단위분수

단위분수는 분자가 1이고 분모가 양의 정수인 분수로 표기된 합리적 숫자다. 따라서 단위 분수는 양의 정수 1/n의 역수로서, 예로는 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 등이 있다.

기초 산술

두 개의 단위 분율을 곱하면 다른 단위 분율인 제품이 된다.

${\displaystyle {\frac {1}{x}\frac {1}\frac {1}{xy}}}$

그러나 두 단위 분수를 더하거나 빼거나 나누면 일반적으로 단위 분율이 아닌 결과가 발생한다.

${\displaystyle {\frac {1}{x}+{\frac {1}{1}{y}={\frac {x+y}{xy}}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{x}-{\frac {1}{y}={\frac {y-x}{xy}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{x}\div {\frac {1}{y}}={\frac {y}{x}}}.}$

모듈식 산술

단위 분수는 모듈식 산술에서 중요한 역할을 하는데, 모듈식 분수를 가장 큰 공통 분수의 계산으로 축소하는데 사용할 수 있기 때문이다. 특히 x 값, modulo y 값으로 분할을 수행한다고 가정합시다. x에 의한 분할이 잘 정의되기 위해서는 x와 y가 비교적 원시적이어야 한다. 그리고 나서, 확장된 유클리드 알고리즘을 가장 큰 공통점들에 사용함으로써 우리는 다음과 같은 a와 b를 찾을 수 있을 것이다.

${\displaystyle \displaystyle ax+by=1,}$

그 다음이 그것이다.

${\displaystyle \displaystyle ax\equiv 1{\pmod {y},}$

또는 동등하게

${\displaystyle a\equiv {\frac {1}{x}}{\pmod {y}}}.}$

따라서 x(modulo y)로 나누려면 대신 a로 곱하면 된다.

유한단위분수합계

모든 양의 합리적 숫자는 여러 가지 방법으로 단위 분수의 합으로 작성할 수 있다. 예를 들면

${\displaystyle {\frac {4}{5}}}={\frac {1}{1}:{1}{1}:{1}{1}:{4}+{4}+{\frac {1}}={\frac {1}}{3}}+{1}{6}}+\frac {1}{10}}}}.}$

고대 이집트의 문명은 보다 일반적인 합리적 숫자의 표기법에 뚜렷한 단위 분수의 합계를 사용했고, 그래서 그러한 합을 종종 이집트 분수라고 부른다. 오늘날에는 소수만이 가능한 표현 중에서 선택하기 위해 옛사람들이 사용하는 방법을 분석하고, 그러한 표현으로 계산하는 것에 여전히 관심이 있다.^[1] 이집트 분수의 주제는 또한 현대 수 이론에 관심을 가지고 있다. 예를 들어, Erd–s-Graham 추측과 Erd–s-Straus 추정은 오레의 조화 수치의 정의와 마찬가지로 단위 분수의 합계에 관한 것이다.

기하학적 집단 이론에서 삼각형 그룹은 관련 단위 분수의 합이 각각 1과 같거나, 1보다 크거나, 혹은 1보다 작는지에 따라 유클리드, 구면, 쌍곡선 사례로 분류된다.

단위 분율 시리즈

잘 알려진 많은 무한 시리즈는 단위 분율인 용어를 가지고 있다. 여기에는 다음이 포함된다.

• 모든 양의 단위 분수의 합인 고조파 계열. 이 합계는 분산되고, 그 부분적인 합은 분산된다.

${\displaystyle {\frac {1}{1}:{1}{1}:{1}:{1}:{1}:{1}{1}{1}{1}}+{1}\frac {1}{n}}}}$

n이 증가함에 따라 근사치 lnn + γ.

• 바젤 문제는 π²/6으로 수렴되는 제곱 단위의 합계에 관한 것이다.
• 아페리의 상수는 입방체 분수의 합이다.
• 2에 더해지는 2진수 기하학적 시리즈와 역수 피보나치 상수는 단위 분수로 구성된 시리즈의 추가적인 예들이다.

단위 분수의 행렬

힐버트 행렬은 원소가 있는 행렬이다.

${\displaystyle B_{i,j}={\frac {1}{i+j-1}}$

역행렬의 모든 원소가 정수라는 특이한 속성을 가지고 있다.^[2] 마찬가지로 리처드슨(2001)은 요소가 있는 행렬을 정의했다.

${\displaystyle C_{i,j}={\frac {1}{F_{i+j-1}}}$

여기서 F는_i ith 피보나치 숫자를 나타낸다. 그는 이 행렬을 필버트 행렬이라고 부르는데, 정수 역행성을 갖는 것과 같은 성질을 가지고 있다.^[3]

인접 분수

${\displaystyle d}$${\displaystyle }$- ${\displaystyle b}$=${\displaystyle }$± ${\displaystyle 1}$ ±$$1 {\$displaystyle ad-bc=\pm$ 1$\},$ 즉 d${\displaystyle }$- b${\displaystyle c}$ = ${\displaystyle d}$ - b / $bd}$의 차이가 단위 분수임을$$ 의미하는 경우 $a{\displaystyle }$/ ${\displaystyle b}${\$displaystyle$ a/$b$$}$ 및$$ ${\displaysty c/d$$}($최저 용어로) 두 개의 분수가 인접하게 호출된다. For instance, ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ and ${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}$ are adjacent: ${\displaystyle 1\cdot 5-2\cdot 3=-1}$ and ${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{10}}}$. However, some pairs of fractions whose 차이점은 이러한 의미에서 단위 비율이 인접하지 않다는 것이다. 예를 들어, $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{3}{}}$ ${\$ {1$}{3}$ 및$$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ 3 ${\$ {$2}{3}}$은(는) 단위 비율에 따라 다르지만$$,${\displaystyle d}$ - ${\displaystyle \mathrm{b}}$= 3 ${\displaystysty$ ad-bc$=3}$이 인접하지 않다$.$ 이 용어는 포드 서클의 연구에서 나온 것으로, 특정 분수의 숫자 선에 접하고 분수의 제곱 분모를 지름으로 하는 원(fract $a{\displaystyle }$/ ${\displaystyle b}$ ${\displaysty a/b}$ 및 $c$/d ${\d$ 디스플레이 스타일 $c/d})$이 포드 서클이 접선 원일 경우에만 인접해$$ 있다.^[4]

확률 및 통계량의 단위 분율

이산형 공간의 균일한 분포에서 모든 확률은 동일한 단위 분율이다. 무관심의 원칙 때문에 통계적 계산에서 이 형태의 확률은 자주 발생한다.^[5] 또한 Zipf의 법칙에 따르면 순서에서 항목을 선택하는 것과 관련된 많은 관측된 현상에 대해 n번째 항목이 선택될 확률은 1/n 단위 비율에 비례한다고 한다.^[6]

물리학의 단위 분율

수소 원자에 의해 흡수되거나 방출될 수 있는 광자의 에너지 수준은 Rydberg 공식에 따르면 두 단위 분수의 차이에 비례한다. 이러한 현상에 대한 설명은 보어 모델에 의해 제공되며, 이에 따라 수소 원자 내 전자 궤도의 에너지 수준은 정사각형 단위 분수에 반비례하며, 광자의 에너지는 두 수준 사이의 차이에 정량화된다.^[7]

Arthur Eddington은 미세구조 상수가 처음에는 1/136, 그 다음에는 1/137이라고 주장했다. 미세구조 상수의 현재 추정치가 1/137.036임을 감안할 때 이 경합은 변조되었다.^[8]

참고 항목

• 서브멀티플

참조

외부 링크

• Weisstein, Eric W., "Unit Fraction", MathWorld