진동 이론

수학에서, 일반적인 미분 방정식의 분야에서, 일반적인 미분 방정식의 비교 해법

${\displaystyle F(x,y,y'),\\dots ,\y^{(n-1)}=y^{(n)}\quad x\in [0,+\infit )}$

뿌리가 무한히 많으면 진동이라 하고, 그렇지 않으면 비진동이라 한다. 미분방정식은 진동용액이 있으면 진동이라고 한다. 뿌리의 수는 또한 관련된 경계 값 문제의 스펙트럼에 대한 정보를 전달한다.

예

미분 방정식

${\displaystyle y'+y=0}$

죄(x)가 해결책인 것처럼 진동하고 있다.

스펙트럼 이론과의 연결

진동 이론은 자크 샤를 프랑수아 스투름에 의해 1836년부터 스터름-리우빌 문제에 대한 그의 연구에서 시작되었다. 그곳에서 그는 스투름-리우빌 문제의 n번째 고유 기능이 정확하게 n-1 뿌리를 가지고 있다는 것을 보여주었다. 1차원 슈뢰딩거 방정식의 경우 진동/비 스케일링에 대한 질문은 고유값이 연속 스펙트럼의 하단에 누적되는지 여부에 대한 질문에 답한다.

상대 진동 이론

1996년 Gesztesy-Simon-Teschl은 Sturm-Louville 문제의 두 고유 기능의 Wronski 결정요소의 루트 수가 해당 고유값 사이의 고유값의 수를 제공한다는 것을 보여주었다. 나중에 크뤼거-에 의해 일반화되었다.다른 두 가지 스터름-리우빌 문제의 두 가지 고유 기능 사례에 대해 테슐. 두 용액의 Wronski 결정요소의 뿌리 수에 대한 연구는 상대 진동 이론으로 알려져 있다.

참고 항목

진동 이론에서 고전적인 결과는 다음과 같다.

• 크네저의 정리(차등 방정식)
• 스터름-피콘 비교 정리
• 스터름 분리 정리

참조

• Atkinson, F.V. (1964). Discrete and Continuous Boundary Problems. Academic Press. ISBN 978-0-08-095516-2.
• Gesztesy, F.; Simon, B.; Teschl, G. (1996). "Zeros of the Wronskian and renormalized oscillation theory" (PDF). Am. J. Math. 118 (3): 571–594. doi:10.1353/ajm.1996.0024. S2CID 14430688.
• Kreith, K. (1973). Oscillation Theory. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 324. Springer. doi:10.1007/BFb0067537. ISBN 978-3-540-40005-9.
• Krüger, H.; Teschl, G. (2009). "Relative oscillation theory, weighted zeros of the Wronskian, and the spectral shift function". Commun. Math. Phys. 287 (2): 613–640. arXiv:math/0703574. Bibcode:2009CMaPh.287..613K. doi:10.1007/s00220-008-0600-8. S2CID 881636.
• Sturm, J.C.F. (1836). "Memoire sur les equations diferentielles lineaires du second ordre". J. Math. Pures Appl. 1: 106–186. doi:10.1007/978-3-7643-7990-2_30.
• Swanson, C.A. (2016) [1968]. Comparison and Oscillation Theory of Linear Differential Equations. Elsevier. ISBN 978-1-4832-6667-1.
• Teschl, G. (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.
• Weidmann, J. (1987). Spectral Theory of Ordinary Differential Operators. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1258. Springer. doi:10.1007/BFb0077960. ISBN 978-3-540-47912-3.