궤도(제어 이론)

수학적 제어 이론에 사용되는 제어 시스템의 궤도 개념은 그룹 이론에서 궤도 개념의 특별한 경우다.^[1][2][3]

정의

Let ${\displaystyle {\ }{\dot {q}}=f(q,u)}$ be a ${\displaystyle \ {\mathcal {C}}^{\infty }}$ control system, where ${\displaystyle {\ q}}$ belongs to a finite-dimensional manifold ${\displaystyle \ M}$ and ${\displaystyle \ u}$ belongs to a control set ${\displaystyle }$${\displaystyle U}$ ${\displaystyle$\$U$ $F{\displaystyle \mathcal{}}$=${\displaystyle }${ f(${\displaystyle }$⋅,${\displaystyle u}$) ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle u}$u ${\displaystyle u\}}$ ${\displaystyle {F}=\f(\cdot,u)\mid u\in U$$\}}$을(를) 가정하고 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 모든 벡터 필드가 완료되었다고 가정한다.모든 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle F\mathcal{}}$ ${\$$displaystyle f\in {\mathcal {F}$과(와) ${\displaystyle 모든}$실제 t {\$displaystyle$ t$}$에 대해, ${\displaystyle e}$$$t {\$displaystyle$\ e^{tf$}}}$에 ${\displaystyle 대한}$ f ${\$$displaystystyle$\ $f}$의 흐름을 ${\displaystyle {나타낸다}^{}}$$.$

The orbit of the control system ${\displaystyle {\ }{\dot {q}}=f(q,u)}$ through a point ${\displaystyle q_{0}\in M}$ is the subset ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{q_{0}}}$ of ${\displaystyle \ M}$ defined by

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{q_{0}}=\{e^{t_{k}f_{k}}\circ e^{t_{k-1}f_{k-1}}\circ \cdots \circ e^{t_{1}f_{1}}(q_{0})\mid k\in \mathbb {N} ,\ t_{1},\dots ,t_{k}\in \mathbb {R} ,\ f_{1},\dots ,f_{k}\in {\mathcal {F}}\}.}$

언급

궤도와 달성 가능한 집합의 차이는 달성 가능한 집합의 경우 정방향 및 역방향 움직임만 허용되는 반면에, 궤도에 대해서는 정방향 및 역방향 움직임이 모두 허용된다는 것이다.특히 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ 패밀리 F {\mathcal {$F}$이(가$$) 대칭이면(예$$$:{\displaystyle }$ f${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F\mathcal{}}$$$${\$ f$\$$in {\mathcal$ {F$}) 궤도$와 달성 가능한 집합이 일치한다.$$

$F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 모든 벡터 필드가 완전하다는$$ 가설은 공식을 단순화하지만 삭제할 수 있다.이 경우 벡터 필드의 흐름을 로컬 버전으로 교체해야 한다.

궤도 정리(나가노-수스만)

각 궤도 ${\displaystyle {Oq}_{{}_{}}}$ ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\$은(는) ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle$\$M}$의 잠근 하위 manifold이다$.$

The tangent space to the orbit ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{q_{0}}}$ at a point ${\displaystyle \ q}$ is the linear subspace of ${\displaystyle \ T_{q}M}$ spanned by the vectors ${\displaystyle \ P_{*}f(q)}$ where ${\displaystyle \ P_{*}f}$ denotes the${\displaystyle f}$ ${\displaystyle$\$f}$ by$$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle$\$P$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \f}$은$($는) ${\displaystyle F}$ ${\${$F$$}$에 속하며, ${\displaystyle P}$ ${\$$displaystystyle$$$${\displaystyle \backslash }$ ${\displaystyle {M{}_{}}^{}}$$}$의 $차이점형상표기법이다$$.$$^{t_{k}f_{k}}\circ \cdots \circ e^{t_{1}f_{1}}}$ with ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,\ t_{1},\dots ,t_{k}\in \mathbb {R} }$ and ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}\in {\mathcal {F}}}$.

If all the vector fields of the family ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ are analytic, then ${\displaystyle \ T_{q}{\mathcal {O}}_{q_{0}}=\mathrm {Lie} _{q}\,{\mathcal {F}}}$ where ${\displaystyle \mathrm {Lie} _{q}\,{\mathcal {F}}}$ is the evaluation at${\displaystyle }$q {\$displaystyle {\mathcal{F}$에서 벡터 필드의 Lie 브래킷과 관련하여$$ $생성$된 Lie 대수 ${\displaystyle 중}$ $\displaystyle$\ \ $q}.$그렇지 않으면 ${\displaystyle {\mathrm{Li}}_{}}$ ${\displaystyle e{}_{}\mathcal{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \subset }$ T ${\displaystyle {}_{}}$ O ${\displaystyle {{q\mathrm{}}_{}}_{}}$ 0 ${\$ 포함은 참이다$$.

코롤라리 (Rashevsky-쵸우 정리)

If ${\displaystyle \mathrm {Lie} _{q}\,{\mathcal {F}}=T_{q}M}$ for every ${\displaystyle \ q\in M}$ and if ${\displaystyle \ M}$ is connected, then each orbit is equal to the whole manifold ${\displaystyle \ M}$.

참고 항목

• 프로베니우스 정리(차등 위상)

참조

추가 읽기

• Agrachev, Andrei; Sachkov, Yuri (2004). "The Orbit Theorem and its Applications". Control Theory from the Geometric Viewpoint. Berlin: Springer. pp. 63–80. ISBN 3-540-21019-9.