홀수 욕심 확장

숫자 이론에서, 이상한 탐욕스러운 팽창 문제는 홀수 분모를 가진 이집트 분수를 찾는 탐욕스러운 알고리즘이 항상 성공하는지를 묻는다.2021년^[update] 현재 미해결 상태로 남아 있다.

설명

이집트 분수는 구별되는 단위 분수의 합으로서 주어진 합리적인 숫자를 나타낸다.합리적인 숫자 $x{\displaystyle }$/ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x/y}$이(가) 홀수 분모가 있는 단위 분수의 합인 경우,

${\displaystyle {\frac {x}{y}}=\sum {1}{2a_{i}+1},}$

그러면 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$은(는) 이상해야 한다$$.$반대$로, y가$${\$displaystyle$ y$}$인 모든$$ 분율 $/y$}은$($는) 뚜렷한 홀수 단위 분수의 합으로 나타낼 수 있다.One method of finding such a representation replaces ${\displaystyle x/y}$ by ${\displaystyle Ax/Ay}$ where ${\displaystyle A=35\cdot 3^{i}}$ for a sufficiently large ${\displaystyle i}$, and then expands ${\displaystyle Ax}$ as a sum of distinct divisors of ${\displ$$Aystyle Ay}$^[1].

그러나 보다 단순한 탐욕 알고리즘이 성공적으로 이집트 분수를 찾아냈는데, 이 분모가 테스트된 모든 $x{\displaystyle }$/${\displaystyle$ x$/y}($홀수 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$ 포함$)$에서 $y{\displaystyle }$/ x ${\displaystyle$ $u}$보다 크거나 같은 최소 홀수 숫자가 되도록$$ 한다.$e y/x$ 확장에$$ $fraction{\displaystyle \mathrm{}}$1 /$$${\displaystyle u}$ {\$displaystyle$ 1/u}을$($를) 포함시키고, $나머지{\displaystyle }$ fraction x$$-${\displaystyle }$1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle u}$ ${\displaysty$ x/y-1/$u}$과(와) 같은 방식으로 계속한다$.$ 이 방법을 홀수 탐욕스러운 알고리즘이라고 하며, 확장이라고 한다.온스

스타인, 셀프리지, 그레이엄 등에서는 욕심이 많은 알고리즘이 $모든{\displaystyle }$ x${\displaystyle /y}$${\displaystyle$$x/y$$}$에 대해 한정된 확장으로 종료되는지 여부에 대한 문제를 제기해 왔다.^[2]2021년을^[update] 기점으로 이 문제는 계속 열려 있다.

예

$x{\displaystyle }$/ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x/y}$ $$= 4/23으로 두십시오.

23/4 = 53/4; 다음으로 큰 홀수는 7이다.그래서 첫 번째 단계는 확장된다.

161/5 = 321/5; 다음으로 큰 홀수는 33이다.그래서 다음 단계는 확장된다.

5313/4 = 13281/4, 다음으로 큰 홀수 번호는 1329이다.그래서 세 번째 단계는 확장된다.

이 확장의 최종 기간은 단위 분율이기 때문에, 이 확장의 결과로 공정이 종료된다.

확장성이 긴 분수

홀수 탐욕 알고리즘은 분모가 작은, 일반적인 탐욕 팽창보다 짧은 확장을 만들어 낼 수 있다.^[3]예를 들어.

여기서 왼쪽 확장은 탐욕스러운 팽창이고 오른쪽 확장은 이상한 탐욕스러운 팽창이다.그러나 이상한 탐욕스러운 팽창은 분모가 큰, 더 전형적으로 길다.예를 들어, 왜건이 발견한 것처럼, 3/179의 이상한 탐욕스러운 팽창은 19개의 항을 가지고 있으며, 그 중 가장 큰 항은 약 1.415×10이다⁴³⁹⁴⁹¹.^[4]이상하게도 알고리즘의 각 단계에서 확장될 분수의 숫자는 연속 정수의 순서를 형성한다.

31개월의 확장을 갖는 5/5809(K. S. Brown과 David Bailey가 독자적으로 발견한 예)와 같은 다른 숫자와도 유사한 현상이 발생한다.이 팽창의 분모는 거대한 크기 때문에 계산하기 어렵지만, 분자 시퀀스는 모듈식 산수를 사용하여 비교적 효율적으로 찾을 수 있다.노와코프스키(1999)는 브로드허스트에 의해 발견된 이러한 유형의 몇 가지 추가 사례를 설명하고 있으며, K. S. Brown은 임의로 긴 팽창으로 분수를 찾는 방법을 설명했다고 언급하고 있다.

짝수 분모에 대하여

홀수 탐욕 알고리즘은 짝수 분모가 있는 분수를 지정했을 때 종료할 수 없다. 왜냐하면 이러한 분수는 홀수 분모가 있는 유한한 표현을 가지고 있지 않기 때문이다.따라서 이 경우 입력의 무한 시리즈 확장을 발생시킨다.예를 들어 실베스터의 수열은 1/2의 이상한 탐욕스러운 팽창에 의해 생성된 것으로 볼 수 있다.

메모들

참조

• Breusch, R. (1954), "A special case of Egyptian fractions, solution to advanced problem 4512", American Mathematical Monthly, 61: 200–201, doi:10.2307/2307234
• Guy, Richard K. (1981), Unsolved Problems in Number Theory, Springer-Verlag, p. 88, ISBN 0-387-90593-6
• Guy, Richard K. (1998), "Nothing's new in number theory?", American Mathematical Monthly, 105 (10): 951–954, doi:10.2307/2589289, JSTOR 2589289
• Klee, Victor; Wagon, Stan (1991), Unsolved Problems in Elementary Geometry and Number Theory, Dolciani Mathematical Expositions, Mathematical Association of America
• Nowakowski, Richard (1999), "Unsolved problems, 1969–1999", American Mathematical Monthly, 106 (10): 959–962, doi:10.2307/2589753, JSTOR 2589753
• Stewart, B. M. (1954), "Sums of distinct divisors", American Journal of Mathematics, 76 (4): 779–785, doi:10.2307/2372651, JSTOR 2372651, MR 0064800
• Wagon, Stan (1991), Mathematica in Action, W.H. Freeman, pp. 275–277, ISBN 0-7167-2202-X

외부 링크

• MathPages - Odd-Greedy Unit Fraction Expansion, K. S. Brown