케일리의 Ω 공정

수학에서 아서 케이리(1846년)가 도입한 케이리의 Ω 공정은 일반 선형 그룹에 대해 비교적 불변 미분 연산자로, 집단 작용의 불변성을 구성하는 데 사용된다.

n² 변수 x의_ij 함수에 작용하는 부분 미분 연산자로서 오메가 연산자는 결정 인자에 의해 주어진다.

${\displaystyle \Omega ={\begin{vmatrix}{\frac {\partial }{\partial x_{11}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial }{\partial x_{n1}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{nn}}}\end{vmatrix}}.}$

For binary forms f in x₁, y₁ and g in x₂, y₂ the Ω operator is ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}fg}{\partial x_{1}\partial y_{2}}}-{\frac {\partial ^{2}fg}{\partial x_{2}\partial y_{1}}}}$. x와 y 변수의 f와 g 형태에 대한 r-폴드 Ω 공정 Ω^r(f, g)은 그 다음이다.

1. f를 x₁, y, g의 형태로 x₂, y의₁₂ 형태로 변환
2. 함수 fg, 즉 이 네 변수에서 f 곱하기 g에 Ω 연산자를 r회 적용
3. 결과에서 x와₁ x를₂ x와 x로, y와₁ y로₂ 대체

두 형태 f와 g에 대한 r-폴드 Ω^r 공정 Ω(f, g)의 결과를 r-th transvectant라고도 하며 일반적으로 (f, g)^r라고 표기한다.

적용들

케이플리의 Ω 과정은 카펠리의 정체성에 나타나는데, 웨일(1946)은 천연 다항식 알헤브라에 작용하는 다양한 고전 그룹의 불변성분을 위한 발전기를 찾는데 사용했다.

힐버트(1890년)는 일반 선형 집단의 불변성 반지의 유한 생성에 대한 증명에서 케일리의 Ω 공정을 이용했다. 그의 Ω 프로세스 사용은 특수 선형 그룹의 레이놀즈 연산자에게 명시적인 공식을 제공한다.

케일리의 Ω 프로세스는 경화제를 정의하는 데 사용된다.

참조

• Cayley, Arthur (1846), "On linear transformations", Cambridge and Dublin Mathematical Journal, 1: 104–122 다시 인쇄됨
• Hilbert, David (1890), "Ueber die Theorie der algebraischen Formen", Mathematische Annalen, 36 (4): 473–534, doi:10.1007/BF01208503, ISSN 0025-5831, S2CID 179177713
• Howe, Roger (1989), "Remarks on classical invariant theory.", Transactions of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, 313 (2): 539–570, doi:10.1090/S0002-9947-1989-0986027-X, ISSN 0002-9947, JSTOR 2001418, MR 0986027
• Olver, Peter J. (1999), Classical invariant theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55821-1
• Sturmfels, Bernd (1993), Algorithms in invariant theory, Texts and Monographs in Symbolic Computation, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-211-82445-0, MR 1255980
• Weyl, Hermann (1946), The Classical Groups: Their Invariants and Representations, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-05756-9, MR 0000255, retrieved 03/2007/26 {{citation}}: 날짜 값 확인: accessdate= (도움말)