이진 형식의 불변성

수학 불변성 이론에서 이항 형태의 불변성은 두 변수 x와 y의 이항 형태 계수에 있는 다항식이며, x와 y 변수에 작용하는 특수 선형 그룹 하에서 불변성으로 남아 있다.

용어.

이진 형식(도 n)은 동종 다항식 σⁿ
_i=0()ⁿ
_i아xy_n−iⁿ⁻ⁱⁱ = 도끼_nⁿ + ()ⁿ
₁아xy_n−1ⁿ⁻¹ + ...이다.+ ay₀ⁿ. 그룹 SL₂(C)은 x to ax + by 및 y to cx + dy를 취함으로써 이러한 형태에 작용한다.이것은 이러한₀ 변수의 다항식 및 다항식들에 의해 확장된 공간에_n 대한 작용을 유도한다.불변량은 이 n + 1 변수 a₀, ...에서 다항식이며, 이_n 작용에서 불변형이다.보다 일반적으로 공변량은 불변성인 a₀, ..., a_n, x, y의 다항식이기 때문에 불변성은 x와 y 변수가 발생하지 않는 공변량의 특수한 경우다.보다 일반적으로는, 동시 불변량은 x와 y의 여러 가지 다른 형태의 계수에 있는 다항식이다.

표현 이론의 측면에서 그룹 SL₂(C)의 어떤 표현 V를 고려할 때 V에 불변 다항식의 링을 요청할 수 있다.2진법 형태의 n 도수의 불변량은 V를 (n + 1) 차원 불복원 표현으로 취하는 것과 일치하며, 공변량은 V를 차원 2와 n + 1의 불복원 표현 합으로 취하는 것에 해당한다.

2진법의 불변성은 등급화된 대수학을 형성하며, 고르단(1868)은 기초장이 복잡한 숫자일 경우 이 대수학이 정밀하게 생성된다는 것을 증명했다.

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10의 형태는 때때로 사분위수, 세제곱, 사분위수, 5중주, 6중주, 6중주, 패혈 또는 패혈, 8중주, 8중주, 비닉, 그리고 10중주라고 불린다."양자"는 임의의 학위 형태를 나타내는 옛 이름이다.1, 2, 3, 4, ...변수의 형식은 단항, 이항, 삼차, 사분위, ...형태라고 한다.

예

형식 f는 그 자체로 도 1과 순서 n의 공변량이다.

형식에 대한 차별은 불변이다.

두 가지 형태의 결과물은 그것들의 동시 불변성이다.

Hilbert 형식의 Hessian 공변량(1993, 페이지 88)은 Hessian 행렬의 결정 요인이다.

H(f)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}\\[10pt]{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\end{bmatrix}}.

순서 2n-4와 정도 2의 공변량이다.

강직제는 짝수 n의 이항 형태의 n/2+1의 불변성 물질이다.

성운은 홀수 도 n의 이항 형태의 정도와 순서의 공변량(n+1)/2이다.

야코비안

\det{bmatrix}{\frac {\frac}{\bmatrix}{\bmatrix}{\fract f}{\bmatrix}}}{\fract g}{\frac {\frac}{\bmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

두 가지 형태의 동시 공변량, g.

불변자의 고리

불변성의 고리의 구조는 소도(小道)로 정리되었다.실베스터&프랭클린(1879)은 주로 몇 개의 불변량이나 공변량이 생략된 큰 도에 대해 몇 개의 사소한 오차를 가지고 있지만, 10까지 등급 형태에 대한 불변량 및 공변량 발생기 수의 표를 주었다.

이항 선형 형식의 공변량

선형 형태의 경우 도끼 + by 유일한 불변수는 상수다.공변량의 대수학은 도 1과 순서 1의 형태 자체에 의해 생성된다.

이항 사분면의 공변량

2차 형태 도끼² + 2bxy + cy의² 불변수 대수는 도 2의 판별 b² - ac에 의해 생성된 1 변수의 다항식 대수다.공변량의 대수학(大學)은 f형 자체(도 1과 순서 2)와 함께 판별에 의해 생성되는 2개의 변수에 속하는 다항식 대수학이다. (Schur 1968, II.8) (Hilbert 1993, 16, XX)

이항 입방체의 공변량

입방형 도끼³ + 3bxy² + 3cxy² + dy의³ 불변수 대수는 D = 3bc²² + 6abcd - 4bd³ - 4ca³ - add에²² 의해 생성된 1개의 변수에 있는 다항식 대수다.공변량의 대수학은 판별자, 형태 자체(1도, 순서 3), 헤시안 H(2도, 순서 2), 공변량 T(3도, 순서 3)에 의해 생성된다.그들은 syzy 4H³=Df-T²² 학위 6과 주문 6에 의해 연관되어 있다. (Schur 1968, II.8) (Hilbert 1993, XVII, XX)

이항 사분위의 공변량

4분위형 불변성의 대수는 불변성분 i, 2도 j, 3에 의해 생성된다.이 링은 아이젠슈타인 시리즈 E와₄ E에₆ 해당하는 두 개의 발전기가 있는 레벨 1의 모듈형 형태의 링과 자연적으로 이형성이 있다.공변량의 대수학은 이 두 개의 불변량이 도 1의 f와 순서 4의 형태, 헤시안 H의 도 2와 순서 4의 형태, 공변량 T의 도 3과 순서 6과 함께 생성된다.시지 $jf 3$ – $Hfi 2$ + $4H 3 2$ + T = 0 도 $6$ 에 의해 관련되며, 주문 12(Schur 1968, II.8) (Hilbert 1993, XIII, XXII)

이항 5분위의 공변량

5중형 형태의 불변수 대수는 실베스터에 의해 발견되었고 4, 8, 12, 18위의 불변수들에 의해 생성된다.4, 8, 12도의 발전기는 다항식 고리를 생성하는데, 여기에는 18도의 헤르미테의 꼬치 불변성의 사각형이 들어 있다.불변성은 명시적으로 쓰기에 다소 복잡하다: 실베스터는 4, 8, 12, 18의 발전기가 12, 59, 228, 그리고 848개의 항을 가지고 있고 계수가 매우 크다는 것을 보여주었다.(Schur 1968, II.9) (Hilbert 1993, XIII) 공변량의 링은 23개의 공변량에 의해 생성되는데, 그 중 하나는 도 3과 순서 3의 정합성이다.

이항 육분의 공변량

6진법 형태의 불변수 대수학은 2, 4, 6, 10, 15위의 불변수들에 의해 생성된다.2, 4, 6, 10 도 발전기는 15 도 발전기의 사각형을 포함하는 다항식 링을 생성한다.(Schur 1968, II.9) 공변량의 링은 26개의 공변량에 의해 생성된다.불변성의 고리는 속2의 곡선의 모듈리 공간과 밀접하게 연관되어 있는데, 이러한 곡선은 6점에서 분기된 투사선의 이중커버로 나타낼 수 있고, 6점은 2진법의 뿌리로 삼을 수 있기 때문이다.

이항 패혈증의 공변량

이항성 패혈증의 불변성의 고리는 변칙적이며, 몇 가지 발표된 오류를 야기했다.케일리는 불변성의 고리가 미세하게 생성되지 않는다고 잘못 주장했다.실베스터 & 프랭클린(1879)은 불변성 링과 공변성 링의 생성자 수에 대해 26과 124의 하한을 부여했고 입증되지 않은 "근본적 가정"이 평등이 유지됨을 의미할 것이라고 관찰했다.그러나 폰 갈 (1888)은 실베스터의 숫자가 불변성의 링에 30개, 공변성의 링에 적어도 130개인 발전기의 수와 같지 않음을 보여 주었기 때문에 실베스터의 근본적인 가정은 틀렸다.von Gall (1888) and Dixmier & Lazard (1988) showed that the algebra of invariants of a degree 7 form is generated by a set with 1 invariant of degree 4, 3 of degree 8, 6 of degree 12, 4 of degree 14, 2 of degree 16, 9 of degree 18, and one of each of the degrees 20, 22, 26, 30. Cröni (2002) gives 147 generators for the ring of covariants.

이항 8진법의 공변량

실베스터&프랭클린(1879)은 8도 형식의 불변성 고리가 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10의 9개 불변성분에 의해 생성되며 공변성 고리는 69개의 공변성분에 의해 생성된다는 것을 보여주었다.아우구스트 폰 갈 (본 갈 (1880))과 시오다 (1967)는 불변기의 고리용 발전기를 확인하고 그들 사이의 관계의 이상은 16도, 17도, 18도, 19도, 20도 원소에 의해 생성된다는 것을 보여주었다.

이항 비닉의 공변량

브루워&포포포비치우(2010a)는 9도 형식의 불변수 대수에서 92개의 불변수에서 생성되는 것을 보여주었다.크뢰니, 헤게돈, 브루워는^[1] 476개의 공변량을 계산했고, 레르시어 & 올리브는 이 목록이 완성되었다는 것을 보여주었다.

이항 십진법의 공변량

실베스터는 104개의 2진법 불변성 링이 475개의 공변성 링에 의해 생성된다고 말했다. 그의 목록은 16도까지 정확해야 하지만 더 높은 정도는 틀렸다.브루워&포포포비치우(2010b)는 106개 불변량에서 10도 형식의 불변량 대수가 생성된다는 것을 보여주었다.Haedorn과^[1] Brouwer는 510개의 공변량을 계산했고, Lercier & Olive는 이 목록이 완성되었다는 것을 보여주었다.

이항 미해독성의 공변량

11도의 2진법 형태의 불변성의 링은 복잡하고 아직 명시적으로 설명되지 않았다.

이항 2차 공변량

12도 형식에 대해 실베스터(1881)는 14도까지의 도에 109개의 기본 불변제가 있다는 것을 발견했다.더 높은 도로는 적어도 4개가 더 있다.기본 공변량은 최소 989개다.

2진수 형태의 불변량과 공변량의 발전기 수는 각각 (OEIS의 경우 순서 A036983)와 (OEIS의 경우 순서 A036984)에서 확인할 수 있다.

여러 이진 형식의 불변성

이항 형태의 공변량은 이항 형태와 이항 선형 형태의 관절 불변량과 본질적으로 동일하다.보다 일반적으로, on은 모든 이진 형식의 공동 불변제(및 공변량)를 요구할 수 있다.연구된 몇 가지 사례가 아래에 열거되어 있다.

두 선형 형태의 공변량

기본 불변성분 1개와 기본 공변량 3개가 있다.

선형 형태와 이차형의 공변량

2개의 기본 불변과 5개의 기본 공변량이 있다.

선형 형태와 입방체의 공변량

4개의 기본 불변(본질적으로 1입방 공변량)과 13개의 기본 공변량이 있다.

선형 형태와 사분위의 공변량

5개의 기본 불변(본질적으로 4분의 1의 기본 공변량)과 20개의 기본 공변량이 있다.

선형 형태와 5분위의 공변량

기본 불변량(본질적으로 5중주 기본 공변량)은 23개, 기본 공변량은 94개다.

선형 형태와 정량의 공변량

여러 선형 형태의 공변량

n개의 선형 형태의 불변성 링은 n(n–1)/2도 불변성에 의해 생성된다.n 선형 형태의 공변량 링은 n+1 선형 형태의 불변량 링과 본질적으로 동일하다.

2개의 4분위수 공변량

기본 불변량은 3개, 기본 공변량은 6개다.

두 개의 사분위수와 선형 형태의 공변량

여러 선형 및 2차 형태의 공변량

m 선형 형태와 n 2차 형태 합계의 불변성 고리는 m(m–1)/2 + n(n+1)/2 발전기 2개에 의해 2, nm(m+1)/2+n(n–1)/6도, m(m+1)n(n–1)/4도 단위로 생성된다.

공변량 링의 생성자 수에 대해서는 m을 m+1로 변경한다.

이차 및 입방체의 공변량

5개의 기본 불변과 15개의 기본 공변량이 있다.

2차 및 4차 공변량

6개의 기본 불변과 18개의 기본 공변량이 있다.

2차 및 5중주 공변량

29개의 기본 불변과 92개의 기본 공변량이 있다.

1입방과 4분의 1의 공변량

기본 불변량은 20개, 기본 공변량은 63개다.

공변량 2 사분위수

8개의 기본불변량(도2, 4도3, 1도4)과 28개의 기본 공변량(고단에게 30개의 공변량을 주었지만 실베스터는 이 중 2개가 환원 가능한 것으로 나타났다)

입체파 또는 사분위수가 많은 공변량

불변량 또는 공변량의 발생자 수는 영(1899) 하브텍스트 오차: 목표 없음: CITREFYoung1899 (도움말)에 의해 주어졌다.

참고 항목

참조

^ ^a ^b 브루어, 불변량 및 수량 공변량

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외부 링크

Brouwer, Andries E., Invariants of binary forms

[aeb-1] 브루어, 불변량 및 수량 공변량

[1]

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