오르릭츠 시퀀스 공간

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수학에서, Orlicz 시퀀스 공간은 Banach 공간을 형성하는 아래에 명시된 특별한 규범과 함께 부여된 스칼라 값 시퀀스의 어떤 특정한 종류의 선형 공간이다.Orlicz 시퀀스 공간은 $\ell {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$ 공간을$$ 일반화하므로 기능 분석에 중요한 역할을 한다.

정의

$K{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle \in }${ ${\displaystyle R\mathbb{}}$, ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \mathb {K} \in \{\mathb {R},\mathb {C}$\}}}}을(를) 수정하여 $K{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$가) 실제 또는 복합 스칼라 필드를 나타내도록$$ 하십시오$$.We say that a function ${\displaystyle M:[0,\infty )\to [0,\infty )}$ is an Orlicz function if it is continuous, nondecreasing, and (perhaps nonstrictly) convex, with ${\displaystyle M(0)=0}$ and ${\displaystyle \textstyle \lim _{t\to \infty }M(t)=\infty }$. In t는 모든$$ $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$[ 0${\displaystyle }$, $b$에 $대해$ M (${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ $[\displaystyle M(t)=0}$이(가) 있는 b> 0 ${\$$displaystyle m($t)=$0}$이($가)$ 있는 특별한 경우를 퇴보라고 한다.

다음 내용에서는, 달리 명시되지 않는 한, 모든 Orlicz 기능이 쇠퇴하지 않는다고 가정할 것이다.이는 모든 > 에 M ( t ) > 0 {\$displaystyle M($$t)>$$}$을 의미한다

각 스칼라 시퀀스$({\displaystyle n_{}^{}{}_{}{}_{}^{}}$) $n$= ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$N {\$displaystyle$ ($a_{n})_{n$=1}^{n=1}^{\$inflt$}\$infit$}\$inmathb {K} ^{\mathb{N}}}}}}}}}}}}$ 세트$$

${\displaystyle \left\ (a_{n})_{n=1}^{\inf \\inf \left\{\rho >0:\sum \{n=1}^{n=1}{n1}^{n1}{rho )\lleqslant 1\rig\}.}$

모든(는 n)n의 선형 공간)1∞ ∈ KN{\displaystyle(a_{n})_{n=1}^{\infty}\in\mathbb{K}^{\mathbb{N}우리는 그렇다면 M{M\displaystyle}에 관련해서 M{\displaystyle \ell_{M}ℓ 표시},}}가∑ nx1∞ M(오빠/ρ)<>∞은 Orlicz 시퀀스에 공간을 정의한다. {$\displaystyle \textstyle \sum_{n=1}^{\infit$}M$($$a_$${n} /\rho$ ) 일부 > 0 {\$displaystyle \rho >0}<\$$inflty$ 에 대한 표준 $displaystytype \codot$

이어지는 토론에서 두 가지 다른 정의가 중요할 것이다.Orlicz 함수 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은(는) 항상 Δ₂ 조건을 0에서 만족한다고 한다$$.

${\displaystyle \limsup _{t\to 0}{\frac {M(2t)}{M(t)}}}<\inflt.}$

우리는 hM{\displaystyle h_{M}에 의해}(는 n)nx스칼라 시퀀스의 부분 공간 1∞ ∈ ℓ M{\displaystyle(a_{n})_{n=1}^{\infty}\in \ell _{M}}를 의미한다가∑ nx1∞ M(오빠/ρ)<>∞{\displaystyle\textstyle \sum_{n=1}(a_{n}/\rho)<, \infty}에 대한 모든ρ>0. {\displa$ystyle \rho >0$

특성.

우주 ℓ M{\displaystyle \ell_{M}}은 바나흐 공간 고전적인 ℓ p{\displaystyle \ell_{p}}다음 정확한 의미에서 공간 generalizes:M(t))tp{\displaystyle M(t)=t^{p}}, 1⩽<>∞{\displaystyle1\leqslant p<,\infty}, 그때 ‖ ⋅‖ M{\displaystyle)\cd.고르\_${M}}$ coincides with the ${\displaystyle \ell _{p}}$-norm, and hence ${\displaystyle \ell _{M}=\ell _{p}}$; if ${\displaystyle M}$ is the degenerate Orlicz function then ${\displaystyle \ \cdot \ _{M}}$ coincides with the ${\displaystyle \ell _{\infty }}$-norm, and hence${\displaystyle {\ell }_{}}$ ${\displaystyle M_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ $∞{\$$displaystyle$ $\ell _{M}=\el _${\infit $}}$이(가) 특별한$$ 경우$$, $M{\displaystyle }$${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle h_{M}=c_{0$}}}이$($가$$$)$ 변질되면 M = c ${$0$}$

일반적으로 단위 벡터는 $\ell {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle M_{}}$ ${\$에$$대한 기초를 형성하지 못할 수 있으므로 다음 결과는 상당히 중요하다.

정리 1.$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가) Orlicz 함수인 경우 다음 조건은 동일하다.

(i) M ${\displaystyle M}$은 0에서 Δ₂ 조건을 만족한다$$. 즉, → 0 ( 2 )/ ( ) <${\$ style $\textstyle \limsup _{t\t$\to 0$}M(2t)/M(t)<\in$(t

(ii) For every ${\displaystyle \lambda >0}$ there exists positive constants ${\displaystyle K=K(\lambda )}$ and ${\displaystyle b=b(\lambda )}$ so that ${\displaystyle M(\lambda t)\leqslant KM(t)}$ for all ${\displaystyle t\in [0,b]}$.

(iii) ${\displaystyle \textstyle \limsup _{t\to 0}tM'(t)/M(t)<\infty }$ (where ${\displaystyle M'}$ is a nondecreasing function defined everywhere except perhaps on a countable set, where instead we can take the right-hand derivative which is defined everywhere).

(iv) ℓ ${\displaystyle M_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle M_{}}$ ${\$

(v) 단위 벡터는 ${\displaystyle {\ell }_{}}$ M {\$displaystyle \ell$ _${M}$에 대해 경계로 완전한 대칭 기준을 형성한다$.$

(vi) ℓ ${\displaystyle M_{}}$ ${\$은(는) 분리할 수 있다.

(vii) ℓ ${\displaystyle M_{}}$ ${\$ ${\$에 대한 아공간 이형성을 포함하지 못함$$$.$

(viii) ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }\in \ell _{M}}$ if and only if ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }M( a_{n} )<\infty }$.

일이 있을 때 존재하는을 영에Δ2 상태를 충족시키면{N\displaystyle}두 Orlicz 기능 M{M\displaystyle}와 N과 동등하다는 긍정적인 상수 A, B, b>0{\displaystyle A,B,b>0}모든톤에 대한 AN(t)⩽ M(t)⩽ BN(t){AN(t)\leqslant M(t)\leqslant BN(t)\displaystyle}라고 불린다 ∈는 경우에는 0,${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle t\in [0,b]}.$${\displaystyle {\ell }_{}}$ M ${\$과 $\ell {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle N_{}}$ ${\$의 단위 벡터 베이스가 동등한$$ 경우에만 해당된다.

${\displaystyle {\ell }_{}}$ ${\displaystyle M_{}}$ ${\$은(는) 단위 벡터 베이스가 등가하지$$ 않고 $\ell {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle N_{}}${\$displaystyle \ell _{N}$에 이형될 수 있다$$. (아래 비수량 대칭 베이스가 2개인 Orlicz 시퀀스 공간의 예 참조).

정리2.$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$을(를) Orlicz 함수로 한다$$.그러면 $\ell {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle M_{}}$ ${\$은 다음과 같은 경우에만 반사적이다$$.

${\displaystyle \liminf _{t\to 0}{\frac {tM'(t)}{M(t)}}>1\;\;}$ and ${\displaystyle \;\;\limsup _{t\to 0}{\frac {tM'(t)}{M(t)}}<\infty }$.

정리 3(K. J. 린드버그).Let ${\displaystyle X}$ be an infinite-dimensional closed subspace of a separable Orlicz sequence space ${\displaystyle \ell _{M}}$. Then ${\displaystyle X}$ has a subspace ${\displaystyle Y}$ isomorphic to some Orlicz sequence space ${\displaystyle \ell _{N}}$ for some Orlicz function ${\displaystyle N}$0에서 Δ₂ 조건을 만족하는$$ ${\displaystyle$ N$}.$게다가 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X$$}$이(가) 무조건적인 근거를 가지고$$ 있다면 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 보완되도록 Y ${\displaystyle Y}$을(를$)$ 선택할 수 있으며$$$,$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X$$}$이(가) 대칭적 근거를 가지고 있다면$$ $X{\displaystyle }$ ${\$$displaystystyty$X$}$ 자체는$$ $.$ ${\displaystyle N_{}}$ ${\}$.

정리 4(린덴스트라우스/짜프리리)분리 가능한 모든 Orlicz 시퀀스 공간 ${\displaystyle {\ell }_{}}$ M ${\$$ell _{M$$}}$에는 1p<${\$$displaystyle \ell$ _{$p$$}}$에 대한$이형$ 공간이 포함되어$$ 있다

코롤러리.분리 가능한 Orlicz 시퀀스 공간의 모든 무한 차원 폐쇄 하위 공간에는 $약{\displaystyle {}_{}}$ < ${\displaystyle$ $\ell$ $_{p$$}$에 대한$$ 추가적인 아공간 이형체가 포함되어 있다

위의 정리 4에서 $\ell {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$의 복사본이 다음 예에서 알 수 있듯이 항상 보완되도록 선택되지는 않을 수 있다는$$ 점에 유의하십시오.

예(Lindenstrauss/Tzafriiri).There exists a separable and reflexive Orlicz sequence space ${\displaystyle \ell _{M}}$ which fails to contain a complemented copy of ${\displaystyle \ell _{p}}$ for any ${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant \infty }$. This same space ${\displaystyle \ell _{M}}$ contains at least two non등가 대칭 기준

정리 5(K. J. 린드버그 & 린덴스트라우스/트자프리리)If ${\displaystyle \ell _{M}}$ is an Orlicz sequence space satisfying ${\displaystyle \textstyle \liminf _{t\to 0}tM'(t)/M(t)=\limsup _{t\to 0}tM'(t)/M(t)}$ (i.e., the two-sided limit exists) then the following are all true.

(i) $\ell {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle M_{}}$ ${\$은(는) 분리할 수 있다.

(ii) $\ell {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle M_{}}$ ${\$$ell$ $_$${$$M}$은(는$)$ 약 <{\$displaystyle \ell _{p$$}}}$의 보완본을$$ 포함한다

(iii) $\ell {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle M_{}}$ ${\$은(등가까지) 고유한 대칭적 기초를 가지고 있다$$.

예.For each ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$, the Orlicz function ${\displaystyle M(t)=t^{p}/(1-\log(t))}$ satisfies the conditions of Theorem 5 above, but is not equivalent to ${\displaystyle t^{p}}$.

참조

• Lindenstrauss, Joram; Tzafriri, Lior (1977), Classical Banach Spaces I, Sequence Spaces, ISBN 978-3-642-66559-2
• Lindenstrauss, Joram; Tzafriri, Lior (September 1971). "On Orlicz Sequence Spaces". Israel Journal of Mathematics. 10 (3): 379–390. doi:10.1007/BF02771656.
• Lindenstrauss, Joram; Tzafriri, Lior (December 1972). "On Orlicz Sequence Spaces. II". Israel Journal of Mathematics. 11 (4): 355–379. doi:10.1007/BF02761463.
• Lindenstrauss, Joram; Tzafriri, Lior (December 1973). "On Orlicz Sequence Spaces III". Israel Journal of Mathematics. 14 (4): 368–389. doi:10.1007/BF02764715.