오버울프치 문제

Oberwolfach 문제는 수학에서 풀리지 않는 문제인데, 이것은 완전한 그래프의 에지 사이클 커버에서 식사객을 위한 좌석 배정 일정의 문제 또는 그래프 이론의 문제 중 하나로 더 추상적으로 공식화될 수 있다.1967년 게르하르트 링겔이 문제를 제기했던 오버울프차흐 수학연구소의 이름을 따서 지은 것이다.^[1]

공식화

오버울프차흐에서 열리는 컨퍼런스에서는 모두 같은 크기가 아닌 원형 테이블과 식사부터 식사까지 참가자를 재배치하는 배정된 좌석이 있는 방에서 함께 식사하는 것이 관례다.Oberwolfach 문제는 매 식사마다 모든 테이블이 꽉 차 있고 모든 회의 참석자들이 정확히 한 번 서로 옆에 앉도록 주어진 테이블 세트의 좌석 차트를 만드는 방법을 묻는다.문제의 예는 $O{\displaystyle }$ ${\displaystyle P(x}$, y${\displaystyle }$, ${\displaystyle z}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$) ${\displaystyle OP(x,y,z,\dots )}$로 나타낼 수 있으며, 여기서$$ $x{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle$ x$,y,z,\dots }$은(으) 주어진 테이블 크기이다.또는 일부 테이블 크기가 반복될 때 지수 표기법을 사용하여 표시할 수 있다. 예를 들어, ${\displaystyle O}$ P${\displaystyle }$( ${\displaystyle {5\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle OP (5^{3})$는 크기가 5인 테이블이 3개인 인스턴스를 설명한다$$.^[1]

그래프 이론에서 문제로 공식화된, 한 끼 식사에서 서로 옆에 앉아 있는 사람들 쌍은 각각의 식탁에 하나의 사이클로 지정된 길이의 $사이클$ 그래프 ${\displaystyle C_{}}$ $x$+ C ${\displaystyle y_{}}$+ C $z$+$⋯$의 분리 결합으로 나타낼 수 있다$.$이 주기들의 결합은 2-정규 그래프인데, 모든 2-정규 그래프에는 이런 형태가 있다.$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 이 2-정규 그래프이고 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 정점이$$ 있다면 전체 그래프 ${\displaystyle {Kn}_{}}$ ${\$을 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G$^[1] 복사본의 엣지 분리 결합으로 나타낼$$ 수 있는가 하는 것이다.

솔루션이 존재하려면 총 회의 참가자 수(또는 동등하게 표의 총 용량 또는 주어진 주기 그래프의 총 정점 수)가 홀수여야 한다.식사 때마다 각 참가자가 이웃 두 명 옆에 앉기 때문에 참가자의 이웃 수는 짝수여야 하며, 이는 참가자 수가 홀수일 때에만 가능하다.그러나 $이러한{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$에 대해$$완전한 일치를 제외한 전체 그래프의 모든 가장자리를 주어진 2-정규 그래프의 복사본으로 덮을 수 있는지 여부를 물어봄으로써$$ 문제는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyn}$의 짝수 값까지 확대되었다.메네지 문제(식당과 테이블의 좌석 배치를 포함하는 다른 수학적 문제)와 마찬가지로, 이 문제의 변형은 $n{\displaystyle }$ {\$displaystyle n}$${\displaystyle 식당들}$이 n /${\displaystyle }$2$$${\$$displaystyle n/2}$ 결혼한$$ 부부들로 배열되어 있고, 좌석 배치는 각 식당을 다음에 배치해야 한다고 가정함으로써 공식화될 수 있다.자기 배우자를 제외하고 식사를 하는 사람들한테 딱 한 번.^[2]

알려진 결과

그 Oberwolfach 문제의 알려진 이곳 유일한 인스턴스 풀 수 있는 것이 아닙니다 OP(32){OP(3^{2})\displaystyle}, OP(34){OP(3^{4})\displaystyle}, OP(4,5){OP(4,5)\displaystyle}, 그리고 OP(3,3,5){OP(3,3,5)\displaystyle}[3].널리 알려진 사실 다른 모든 인스턴스 soluti 것으로 추정된다.하지만 특별한 사건만이 해결 가능한 것으로 증명되었다.

해결책이 알려진 예는 다음과 같다.

• $O$ ${\displaystyle P(}$3 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ )${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle OP$$($3$^{$2})$$ O$$ $P{\displaystyle (3}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$ ) ${\displaystyle OP(3^{4})$를 제외한 모든 인스턴스 $OP$(3^{$4$$\}).$^{[4][5][6][7][2]}
• 모든 주기의 길이가 짝수인 모든 인스턴스.^[4][8]
• $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 60}$ ${\displaystyle n\leq 60}$이(가) 있는 모든 인스턴스$($^[9][3]알려진 예외 제외).
• $자연수$의 무한$$하위 $집합$에 속하는 n {\displaystyle $n}$의 특정 선택에 대한 모든 인스턴스$.$^[10][11]
• 알려진 예외 ${\displaystyle \mathrm{OP}(}$3${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 3}$) ${\displaystyle OP(3,3)}$ 및$$ $,$ $)$를 제외한$$ 모든 인스턴스 ${\displaystyle \mathrm{OP}(}$$4$,$5)$ {\$displaystyle$ OP($x,y$^[12]

관련 문제

커크먼의 여학생 문제는 여학생 15명을 7개의 다른 방법으로 3열로 묶어 각각의 여학생 한 쌍이 각각 3열씩 나타나도록 하는 것으로, Oberwolfach 문제 OP ${\displaystyle ({\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {5\mathrm{}}^{}}$ $){\displaysty OP (3^{5})$의 특별한 경우다$.$완전한 그래프 Kn {\$displaystyle K_{n}}$의 해밀턴식 분해 문제는 ${\displaystyle O}$ P(n${\displaystyle )}$ ${\displaystyle OP(n)}$의 또 다른 특수한 경우다$.$^[8]

알스파흐의 추측은, 완전한 그래프를 주어진 크기의 사이클로 분해하는 것에 관한 것으로, 오버울프치 문제와 관련이 있지만, 둘 다 다른 하나의 특별한 경우는 아니다.$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) $일정{\displaystyle }$ 길이의 사이클을 분리하여 조합하여 n ${\displaystyle n}$ 정점을$$ 갖는 2-정규 그래프인$$ 경우 G$${\$displaystyle G}$의 Oberwolfach 문제에 대한 해결책도 전체 그래프를${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{n}}$ -${\displaystyle }$1 ) /${\displaystyle 2\mathrm{}}${\$displaystyle (n-1)/2}$복사본으로$$ 분해할 수 있다$$.$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 각 사이클$.$ 그러나 각 크기의 이 많은 사이클로$$ ${\displaystyle {Kn}_{}}$ ${\$을 분해하는 모든 $사이클$이 G$${\$displaystyle G}$의 사본을 형성하는 분리 사이클로 분류할 수 있는 것은 아니며$,$ 한편으로 Alspach의 추측의 모든 인스턴스가 다음과 같은 사이클 집합을 포함하는 것은 아니다$.{\displaystyle }$${\displaystyle n}$- ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$/ 각 사이클의 ${\displaystyle 2개\mathrm{}}$ ${\displaystyle (n-1)/2}$복사본.

참조