크로네커 삼각주

수학에서 크로네커 델타(Leopold Kronecker의 이름)는 두 변수의 함수인데, 보통 음이 아닌 정수일 뿐이다. 변수가 같으면 함수는 1이고 그렇지 않으면 0:

${\displaystyle \ij}={\case}0&{\text}{{}i\neq j,\1&{\text{}i=j.\end{case}}}$

Iverson 브래킷을 사용할 경우:

${\displaystyle \ft_{ij}=[i=j]\,}$

여기서 크로네커 델타 Δ는_ij 변수 i와 j의 조각 함수다. 예를 들어 Δ_{1 2} = 0인 반면 Δ_{3 3} = 1인 경우.

크론커 델타는 수학, 물리학, 공학 등의 여러 분야에서 자연적으로 나타나며, 위에서 정의한 것을 압축적으로 표현하는 수단이다.

선형 대수에서, n × n ID 매트릭스 I는 Kronecker 델타와 동일한 항목을 가지고 있다.

${\displaystyle I_{ij}=\delta _{ij}}$

여기서 i와 j는 값 1, 2, ..., n을 취하며 벡터의 내적 산물은 다음과 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i,j=1}^{n}a_{i}\cdom _{ij}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}}.}$

Here the Euclidean vectors are defined as n-tuples: ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},...,a_{n})}$ and ${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},b_{2},...,b_{n})}$ and the last step is obtained by using the values of the Kronecker delta to redu합계를 j에 맞추다

양수 또는 음수가 아닌 정수에 대한 제한은 일반적이지만 사실 크론커 델타는 임의의 집합에서 정의될 수 있다.

특성.

다음과 같은 방정식이 충족된다.

${\displaystyle {\ligned}\sum _{j}a_{j}&=a_{i}\\\\sum _{i}a_{i}\ij}\ij}\ij}\ik}\sum _{k}\ik}\ij.\end{정렬}}}$

따라서 행렬 Δ는 식별 행렬로 간주할 수 있다.

또 다른 유용한 표현은 다음과 같다.

${\displaystyle \delta _{nm}={\frac {1}{{N}\sum _{k=1}^{N}e^{2\pi i{\frac {k}{N}(n-m)}}}}}}}}}$

이것은 유한한 기하계열의 공식을 이용하여 도출할 수 있다.

대체 표기법

Iverson 브래킷 사용:

$_{ij}=[i=j]}$

흔히 단일론 표기 Δ가_i 사용되는데, 이는 j = 0:를 설정하는 것과 같다.

${\displaystyle \protection_{i}={\base}0,&{\mbox{{}i\neq 0\\1,&\mbox{{}i=0\end{case}}}}}}$

선형대수학에서는 텐서(tensor)라고 생각할 수 있으며, Δ라고ⁱ
_j 쓰여 있다. 때때로 크론커 삼각주는 대체 텐서라고 불린다.^[1]

디지털 신호 처리

디지털 신호 처리(DSP)의 연구에서 단위 샘플 함수 $\Delta {\displaystyle }$[${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ]}$ $[\displaystyle \delta [n]$은 크론커 지수가 숫자 0을 포함하고$$ 있는 2차원 크론커 델타 함수 $\Delta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$}의 특별한 경우를$$ 나타낸다$.$ 이 경우:

${\displaystyle \n]\equiv \ique _{n0}\equiv \ique _{0n}~{\where}~{\text}-\fit <n>.$

또는 보다 일반적으로 다음과 같은 경우:

${\displaystyle \cHB[n-k]\equiv \equiv \iquiv \iquiv \iece_{kn}{\where}-\infit <n>,-\infitty <k>}$

그러나 이것은 아주 특별한 경우에 불과하다. 텐서 미적분학에서는 지수 0보다는 지수 1로 시작하는 특정 차원에 기초 벡터를 숫자화하는 것이 일반적이다. 이 경우 관계 $\Delta {\displaystyle }$[ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ]}$Δ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$Δ 0 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ $(\$은 존재하지 않으며$$, 실제로 지수에 0의 숫자가 포함된 특정 경우에 우연으로 중복되는 정말로 다른 기능이다. 지수는 2이고, 지수 중 하나는 0이다.

이산 단위 샘플 함수와 크로네커 델타 함수는 동일한 문자를 사용하지만, 다음과 같은 방식으로 다르다. 이산형 단위 샘플링 함수의 경우 정사각형 가새에 단일 정수 지수를 배치하는 것이 더 일반적인데, 대조적으로 크론커 델타는 어떤 수의 지수를 가질 수 있다. 또한 이산 단위 샘플링 함수의 목적은 크론커 델타 함수와 다르다. DSP에서 이산 장치 샘플 기능은 일반적으로 시스템의 출력으로 생산될 시스템의 시스템 기능을 발견하기 위한 이산 시스템의 입력 함수로 사용된다. 이와는 대조적으로, 크론커 델타 함수의 일반적인 목적은 아인슈타인 종합 규칙에서 용어를 필터링하기 위한 것이다.

이산 단위 샘플 함수는 보다 단순하게 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \n]={\displaystyle{n]={\n=0\\n{\text}은(는) 또 다른 정수}\end{case}}}$

또한 DSP는 Dirac 델타 함수라는 함수를 가지고 있는데, 크론커 델타 함수와 단위 샘플 함수를 모두 혼동하는 경우가 많다. 디락 델타는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \cHB(t)={\displaystyle{case}\infit &t=0\\\0&t{\text{text}는 또 다른 리얼}\end{case}}}}$

크로네커 델타 함수$\Delta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ j {\$displaystyle \delta _{ij}$와 단위 샘플 함수 $\Delta {\displaystyle }$[${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ]}${\$displaystyle \delta [n]$과 달리$,$ Dirac Delta 함수 $\Delta {\displaystyle }$( t${\displaystyle }$) ${\displaysty \delta (t)$는 정수 지수를 가지지수가 없으며$$, 단일 연속 비정수 ${\displaystyle t}$를 가진다.

문제를 더 혼동하기 위해 단위 임펄스 함수는 때때로 Dirac 델타 함수 $\Delta {\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \delta (t)}$또는 단위 샘플 함수 $\Delta {\displaystyle }$[${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ]}$ $[\displaystyle \delta [n]}$을 참조하기 위해 사용된다$.$

델타 함수의 속성

크론커 델타에는 j ∈ ∈ :에 대해 다음과 같은 소위 체프팅 특성이 있다.

${\displaystyle \sum _{i=-\infit }^{\infit }a_{i}\reason _{ij}=a_{j}.}$

그리고 만약 정수를 계수 측정과 함께 부여된 측정 공간으로 본다면, 이 속성은 Dirac 델타 함수의 정의 속성과 일치한다.

${\displaystyle \int _{-\infit }^{\infit }\put (x-y)f(x)\,dx=f(y),}$

그리고 사실 디락의 델타는 이 유사한 특성 때문에 크로네커^{[citation needed]} 삼각주의 이름을 따서 명명되었다. 신호 처리에서 그것은 보통 크론커와 디락 "기능"을 구별하는 컨텍스트(분해 또는 연속 시간)이다. 그리고 관례상 Δ(t)는 일반적으로 연속 시간(Dirac)을 나타내는 반면, i, j, k, l, m, n과 같은 주장은 보통 이산 시간(Kronecker)에 대해 유보된다. 또 다른 일반적인 관행은 대괄호로 이산형 시퀀스를 표현하는 것이다. 따라서 Δ[n]. 크론커 델타는 디락 델타 함수를 직접 샘플링한 결과가 아니다.

크로네커 델타는 발생 대수학의 승수적 정체성 요소를 형성한다.^[2]

Dirac 델타 함수에 대한 관계

확률 이론과 통계에서 크론커 델타와 디락 델타 함수는 둘 다 이산 분포를 나타내기 위해 사용될 수 있다. 분포의 지지가 해당 확률 p₁, ..., p와_n 함께 x = {x₁, ..., x_n} 점으로 구성된 경우 x에 대한 분포의 확률 질량 함수 p(x)는 다음과 같이 Kronecker 델타를 사용하여 작성할 수 있다.

${\displaystyle p(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\reason _{xx_{i}}.}$

균등하게 분포의 확률밀도함수 f(x)는 Dirac 델타함수를 사용하여 작성할 수 있다.

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\properties(x-x_{i}).}$

특정 조건에서 크론커 델타는 디락 델타 함수의 표본 추출에서 발생할 수 있다. 예를 들어, Dirac 델타 임펄스가 정확히 샘플링 지점에서 발생하며 나이키스트-샤논 샘플링 정리에 따라 (임계 주파수의 컷오프와 함께) 이상적으로 저역 통과 여과된 경우, 결과 이산 시간 신호는 Kronecker 델타 함수가 될 것이다.

일반화

유형(1,1) 텐서(tensor)로 간주되는 경우, 크론커 텐서(Cronecker tensor)는 공변량 지수 j와 반변량 지수 i로 Δ로ⁱ
_j 작성할 수 있다.

${\displaystyle \cHB_{j}^{i}={\base}0&(i\neq j),\1&(i=j).\end{case}}}$

이 텐셔너는 다음을 나타낸다.

• 선형 매핑 V → V → V^∗ → V → V로^∗ 간주되는 ID 매핑(또는 ID 매트릭스)
• 매핑 V^∗ or V → K로 간주되는 트레이스 또는 텐서 수축
• 지도 K → V^∗ ⊗ V, 외산물의 합으로 스칼라 곱셈을 나타낸다.

순서 2p의 일반화된 크로네커 델타 또는 다중 지수 크로네커 델타는 p 상위 지수 및 p 하위 지수에서도 완전히 대칭성이 없는 유형(p,p) 텐서다.

p! 계수에 따라 다른 두 가지 정의가 사용되고 있다. 아래에 제시된 버전은 ±1로 크기가 조정되지 않는 구성요소를 가지고 있다. 두번째 버전 .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-ou±.mw-parser-output는 구성 요소를 가지고 있다.식으로 1/p의 스케일링 요소 같은 사라지는 것 아래의 일반화된 크로네커 델타의 제특성 그에 변화 요인 벗겨지고,!Tput.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1/p!.[3]

일반화된 크로네커 델타 정의

지수에 있어 일반화된 크로네커 델타는 다음과 같이 정의된다.^[4][5]

${\displaystyle \delta_{\nu_{1}\dots(_{p}}^{\mu_{1}\dots(_{p}}={\begin{경우}+1&, \quad{\text{만약}}\nu _{1}\dots(_{p}{\text{서로 다른 정수 및의 일정한 순열}}\mu _{1}\dots \mu _{p}\\-1&, \quad{\text{만약}}\nu _{1}\dots(_{p}{\text{서로 다른 정수 및 물질들은 기치환}}\mu _{1}\dots \mu_{.p}\\\.\;다른 모든 경우에서 0&\properties {\text}}.\end{case}}}$

S를_p 도 p의 대칭 그룹이 되게 한 다음:

${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{p}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\delta _{\nu _{\sigma (1)}}^{\mu _{1}}\cdots \delta _{\nu _{\sigma (p)}}^{\mu _{p}}=\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{p}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{\sigma (1)}}\cdots \delta _{\nu _{p}}^{\mu _{\ma(p)}}.}$

대칭 방지 사용:

${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=p!\delta _{\lbrack \nu _{1}}^{\mu _{1}}\dots \delta _{\nu _{p}\rbrack }^{\mu _{p}}=p!\delta _{\nu _{1}}^{\lbrack \mu _{1}}\dots \delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}\rbrack }.}$

p × p 결정인자 측면에서:^[6]

${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\begin{vmatrix}\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{1}}&\cdots &\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{1}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{p}}&\cdots &\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}}\end{vmatrix}}.}$

결정 인자의 라플라스 확장(Laplace의 공식)을 사용하여 다음과 같이 재귀적으로 정의할 수 있다.^[7]

${\displaystyle{\begin{정렬}\delta _{\nu_{1}\dots(_{p}}^{\mu_{1}\dots(_{p}}&=\sum _ᆮ^ᆯ())^{p+k}\delta _{\nu_{k}}^{\mu_{p}}\delta _{\nu_{1}\dots{\check{\nu}}_{k}\dots(_{p}}^{\mu_{1}\dots\mu _{k}\dots{\check{\mu}}_{p}}\\&, =\delta _{\nu_{p}}^{\mu_{p}}\delta _{\nu_{1}\dots(_{p-1}}\mu_{p- ^{\mu_{1}\dots.1}}-\sum _{k=1}^{p-1}\delta _{\nu _{k}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{k-1}\,\nu _{p}\,\nu _{k+1}\dots \nu _{p-1}}^{\mu _{1}\dots \mu _{k-1}\,\mu _{k}\,\mu _{k+1}\dots \mu _{p-1}},\end{aligned}}}$

여기서 카론(caron)은 시퀀스에서 누락된 지수를 나타낸다.

p = n(벡터 공간의 치수)인 경우, Levi-Civita 기호와 관련하여:

${\displaystyle \cHB_{1}\nu_{1}\mu_{1}\mu_{1}\mu_{1}}\varepsilon ^{nmu_{1}\nu_{1}\nu\nu\nu \nu \no_{n}.}$

일반화된 Kronecker 델타 특성

일반화된 크론커 델타는 반대칭화에 사용할 수 있다.

${\displaystyle {\pairline}{\frac {1}{p!}}\cHB_{\nu_{1}\nu_{p}^{p}\mu_{1}\nu_{1}\nu_{p}\nu_{1}\nu_{p}\nu_{p}\lbrack \mu_{p}\rbrack }}\{p!}}\cHB_{\nu_{1}\nu_{p}^{\mu_{1}\mu_{1}\mu_{1}\mu_{1}\mu_{1}\mu_{p}&=a_{\lbrack \nu_{p}\nu_{p}\rbrack }.\end{정렬}}}$

위의 방정식과 대칭 텐서의 특성으로부터 일반화된 크론커 델타의 특성을 도출할 수 있다.

${\displaystyle {\pairline}{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a^{\lbrack \nu _{1}\dots \nu _{p}\rbrack }&=a^{\lbrack \mu _{1}\dots \mu _{p}\rbrack },\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a_{\lbrack \mu _{1}\dots \mu _{p}\rbrack }&=a_{\lbrack \nu _{1}\dots \nu _{p}\rbrack },\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}\delta _{\rho _{1}\dots \rho _{p}}^{\nu _{1}\dots \nu _{p}}&=\delta _{\rho _{1}\dots \rho _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}},\end{aligned}}}$

이는 § 속성에서 작성된 공식의 일반화된 버전이다. 마지막 공식은 Cauchy-Binet 공식과 동일하다.

지수의 합계를 통한 순서 감소는 정체성에^[8] 의해 표현될 수 있다.

${\displaystyle \i1}{1nu_{1}\nu_{s}\,\mu_{s+1}\mu_{p}^{1}\mu_{s}\mu_{s+1}\mu_{s+1}\mu_{p}={\frac {n-s!}{{(n-p)!}}}\cHB _{\nu _{1}\nu \{s}^{\mu _{1}\mu \mu _{s}}.}$

사례 p = n의 합계 규칙과 Levi-Civita 기호와의 관계를 모두 사용하여 Levi-Civita 기호의 합계 규칙을 도출한다.

${\displaystyle \cHB_{\nu_{1}\nu_{s}^{\mu_{1}\mu_{s}={\frac{1}{n-s!}}\barepsilon ^{\mu _{1}\mu _{s}\,\rho _{s}\rho_{n}\rho_{n}\varepsilon _{no_{1}\nu_{1}\rho _{s+1}\reho \n}.}$

마지막 관계의 4D 버전은 일반 상대성에^[9] 대한 펜로즈의 스피너 접근법에 나타나는데, 펜로즈 그래픽 표기법의 일부가 되기 위해 아이켄의 도표를 개발하던 중 나중에 일반화되었다.^[10][11] 또한, 이러한 관계는 S-이중성 이론에서 광범위하게 사용되는데, 특히 그들이 미분양식과 호지 듀얼의 언어로 쓰여졌을 때 더욱 그러하다.

적분표현

정수 n의 경우, 표준 잔류물 계산을 사용하여 크론커 델타에 대한 적분 표현을 아래 적분으로 쓸 수 있으며, 적분 윤곽선이 0 주위에 시계 반대 방향으로 흐른다. 이 표현은 또한 복잡한 평면에서 회전에 의한 확실한 적분과 동등하다.

${\displaystyle \pi \i1}{x,n}={\frac {1}{2\n-1}\,dz={\frac {1}{1}{2\pi }\int _{0}^{2\pi }e^{}\i(x-n)\varphi },dvarphi }}}}}}.$

크로네커 빗

기간 N이 있는 크론커 빗 함수는 다음과 같이 정의된다(DSP 표기법을 사용).

${\displaystyle \Delta _{N}=\sum _{k=-\nft }^{\nft }\delta [n-kN],}$

여기서 N과 n은 정수다. 따라서 크론커 빗은 무한대의 단위 임펄스 N 단위로 구성되며, 0에서 단위 임펄스를 포함한다. 그것은 디락 빗의 이산 아날로그로 간주될 수 있다.

크로네커 적분

크론커 삼각주는 한 표면을 다른 표면으로 매핑하는 정도라고도 불린다.^[12] 매핑이 단순히 일대일 대응으로 연결되는 지역, R_uvw 및 R의_xyz 경계인 표면 S에서_uvw S까지_xyz 이루어진다고 가정합시다. 이 프레임워크에서 s와 t가 S에_uvw 대한 매개변수인 경우, S에서_uvw S까지의_uvw 방향은 각각 외부 정규 n:

${\displaystyle u=u,t,\display v=v=v(s,t),\display w=w(s,t),}$

보통이 방향을 잡고 있는 동안

${\displaystyle (u_{s}\mathbf {i} +v_{s}\mathbf {j} +w_{s}\mathbf {k} )\mathbf {i} +v_{t}\mathbf {j} +w_{t}\mathbf {k}.}$

x = x(u,v,w), y = y(u,v,w), z = z(u,v,w)가 S를_uvw 포함하는 도메인에서 정의되고 매끄러워지도록 하고, 이러한 방정식이 S에_xyz 대한 S의_uvw 매핑을 정의하도록 한다. 그 다음, 맵핑의 Δ는_xyz S의 내부 점에 관해서 S의_uvw 이미지 S의 고체 각의 1/4 Δ이다. 만약 O가 지역의 기원인 R_xyz, 그 정도인 경우, Δ는 적분에 의해 주어진다.

${\displaystyle \delta){\frac{1}{4\pi}}\iint _{R_{st}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-{\frac{3}{2}}}{\begin{vmatrix}x&, y&, z\\{\frac{\partial)}{s\partial}}&{\frac{이\partial}{s\partial}}&{\frac{z\partial}{s\partial}}\\{\frac{\partial)}{\partial지}}&{\frac{이\partial}{\partial지}}&{\frac{z\partial}{\partial지}}년.end{vmatrix}}\,ds\,dt.}$

참고 항목

• 디락 척도
• 지시함수
• 레비시비타 기호
• 't 후프트 기호
• 단위함수
• XNOR 게이트

참조