직교 변환

선형대수학에서 직교 변환은 실제 내부 제품 공간 V에서 내부 제품을 보존하는 선형 변환 T : V → V이다. 즉, 각 쌍 u에 대해 V의 요소 v는^[1]

$\displaystyle \langle u,v\rangle =\langle Tu,tv\rangle \,}$

벡터의 길이와 벡터 사이의 각도는 내부 제품을 통해 정의되기 때문에 직교 변환은 벡터 길이와 벡터 사이의 각도를 보존한다. 특히 직교 변환은 직교 변형이 직교 기초에 직교 기본을 매핑한다.

Orthogonal transformations are injective: if ${\displaystyle Tv=0}$ then ${\displaystyle 0=\langle Tv,Tv\rangle =\langle v,v\rangle }$, hence ${\displaystyle v=0}$, so the kernel of ${\displaystyle T}$ is trivial.

2차원 또는 3차원 유클리드 공간의 직교 변환은 회전과 반사의 뻣뻣한 회전, 반사 또는 조합이다(부적절한 회전이라고도 한다). 반사란 거울이 하는 것처럼 거울 평면에 직교하면서 앞 뒤쪽으로 방향을 반전시키는 변형이다. 적절한 회전(반사되지 않음)에 해당하는 행렬은 +1의 결정 인자를 가진다. 반사가 있는 변환은 -1의 결정 인수를 갖는 행렬로 표현된다. 이를 통해 회전과 반사의 개념을 보다 높은 차원으로 일반화할 수 있다.

유한 차원 공간에서 직교 변환의 행렬 표현(직교 기준 관련)은 직교 행렬이다. 행은 단위 규범과 상호 직교 벡터로서 행이 V의 직교 기준을 구성한다. 행렬의 열은 V의 또 다른 정형 기준을 형성한다.

직교 변환이 (V가 유한한 차원일 때 항상 그렇듯이) 변환할 수 없는 경우, 그 역방향 변환은 또 다른 직교 변환이다. 그것의 행렬 표현은 원래 변환의 행렬 표현에 대한 전치물이다.

예

표준 유클리드 내부 제품 및 표준 기반이 있는$$ 내부 제품 공간$({\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle {}^{}⟨\cdot }$ , ${\displaystyle \cdot ⟩}$ ) ${\displaystyle(\mathb {R}^2,\langle \cdot \range )$을 고려하십시오. 그런 다음 행렬 변환

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}:\mathb {R} ^{2}\mathb{R} ^2}}:$

직교하는 이를 보려면 다음을 고려하십시오.

${\displaystyle {\reasoned}Te_{1}={\begin{bmatrix}\cos(\theta )\\\sin(\theta )\end{bmatrix}&&Te_{2}={\begin{bmatrix}-\sin(\theta )\\cos(\theta )\end{bmatrix}\end{aligned}}}}}$

그러면.

${\displaystyle{\begin{정렬}&,\langle Te_{1},Te_{1}\rangle =ᆳ\cos(\theta)&, \sin(\theta)\end{bmatrix}}\cdot{\begin{bmatrix}(\theta)\\\sin(\theta)\end{bmatrix}}=\cos ^ᆷ(\theta)+\sin ^ᆸ(\theta)=1\\&,\langle Te_{1},Te_{2}\rangle =ᆻ\cos(\theta)&, \sin(\theta)\end{bmatrix}}\cdot{\begin{bmatrix.}-\sin(\theta)\\\cos(\theta )\end{bmatrix}}=\sin(\theta )\cos(\theta )-\sin(\theta )\cos(\theta )=0\\&\langle Te_{2},Te_{2}\rangle ={\begin{bmatrix}-\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-\sin(\theta )\\\cos(\theta )\end{bmatrix}}=\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1\\\end{aligned}}}$

이전의 예를 확장하여 모든 직교 변환을 구성할 수 있다. 예를 들어$,{\displaystyle }$ 다음 행렬은 (${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle {}^{}⟨}$ ${\displaystyle \cdot }$ ,${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle ⟩}$) ${\displaystyle (\mathb {R}^{3},\langle \cdot \angle$ )에$$대한 직교 변환을 정의한다$.$

${\displaystyle{\begin{bmatrix}(\theta)&, -\sin(\theta)&, 0\\\sin(\theta)&, \cos(\theta)&, 0\\0&, 0&, 1\end{bmatrix}},ᆴ\cos(\theta)&, 0&, -\sin(\theta)\\0&, 1&, 0\\\sin(\theta)&, 0&, \cos(\theta)\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&, 0&, 0\\0&, \cos(\theta)&, -\sin(\theta)\\0&, \sin(\theta. )&\cos(\theta)\end{bmatrix}}}$

참고 항목

• 부적절한 회전
• 선형 변환
• 직교 행렬
• 유니터리 변환

참조