관측성 그라미언

제어 이론에서, 우리는 다음과 같은 시스템인지 아닌지를 알아내야 할지도 모른다.

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\dot {\boldsymbol {x}}}(t){\boldsymbol {=Ax}}(t)+{\boldsymbol {Bu}}(t)\\{\boldsymbol {y}}(t)={\boldsymbol {Cx}}(t)+{\boldsymbol {Du}}(t)\end{array}}}$

is observable, where ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$ and ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$ are, respectively, ${\displaystyle n\times n}$, ${\displaystyle n\times p}$,${\displaystyle q\times n}$및 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q\put p}$ 행렬$$.

그러한 목표를 달성할 수 있는 여러 가지 방법 중 하나는 관찰가능성 그래미안을 이용하는 것이다.

LTI 시스템에서의 관측 가능성

Linear Time Invariant (LTI) Systems are those systems in which the parameters ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$ and ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$ are invariant with respect to time.

단순히 쌍$({\displaystyle A\mathit{}}$,${\displaystyle C\mathit{}}$ $){\displaystyle({\boldsymbol{A},{\boldsymbol{C}})$을 보고 LTI 시스템이 관찰 가능한지 여부를 판단할 수 있다$.$그렇다면 다음과 같은 진술이 동등하다고 말할 수 있다.

1. 쌍$({\displaystyle A\mathit{}}$, $){\displaystyle({\boldsymbol{A},{\boldsymbol{C})$을 관찰할$$ 수 있다.

2. $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle$ n$\times$n} 행렬$$

${\displaystyle {\boldsymbol {W_{o}}}(t)=\int _{0}^{t}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }{\boldsymbol {C}}^{T}{\boldsymbol {C}}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }d\tau }$

> ${\displaystyle t>0}$에 대해 비일관적이다

3. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle nq\times$ n$}$ 관측성$$ 행렬

${\displaystyle \left[{\begin{array}{c}{\boldsymbol {C}\\{\boldsymbol{CA}\\\\\\vdots\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\boldsymbold}^{n-1}{n-1}}}}}}}}$

n등급을 가지고 있다.

4.${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$+ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \times }$ n ${\displaystyle (n+q)\time n}$ 행렬$$

${\displaystyle \left[{\begin{array}{c}{{\boldsymbol{-\lambda }}{\boldsymbol{I}\\\\boldsymbol {C}\end{array}\right]}}}}}$

$A{\displaystyle \mathit{}}$ ${\$의 모든 고유값 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$에 전체 열 순위를 지정함$.$

또한 $A{\displaystyle \mathit{}}$ ${\$의 모든 고유값이 음의 실제 부품(${\displaystyle \mathit{}}$ ${\$$})$을 가지고 있고$$, A {\displaystystyle {\boldsymbol}}의 고유한 솔루션인 경우

${\displaystyle {\boldsymbol {A^}T}}{\boldsymbol{W}_{o}+{\boldsymbol{W}}{{O}{\boldsymbol{A}=-{\boldsymbol{C^{T}}}}}}}}}}$

확실하다, 그러면 그 시스템은 관찰할 수 있다.그 해답은 관측성 그래미안이라고 불리며 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle {\boldsymbol {W_{o}}}}=\int _{0}^{\boldsymbol{A}^{T}\tau }{\boldsymbol{C^{C}}e^{\boldsymboldau}}.$

다음 섹션에서는 관찰가능성 그래미안을 자세히 살펴보기로 한다.

관측성 그라미언

관측가능성 그래미안은 랴푸노프 방정식의 해법으로 볼 수 있다.

${\displaystyle {\boldsymbol {A^}T}}{\boldsymbol{W}_{o}+{\boldsymbol{W}}{{O}{\boldsymbol{A}=-{\boldsymbol{C^{T}}}}}}}}}}$

사실, 우리가 만약 우리가 그것을 가지고 간다면, 우리는 그것을 볼 수 있다.

${\displaystyle {\boldsymbol {W_{o}}}=\int _{0}^{\nothy }e^{\boldsymbol {A^}}T}}}\tau }{\boldsymbol {C^{T}C}e^{{\boldsymbol {A}\tau }}}$

해결책으로서 다음 사항을 찾아 보십시오.

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}{\boldsymbol {A^}{T}}{{\boldsymbol{W}_{o}+{\boldsymbol{W}_{W}}{\boldsymbol{A}=&\int_{0}^{0}}{\boldsy imbol{A^}}{\boldsymboldymbol}{A^{{{A^{A^}}}}}}}}T}}}e^{{\boldsymbol{A^{T}}}\tau }{\boldsymbol {C^{T}C}e^{{\boldsymbol {A}\}\d\tau &+\int_{0}^{0}{}^{}e^{\boldsymbol{A^{A^{}}}T}}}\tau }{\boldsymbol {C^{T}C}}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {A}}d\tau \\&=&\int _{0}^{\infty }{\frac {d}{d\tau }}(e^{{\boldsymbol {A^{T}}}\tau{\boldsymbol {C}^{{\boldsymbol {C}e^{{\boldsymbol {A}\}\tau }d\tau &=&e^{\boldsymbol {A^{\bodsymbold}{A^{{}}T}}}t}{\boldsymbol {C}}^{T}{\boldsymbol {C}}e^{{\boldsymbol {A}}t} _{t=0}^{\infty }\\&=&{\boldsymbol {0}}-{\boldsymbol {C^{T}C}}\\&=&{\boldsymbol {-C^{T}C}}\end{array}}}$

${\displaystyle \mathrm{안정적}}$인 $A{\displaystyle \mathit{}}$ ${\$$displaystyle e^{{\$$boldsymbol$ ${$$A}=$$0}$에서 ${\displaystyle {eA}^{}}$=${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyt t=\infit }($모든 고유값은 음의 실제 부품을 가지고 있음)$$라는 사실을 사용한 경우.이는 $W{\displaystyle {\mathit{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$가 실제로 분석 중인 랴푸노프 방정식의 솔루션임을 보여준다$$.

특성.

$우리$는 ${\displaystyle {C\mathit{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathit{}}$ C$${\$displaystyle${\$boldsymbol {C^{T}}}}}$이(가) 대칭 행렬임을$$ 알 수 $있으므로{\displaystyle {\mathit{}}_{}}$ W ${\displaystyle {}_{}}$ ${\${\$boldsymbol {W}_{o$도(가)도 마찬가지다.

$만약{\displaystyle \mathit{}}$ A ${\$이(가) 안정적이라면$$(모든 고유값이 음의 실제 부분을 가지고 있음) $W{\displaystyle {\mathit{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$이(가) 독특하다는$$ 것을 다시 한 번 보여줄 수 있다.이를 증명하기 위해 두 가지 다른 해결책이 있다고 가정해 보십시오.

${\displaystyle {\boldsymbol {A^}T}}{\boldsymbol{W}_{o}+{\boldsymbol{W}}{{O}{\boldsymbol{A}=-{\boldsymbol{C^{T}}}}}}}}}}$

$W{\displaystyle {\mathit{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{o}}_{}}$ 1 ${\$및$$ $W{\displaystyle {\mathit{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$ ${\$ 그러면 다음이 제공된다.

${\displaystyle {\boldsymbol {A^}T}}{{\boldsymbol {(W}_{o1}-{\boldsymbol {W}_{o2}+{\boldsymbol {W}_{o1}-{\boldsymbol{W}}-{O2}}{\boldsymbold}={0}}}}}}}}$

${\displaystyle {eA{\mathit{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{T\mathit{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\$ e$^{{\boldsymbol {A^}$로 곱하기$왼쪽으로는$T}}$t$$},$ $오른쪽$으로는 e ${\displaystyle A^{}}$ ${\displaystyle {t\mathit{}}^{}}$ ${\$이(가) 우리를 안내해 줄 것이다.

${\displaystyle e^{{\boldsymbol {A^}{T}}}}}[{\boldsymbol{A^{T}}}{\boldsymbol {(W}}_{o1}-{\boldsymbol {W}}_{o2})+{\boldsymbol {(W}}_{o1}-{\boldsymbol {W}}_{o2}){\boldsymbol {A}}]e^{{\boldsymbol {A}}t}={\frac {d}{dt}}[e^{{\boldsymbol {A^{T}}}}}[({\boldsymbol {W}_{o1}-{\boldsymbol {W}_{o2})e^{{\boldsymbol {A}}]={\boldsymbol {0}}}}}$

$0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$에서 $\infty {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \infit }($으)로$$ 통합$:$

${\displaystyle [e^{{\boldsymbol {A^}{T}}}}}[({\boldsymbol {W}_{o1}-{\boldsymbol {W}_{o2}}e^{\boldsymbol {A}}] _{t=0}^{\boldsy }={\boldsymbol {0}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle {A\mathit{}}^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$→ 0 ${\displaystyle$ e$^{\boldsymbol {A}\}\오른쪽$ 화살표 $0}$을(를) $t{\displaystyle }$→ t → $【\displaystyle t\오른쪽$ 화살표 $\infty}$로 사용$:$

${\displaystyle {\boldsymbol {0}-({\boldsymbol {W}_{o1}-{\boldsymbol {W}_{o2}}={\boldsymbol {0}}}})$

즉 $W{\displaystyle {\mathit{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$가 고유해야 한다$$.

또한, 우리는 그것을 볼 수 있다.

${\displaystyle {\displaysymbol {x^{T}W_{o}x}=\int _{0}^{\inful }{\boldsymbol{x}}^{\boldsymbol{x}}}^{{}}}}{{}}}}}}T}e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}{\boldsymbol {C^{T}C}}e^{{\boldsymbol {A}}t}{\boldsymbol {x}}dt=\int _{0}^{\infty }\left\Vert {\boldsymbol {Ce^{{\boldsymbol {A}}t}{\boldsymbol {x}}}}\right\Vert _{2}^{2}dt}$

is positive for any ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ (assuming the non-degenerate case where ${\displaystyle {\displaystyle {\boldsymbol {Ce^{{\boldsymbol {A}}t}{\boldsymbol {x}}}}}}$ is not identically zero), and that makes ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{o}}$ a positive definite matrix.

관측 가능한 시스템의 더 많은 속성은 ^[1]LTI 시스템의 관측성 섹션에 제시된 "쌍$({\displaystyle A\mathit{}}$, $){\displaystyle({\boldsymbol{A},{\boldsymbol{C}}}})$의 다른 동등한 문장에 대한 증거와 함께 에서 확인할 수 있다.

이산 시간 시스템

이산 시간 시스템의 경우

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\boldsymbol {x}}[k+1]{\boldsymbol {=Ax}}[k]+{\boldsymbol {Bu}}[k]\\{\boldsymbol {y}}[k]={\boldsymbol {Cx}}[k]+{\boldsymbol {Du}}[k]\end{array}}}$

쌍$({\displaystyle A\mathit{}}$, $){\displaystyle({\boldsymbol{A},{\boldsymbol{C}}})$ 문장의$$ 등가성이 있는지 확인할 수 있다(연속적인 시간 사례에서 등가성이 매우 유사함).

We are interested in the equivalence that claims that, if "The pair ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {C}})}$ is observable" and all the eigenvalues of ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ have magnitude less than ${\displaystyle 1}$ (${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ is stable), then t의 독특한 해결책.

${\displaystyle {\boldsymbol {A^}T}}{{\boldsymbol{W}_{do}{\boldsymbol{A}-W_{do}=-{\boldsymbol {C^{T}}}}}}}$

확실하고 에 의해 주어진다.

${\displaystyle {\boldsymbol{W}_{do}=\sum _{m=0}^{\boldsymbol{A}^{T}}^{{\boldsymbol{C}}}{\boldsymbol{C}}}}{{{\bmboldymbmbmboldmboldmboldmbold}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그것은 별개의 관측성 그래미안이라고 불린다.이산 시간과 연속 시간 사례 사이의 관련성, 즉 W ${\displaystyle d_{}}$ c ${\$이 양수이고$$ $A{\displaystyle \mathit{}}$ ${\$의 모든 고유값은 시스템$$$({\displaystyle A\mathit{}}$, B)의$$크기가 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystysty}$보다 작다는 것을 쉽게 확인할 수 있다.$){\displaystyle({\boldsymbol{A},{\boldsymbol{B}}}}$을(를) 관측할 수 있다.더 많은 재산과 증거를 찾을 수 있다.^[2]

선형 시간 변종 시스템

LTV(Linear Time Variable) 시스템은 다음과 같은 형식이다.

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\dot {\boldsymbol {x}}}(t){\boldsymbol {=A}}(t){\boldsymbol {x}}(t)+{\boldsymbol {B}}(t){\boldsymbol {u}}(t)\\{\boldsymbol {y}}(t)={\boldsymbol {C}}(t){\boldsymbol {x}}(t)\end{array}}}$

즉, 행렬 $A{\displaystyle \mathit{}}$ ${\$ $B{\displaystyle \mathit{}}$ ${\$ $C$ ${\$은 시간에 따라 항목이 달라진다$$.다시 말하지만, 연속 시간 사례와 ${\displaystyle 이산\mathit{}}$ 시간 사례에서도 쌍$($(${\displaystyle }$t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle C}$( $displaystyle ({\boldsymbol{A}(t),{\boldsymbol{C}(t)})$에 의해 제공된 시스템이 관찰 가능한지$$ 여부를 발견하는 데 관심이 있을 수 있다.이것은 앞의 경우와 매우 유사한 방법으로 행해질 수 있다.

만일이 유한한 t1을 존재하므로 시스템(A(t), C(t)){\displaystyle({\boldsymbol{A}}(t),{\boldsymbol{C}}(t))}시간 t0{\displaystyle t_{0}에서};t 0{\displaystyle t_{1}>, t_{0}}는 n×n{\displaystyle n\times의 스녀}행렬도 Observabili라고 불리는 볼 수 있습니다.ty 그라는mian은 에 의해 주어진다.

${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{o}(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{^{t_{1}}}{\boldsymbol {\Phi }}^{T}(t_{1},\tau ){\boldsymbol {C}}^{T}(\tau ){\boldsymbol {C}}(\tau ){\boldsymbol {\Phi }}(t_{1},\tau )d\tau }$

where ${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(t,\tau )}$ is the state transition matrix of ${\displaystyle {\boldsymbol {\dot {x}}}={\boldsymbol {A}}(t){\boldsymbol {x}}}$ is nonsingular.

다시 말하지만, 우리는 시스템이 관측 가능한 시스템인지 아닌지를 결정하는 유사한 방법을 가지고 있다.

$W{\displaystyle {\mathit{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( t ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle {\boldsymbol {W}_{{O}(t_{0},t_{1}})$의 속성

관찰가능성 Gramian $W{\displaystyle {\mathit{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$1 ) ${\displaystyle${\$boldsymbol {W}_{o}(t_{0},t_{1})$에 다음 속성이 있다.

${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{o}(t_{0},t_{1})={\boldsymbol {W}}_{o}(t_{0},t)+{\boldsymbol {\Phi }}^{T}(t,t_{0}){\boldsymbol {W}}_{o}(t,t_{0}){\boldsymbol {\Phi }}(t,t_{0})}$

$그것$은 W${\displaystyle {}_{}}$ ( ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$1 ) ${\displaystyle${\$boldsymbol{W}_{O}(t_{0},t_{1}})$의 정의와$$ 다음과 같은 것을 주장하는 상태 전환 매트릭스의 속성으로 쉽게 알 수 있다.

${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}}(t_{0}, t_{1})={\boldsymbol {\Phi }}{\boldsymbol {\\tau,t_{0}}}}}}}}}$

관찰가능성에 대한 자세한 내용은 Gramian을 참조하십시오.^[3]

참고 항목

• 관측성
• 제어성 그래미언
• 그래미안 행렬
• 한클 단수 값

참조

이 글은 검증을 위해 인용구가 추가로 필요하다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다. 출처 찾기: "관찰성 Gramian" – 뉴스 · 신문 · 책 · 학자 · JSTOR (2008년 7월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 학습)

외부 링크

• 관측가능성을 계산하는 수학 함수 Gramian