, 정상 순서 도입의 동기가 되었다.

대체 정의

The most general definition of normal ordering involves splitting all quantum fields into two parts (for example see Evans and Steer 1996) $\phi _{i}(x)=\phi _{i}^{+}(x)+\phi _{i}^{-}(x)$ . In a product of fields, the fields are split into the two parts and the $\phi ^{+}(x)$ $\phi ^{+}(x)$ $\phi ^{+}(x)$ ) $\phi ^{+}(x)$ 부품을 $\phi ^{+}(x)$ 항상 $\phi ^{-}(x)$ - $\phi ^{-}(x)$ ( $\phi ^{-}(x)$ ) $\phi ^{-}(x)$ 부분 왼쪽으로 $\phi ^{-}(x)$ 이동시킨다.기사의 나머지 부분에서 고려되는 일반적인 사례에서 $\phi ^{+}(x)$ + $\phi ^{+}(x)$ ( $\phi ^{+}(x)$ x ) $\phi ^{+}(x)$ 는 생성 연산자만 포함하고 $\phi ^{+}(x)$ , $\phi ^{-}(x)$ - $\phi ^{-}(x)$ ( $\phi ^{-}(x)$ ) $\phi ^{-}(x)$ 는 소멸 연산자만 포함하고 $\phi ^{-}(x)$ 있다.이것은 수학적인 정체성이기 때문에 자신이 좋아하는 어떤 방식으로든 분야를 나눌 수 있다.그러나 이것이 유용한 절차가 되려면 필드 조합의 정상적인 주문 생산물이 기대치를 0으로 가질 것을 요구한다.

\langle :\phi _{1}(x_{1})\phi _{2}\dots \phi _{n}(x_{n}):\rangle =0

모든 $\phi _{i}^{+}$ $\phi _{i}^{+}$ + ${\$ 및 $\phi _{i}^{+}$ $\phi _{j}^{-}$ j $\phi _{j}^{-}$ - ${\$ 의 모든 정류자(페르미온장용 정류자)가 $\phi _{j}^{-}$ 모두 c-numer라는 것도 실용적인 계산에 중요하다.이 두 가지 성질은 우리가 윅의 정리를 통상적인 방법으로 적용할 수 있다는 것을 의미하며, 필드의 시간 순서가 정해진 생산물의 기대치를 c-숫자 쌍의 생산물, 수축으로 바꿀 수 있다는 것을 의미한다.이 일반화된 설정에서 수축은 시간 순서가 지정된 제품과 필드 쌍의 정상 순서가 지정된 제품 사이의 차이로 정의된다.

가장 간단한 예는 열 양자장 이론의 맥락에서 찾을 수 있다(Evans and Steer 1996).이 경우 관심의 기대값은 통계 앙상블이며, $\exp(-\beta {\hat {H}})$ $\exp(-\beta {\hat {H}})$ ( $\exp(-\beta {\hat {H}})$ - $\exp(-\beta {\hat {H}})$ H $\exp(-\beta {\hat {H}})$ ) $\exp(-\beta {\hat {H}})$ {\ $displaystyle \exp(-\beta$ {\ $hat {H})}$ 에 의해 가중된 모든 상태에 대한 추적이다 $\exp(-\beta {\hat {H}})$ 예를 들어, 단일 보소닉 양자 고조파 오실레이터의 경우, 숫자 연산자의 열 기대값은 단순히 보세-아인슈타인 디스트리 값이다.부티온

\langle {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}\rangle ={\frac {\mathrm {Tr} (e^{-\beta \omega {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}}{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}})}{\mathrm {Tr} (e^{-\beta \omega {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}})}}={\frac {1}{e^{\beta \omega }-1}}

따라서 여기서 숫자 연산자 ${\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}$ ${\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}$ ${\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}$ ${\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}$ ${\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}$ ${\$ b}}{\ $daugger }{\hat {b}}$ 은 ${\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}$ (는) 나머지 글에서 사용되는 일반적인 의미로 정렬되었지만 열 예상 값은 0이 아니다.윅의 정리를 적용하고 이 열적 맥락에서 통상적인 정상 순서에 따라 계산을 하는 것은 가능하지만 계산적으로는 비현실적이다.해결책은 ordering $\phi _{i}^{+}$ + ${\$ 와 $\phi _{i}^{+}$ $\phi _{j}^{-}$ j $\phi _{j}^{-}$ - ${\$ 이(가) 원래 소멸 연산자와 생성 연산자의 선형 조합이 되도록 $\phi _{j}^{-}$ 다른 순서를 정의하는 것이다.조합은 정상 주문 제품의 열 기대값이 항상 0이므로 선택한 분할이 온도에 따라 달라지도록 하기 위해 선택된다.

참조

F. Mandl, G. Shaw, Quantum 필드 이론, John Wiley & Sons, 1984.
S. 와인버그, 필드의 양자론 (I권) 케임브리지 대학 출판부 (1995)
T.S. 에반스, D.A. 조향, 유한 온도에서의 윅의 정리, 누클라.물리적 B 474, 481-496 (1996) arXiv:hep-ph/9601268

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